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第06讲 函数与方程
目录
第一部分：题型篇 1
题型一：重点考查根判断函数零点区间 1
题型二：重点考查零点个数 2
题型三：重点考查零点中的参数问题 3
题型四：重点考查借助图象比较零点大小 4
题型五：重点考查借助图象求零点代数和 4
题型六：重点考查二分法 5
第二部分：方法篇 6
方法一：数形结合 6
第一部分：题型篇
题型一：重点考查根判断函数零点区间
典型例题
例题1．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
精练高频考点
1．（24-25高一下·云南·阶段练习）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·北京·期中）下列区间中包含函数的零点的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
题型二：重点考查零点个数
典型例题
例题1．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
例题2．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间，并求出的极值；
(2)在给定的直角坐标系中画出函数的大致图象；
(3)讨论关于的方程的实根个数.
精练高频考点
1．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）函数的零点个数可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数为 .
题型三：重点考查零点中的参数问题
典型例题
例题1．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 .
例题2．（2025·宁夏银川·二模）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数的极值点在区间内，求m的取值范围；
(3)若有两个零点，求m的取值范围.
精练高频考点
1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）函数在有零点，则实数的取值范围为 .
3．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，．
(1)求在上的解析式；
(2)取何值时，方程在上有解．
题型四：重点考查借助图象比较零点大小
典型例题
例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
精练高频考点
1．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知正数分别是函数的零点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为( ).
A． B．
C． D．
题型五：重点考查借助图象求零点代数和
典型例题
例题1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数且的所有零点的和等于 .
例题2．（23-24高一上·云南·期末）已知函数.
(1)作出函数在的图象；
(2)求方程的所有实数根的和．
精练高频考点
1．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）若函数的零点为，函数的零点为，则 ．
2．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为 ．
3．（2023高一·江苏·专题练习）设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是 ．
题型六：重点考查二分法
典型例题
例题1．（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（多选）（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）下列函数中能用二分法求零点近似值的是（ ）
A． B． C． D．
精练高频考点
1．（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数不宜用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）下列方程中，可以用二分法求近似解的有（ ）
A． B． C． D．
第二部分：方法篇
方法一：数形结合
典型例题
例题1．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，若有四个不同的解，，，且，则的最小值为 .
例题2．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知函数 .
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)画出函数的大致图象；
(3)若方程有个不同的根，求实数 的取值范围.
精练高频考点
1．（24-25高一上·天津红桥·期末）已知函数．若方程有三个不等的实数解且，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.
(1)求实数的值；
(2)解不等式；
(3)有两个不等实根时，求的取值范围.第06讲 函数与方程
目录
第一部分：题型篇 1
题型一：重点考查根判断函数零点区间 1
题型二：重点考查零点个数 3
题型三：重点考查零点中的参数问题 7
题型四：重点考查借助图象比较零点大小 12
题型五：重点考查借助图象求零点代数和 15
题型六：重点考查二分法 19
第二部分：方法篇 22
方法一：数形结合 22
第一部分：题型篇
题型一：重点考查根判断函数零点区间
典型例题
例题1．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由对数（型）的单调性求参数、判断零点所在的区间
【分析】根据题意，得到在在上是增函数，结合，利用零点的存在性定理，即可求解.
【详解】由函数的定义域为，
因为和在都是增函数，可得在上是增函数，
又因为，可得，
根据函数零点存在定理，可得函数有唯一零点，且零点在区间内．
故选：B.
例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断零点所在的区间
【分析】先判断函数的单调性，再由，结合函数零点判定定理得答案.
【详解】因为均为增函数，
所以函数在上单调递增，
且，，
所以函数的零点所在的一个区间是.
故选：D.
精练高频考点
1．（24-25高一下·云南·阶段练习）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】先判断函数的单调性，再结合函数零点的存在性定理进行判断即可.
【详解】函数的定义域为，
因为函数在上为增函数
，又因为函数在上为增函数，
故函数在上为增函数.
因为，则.
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是.
故选：B
2．（24-25高一上·北京·期中）下列区间中包含函数的零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】判断零点所在的区间
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】设，则该函数的定义域为，
因为函数、在上均为增函数，故函数在上也为增函数，
因为，，
，，，
，则，
由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.
故选：C.
3．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】根据函数的单调性和零点存在定理计算判断即得.
【详解】在上单调递增，，在区间上单调递减，
函数在区间上单调递增，
，，
函数的唯一零点所在的区间是.
故选：B.
题型二：重点考查零点个数
典型例题
例题1．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】求函数零点或方程根的个数、求函数的零点
【分析】应用分段函数当时计算零点，当时，应用对数运算结合零点存在定理判断零点个数即可.
【详解】当时，由得；
当时，在上单调递增，并且，
即，所以函数在区间内必有一个零点，
综上，函数的零点个数为2．
故选：D.
例题2．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间，并求出的极值；
(2)在给定的直角坐标系中画出函数的大致图象；
(3)讨论关于的方程的实根个数.
【答案】(1)单减区间，单增区间，极小值，无极大值.
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、画出具体函数图象、求已知函数的极值、求函数零点或方程根的个数
【分析】（1）解不等式和；
（2）找出函数零点，以及单调性画出图象；
（3）判断与的图象交点个数.
【详解】（1），则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则的极小值为，无极大值.
（2）得，且时，时
其图象为：
（3）的实根个数问题转化为与的交点个数.由图象可知，
时，图象有0个交点，故方程无解；
或时，图象有1个交点，故方程有1个根；
时，图象有2个交点，故方程有2个根.
精练高频考点
1．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】求函数的零点、求函数零点或方程根的个数、函数图象的应用
【分析】先求解方程，再根据图象确定零点个数.
【详解】方程的解为或，作出的图象，由图象可知零点的个数为6．
故选：C.
2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）函数的零点个数可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】BC
【知识点】利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数
【分析】根据函数零点个数的问题等价于两个函数交点个数的问题，将化简得到两个函数.讨论两个函数的性质，并作出两个函数图像，即可得解.
【详解】由，，得，
求函数的零点个数等价于求函数和的图像的交点个数.
函数的导函数，当时；当时.
所以函数在上单调递增，在单调递减.
时有最大值，时，
时，，.
过定点的直线，与函数的图像的交点数为1个或2个，如图所示.
所以函数的零点个数为1个或2个.
故选：BC.
3．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数为 .
【答案】7
【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解.
【详解】由题意，令，解得或，
作出的图象，如图，

由图可知，直线与图象有3个交点，
直线与图象有4个交点，
所以原方程有7个解，
即函数有7个零点.
故答案为：7
题型三：重点考查零点中的参数问题
典型例题
例题1．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】由得，令，利用导数的单调性即可求解.
【详解】已知函数有三个不同零点，即方程有三个不同的解，
进一步变形为有三个不同的解，
令，那么问题就转化为与的图象有三个不同交点，
，
，
令，解得或，
当时，即，单调递减，
当时，即，单调递增，
当时，即，单调递减，
所以在处取得极小值，
在处取得极大值，
又当时，因为指数函数增长速度远大于幂函数
当时，，
要使与函数的图象有三个不同交点，则a的取值范围是，
故答案为： .
例题2．（2025·宁夏银川·二模）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数的极值点在区间内，求m的取值范围；
(3)若有两个零点，求m的取值范围.
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
(3)
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数
【分析】（1）求出导函数，利用导函数判断函数的单调性.
（2）先求出导函数；再根据函数的定义域为，以及函数的极值点在区间内，得出在上有解，列出关于m的不等式组，求解即可.
（3）先对m进行分类讨论，利用导数判断函数的单调性，求出最值；再将题目条件转化为恒成立；最后构造函数，利用导函数判断在上单调递增，借助可得出求解即可.
【详解】（1）当时，，的定义域为.
则，
令，则，即，解得，
令，则，即，解得.
函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由可得：的定义域为，.
要使函数的极值点在内，需满足在上有解.
因为的定义域为，
所以在上有解，
则，解得，
即m的取值范围为.
（3）由（2）知，.
则.
当时，有，则，此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当时，令，得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则.
又因为当时，；当时，，
所以要使有两个零点，须满足恒成立.
令，
则恒成立；，
所以函数在上单调递增，
又因为，
所以，解得.
综上所述，m取值的范围为.
精练高频考点
1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据零点所在的区间求参数范围
【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围.
【详解】当时，由可得，
令，
因为函数、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，
因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
2．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）函数在有零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】分离参数得到，由题转化为求的值域即可.
【详解】由题有解，即,
令
得,
当时, 单调递减,
当时, 单调递增,
,
所以,
故.
故答案为：.
3．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，．
(1)求在上的解析式；
(2)取何值时，方程在上有解．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据零点所在的区间求参数范围、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】（1）当时，，利用奇函数性质可求在上的解析式，利用周期性和奇偶性可得；
（2）求出单调性，画出的图象，利用图象交点可得的范围.
【详解】（1）时，，则，
因为奇函数，则；
因的最小正周期为，则，
又，则，
则
（2），且，则
，
因，则，，
则，即，则在上单调递减，则；
利用奇函数性质可得， 在上也单调递减，且，
画出图象如图所示，

由图象可知，则或或时，与的图象有交点，
即方程在上有解，故．
题型四：重点考查借助图象比较零点大小
典型例题
例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】比较零点的大小关系、对数函数图象的应用、指数函数图像应用
【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论.
【详解】由题意得，分别是函数与，，图象的交点横坐标．
在同一坐标系内作出函数，，，的图象，
如图所示，由图可得．

故选：A.
例题2．（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】复合函数的单调性、比较零点的大小关系
【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案.
【详解】因为函数，，，都是增函数，
所以函数，，均为增函数，
因为，
所以函数的零点在上，即，
因为，
所以函数的零点在上，即，
因为，
所以函数的零点在上，即，
综上，．
故选：B．
精练高频考点
1．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比较零点的大小关系
【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】令，
得，
在同一坐标系中作出函数的图象，
如图所示：
由图象知：即
故选：B
2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知正数分别是函数的零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求函数的零点、比较零点的大小关系
【分析】依据零点存在性定理可判定的零点所在范围；对通分，应用一元二次方程可求解；将的零点转化为两个函数图像交点的横坐标，画简图可求，从而得出结果.
【详解】由函数在上为增函数，又，
则存在唯一零点，即；
令，则，解得或，则；
令，可得函数的零点即为与的交点的横坐标，画简图如图：
可得（负值舍去），则．综上，．
故选：B
3．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为( ).
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】比较零点的大小关系
【分析】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可.
【详解】因为时，，又因为单调递增，所以；
若，则，所以时，，即；
若，则，所以时，，即.
综上所述，，
故选：D.
题型五：重点考查借助图象求零点代数和
典型例题
例题1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数且的所有零点的和等于 .
【答案】0
【知识点】求零点的和、求正弦（型）函数的奇偶性
【分析】利用函数与方程的思想分别画出函数和函数的图象，利用奇函数性质即可得出结果.
【详解】由可得，
易知函数和函数都为奇函数，
在同一坐标系下作出两函数在内的图象，如下图所示：
所以两函数图象交点都关于原点成中心对称，
因此函数且的所有零点的和等于0.
故答案为：0
例题2．（23-24高一上·云南·期末）已知函数.
(1)作出函数在的图象；
(2)求方程的所有实数根的和．
【答案】(1)图象见解析；
(2)
【知识点】求零点的和、求函数的零点、画出具体函数图象
【分析】（1）根据二次函数与幂函数的性质作图即可；
（2）直接解方程求和即可.
【详解】（1）
（2）若，则或，
若，则，
即的实数根为或或
综上所有实数根之和为.
精练高频考点
1．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）若函数的零点为，函数的零点为，则 ．
【答案】3
【知识点】求零点的和
【分析】，，根据单调性，得到，求出答案.
【详解】，
由题意得，，
因为在R上单调递增，
故，
因为，所以，.
故答案为：3
2．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为 ．
【答案】
【知识点】求零点的和、函数对称性的应用
【分析】画出函数图象。利用对称性即可求解.
【详解】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示，
根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称，
所以零点之和为，
故答案为：
3．（2023高一·江苏·专题练习）设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】画出具体函数图象、求零点的和、函数图象的应用
【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案.
【详解】画出函数图象，结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根，
分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，
不妨设，
显然关于对称，故，
另一个交点位于一次函数图象上，令 2x+6= 1 ，解得 x=72 ，
显然它在和以及的交点和之间，
故，
所以，
故答案为： ．
题型六：重点考查二分法
典型例题
例题1．（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用二分法求近似解的条件
【分析】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项.
【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点，
观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点，
所以选项A中函数不能用二分法求零点．
故选：A.
例题2．（多选）（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）下列函数中能用二分法求零点近似值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【知识点】用二分法求近似解的条件
【分析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论。
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确；
对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确；
对于 ，，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，不能用二分法求零点，故选项错误；
对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确；
故选：．
精练高频考点
1．（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用二分法求近似解的条件、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定.
【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点，
交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确；
对于B选项，当时，，
当且仅当时，等号成立，无零点；
当时，当且仅当时，等号成立，
在上单调递减，在上单调递增，
此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确；
对于C选项，由题意可知只有一个零点，
且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误；
对于D选项，，
在单调递增，单调递减，所以，
则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确.
故选：C
2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数不宜用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用二分法求近似解的条件、零点存在性定理的应用
【分析】利用二分法求零点的充分条件来作出判断.
【详解】对于A：在上单调递增，，
，
所以存在，使得，A宜用二分法求零点；
对于B：，存在，使得，B宜用二分法求零点；
对于C：，存在，使得，C宜用二分法求零点；
对于D：，函数零点为，
但不存在区间，使得，即的零点不宜用二分法来求，
故选：D．
3．（多选）（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）下列方程中，可以用二分法求近似解的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【知识点】用二分法求近似解的条件
【分析】根据二分法满足的条件：零点存在定理逐项判断即可.
【详解】对于A，在上单调递增，且在上连续，
且，，可以使用二分法求原方程的近似解；
对于B，在R上连续且单调递增，
又，，可以使用二分法求原方程的近似解；
对于C，，故不可以使用二分法求原方程的近似解；
对于D，在上单调递增，且在上连续，
且，，可以使用二分法求原方程的近似解.
故选：ABD.
第二部分：方法篇
方法一：数形结合
典型例题
例题1．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，若有四个不同的解，，，且，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、利用函数单调性求最值或值域
【分析】作出分段函数的图象，数形结合确定以及，进而可得，构造函数，讨论单调性即可求解.
【详解】当时，；
当时，；
当时，；
作出函数的图象如下，
令可得，当时，，解得或，
当时，，解得或，
所以函数的图象与直线有个交点，
分别为，
因为有四个不同的解且，
所以，且，且，
，
又因为，，
所以，即，
所以，
所以，且，
因为函数，在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
所以.
故答案为：.
例题2．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知函数 .
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)画出函数的大致图象；
(3)若方程有个不同的根，求实数 的取值范围.
【答案】(1)增区间为，减区间为，极小值为，无极大值；
(2)作图见解析；
(3).
【知识点】求已知函数的极值、画出具体函数图象、利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出单调区间及极值.
（2）结合（1）的信息作出函数图象.
（3）化方程为或，结合（2）求出的范围.
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，
由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，在处取极小值，无极大值，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；极小值为，无极大值.
（2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，，
当时，函数的图象在轴下方，随着的减小，的图象无限接近轴，
函数的大致图象如图：
（3）方程，解得或，
解，得，依题意，方程有2个不等实根，
即直线与函数的图象有2个交点，由（2）知，，
所以实数 的取值范围是.
精练高频考点
1．（24-25高一上·天津红桥·期末）已知函数．若方程有三个不等的实数解且，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数图象的应用、分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】根据分段函数解析式画出函数大致图象，数形结合判断参数k的范围，及所在区间，进而判断各项正误.
【详解】由解析式，可得函数大致图象如下：
令，可得或，
令，可得，令，可得，
由图知，要使方程有三个不等的实数解，且，
所以，且，，A、B对；
，C对；
由，而，故，D错.
故选：D
2．（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、对数函数图象的应用、函数图象的应用
【分析】由对数函数图象可得，即，再由二次函数图象关于对称，可得，求得可得结果.
【详解】由关于x的方程有4个不同的实根，得函数与图象有4个交点；
作出函数与的图象，如图：

观察图象得，，
由，得，即，则，
而二次函数图象关于对称，则，因此，
由，解得或，则，
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是正确作出函数的图象，借助对数函数、二次函数的性质数形结合求解.
3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.
(1)求实数的值；
(2)解不等式；
(3)有两个不等实根时，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、指数型函数图象过定点问题、由对数函数的单调性解不等式、指数函数图像应用
【分析】（1）由指数函数性质得定点坐标，代入解析式求得；
（2）利用单调性解不等式；
（3）利用函数图象交点个数确定结论．
【详解】（1）函数的图像恒过定点A，A点的坐标为，
又因为A点在上，则：；
（2）由题意知：，
而在定义域上单调递增，知
，即，
∴不等式的解集为.
（3）由知：，方程有两个不等实根
令，，它们的函数图像有两个交点，如图，
由图像可知：，故的取值范围为.

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