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2025年春九年级数学中考复习《动态几何问题》常考热点题型考前冲刺专题训练（附答案）
1．如图，，，，．，两点分别从，同时出发，点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度；点以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动．过点作于点，以，为邻边作矩形．设运动时间为秒，矩形和重叠部分的图形面积为．
(1)当点和点重合时， ；
(2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
(3)在运动过程中，连接，取中点，连接，直接写出的最小值．
2．已知：如图，是⊙O的直径，弦于点E，G是弧上一动点，，的延长线交于点P．连接．

(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
3．如图①是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示，已知晾衣臂，支撑脚，展开角，晾衣臂支架，且．
(1)当晾衣臂OA与支撑脚OD垂直时，求点A距离地面的高度；
(2)当晾衣臂OB从水平状态绕点O旋转到（D、O、在同一条直线上）时，点N也随之旋转到上的点处，求点N在晾衣臂OB上滑动的距离．
4．在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．
(1)如图，若，求的值；
(2)如图，在线段上取一点，使平分，延长，交于点，若，求的值．
5．（1）如图①，在中，，，，点是边上任意一点，则的最小值为______．
（2）如图②，在矩形中，，，点、点分别在、上，求的最小值；
（3）如图③，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是边上的任意一点，把沿翻折，点的对应点为点，连接、，四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形面积的最小值；若不存在，请说明理由．
6．[问题探索]如图1，P是等边内一点，，，，求的度数．
[方法引导]（1）如图2，把绕点C顺时针旋转到，连接，
①请按此方法完成解题过程；
②直接写出的面积是_____．
[拓展延伸]（2）如图3，P是内一点，，，，且，，求的长．
7．在中，，，，点是边上的一个动点，过点作于，在线段上取，连结，作，交射线于点，交射线于点．
(1)求证：；
(2)设，，求关于的函数解析式，并写出自变量取值范围；
(3)当时，求线段的长．
8．【发现问题】在数学活动课上，同学们研究两个正三角形位置关系时，发现某些连线之间总存在某种特定的关系．
【问题探究】如图1，在正和正中，点A和点E重合，点C与点F重合，所以，；
【类比分析】
（1）如图2，点E在上，点C与点F重合，求证：；
【学以致用】
（2）点E在上，连接，以为边向上作正．
①如图3，点F在上，当点D、E在异侧，求的值；
②点F在上，当点D、E在同侧，，请利用备用图，画出图形，求的值；
【拓展应用】
（3）在（2）的前提下，如图4，点F在上，直接写出的最小值．
9．如图1，在圆内接四边形中，，的延长线交于点，连结并延长交于点，连结．已知，，，．

(1)求证：．
(2)求与的长．
(3)如图2，是中点，动点在上从点向终点匀速运动，同时动点在上从点向终点匀速运动．当点在点处时，点在点处，设，．
①求关于的表达式．
②连结，当直线与的某一边所在的直线垂直时，记垂足为点，直接写出的值．
10．如图，在中，，动点P从点A出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，当点P不与点B重合时，将线段绕点P旋转得到线段，使点Q与点C始终在同侧，且，连接．设点P的运动时间为t（秒）（）

(1)的长为_________．
(2)用含t的代数式表示的长．
(3)当时，求t的值．
(4)当以点C，P，B，Q为顶点的四边形是轴对称图形时，直接写出t的值．
11．如图，在等腰梯形中，，，，．点从点出发沿折线段以每秒5个单位长的速度向点匀速运动；点从点出发沿线段方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点向上作射线，交折线段于点．点、同时开始运动，当点与点重合时停止运动，点也随之停止．设点、运动的时间是秒．

（1）当点到达终点时，求的值，并指出此时的长；
（2）当点运动到上时，为何值能使；
（3）设射线扫过梯形的面积为，分别求出点运动到、上时，与的函数关系式；（不必写出的取值范围）
（4）能否成为直角三角形？若能，写出的取值范围；若不能，请说明理由．
12．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，点为轴负半轴上的一个动点，画的外接圆，圆心为，连结并延长交于点，连结．
图1 图2
(1)当点位置如图1所示，求证：．
(2)当直径为15时，求点的坐标．
(3)如图2，连结，请直接写出的最小值．
13．如图，在菱形中，，E是边上一点，过点E作，垂足为点H，点G在边上，且，连接，分别交、于点M、N．

(1)已知，
①当时，求的面积：
②当时，求的值；
(2)延长交边于点P，当设，请用含x的代数式表示的值．
14．如图（1），在中，，，，动点G从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，过点作，交折线于点，以为斜边向右作，使得，设点G的运动时间为t秒（t＞0）．
(1)当点E为的中点时，t的值为 ；
(2)当点F恰好落在上时，如图（2），求t的值；
(3)如图（3），当点从点出发时，点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当点到达点时，点、同时停止运动．在运动过程中，过点作交射线于点，以为一边向左作，使得，当和分别有一条边恰好在同一直线上时，请直接写出t的值．
15．综合与实践课上、数学老师让同学们通过折纸进行探究活动．
【动手操作】
如图1，将平行四边形纸片沿过顶点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点，再沿着过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点．将纸片展平，画出对应点，及折痕，，连接，，．
【初步探究】
（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系．
求知小组经过一番思考和研讨后，发现，证明过程如下： 由折叠，可知，． 又由平行四边形的性质，可知，∴． ∴①______．∴．
先测量和的长度，猜想其关系为②______． 奋进小组经过一番思考和研讨后，发现在寻找和的数量关系时，方法不一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点，构造平行四边形，然后证可得结论
补充上述过程中横线上的内容：①______；②______．
【类比探究】
（2）如图2，将平行四边形纸片特殊化为矩形纸片，重复上述操作．请判断和的位置关系及和的数量关系是否发生变化，并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点，连接．当为直角三角形时，直接写出的长．
16．如图1，经过点且对称轴为直线的抛物线是由抛物线平移得到的，并与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
(2)如图，在第三象限的抛物线上有一动点P，若满足，求的面积；
(3)如图2，点D，E为抛物线对称轴上的两动点，其纵坐标的积为，直线与分别交抛物线于点F，G，试确定直线是否经过定点？并说明理由．
17．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，点P是抛物线上位于点B、C之间的动点．
(1)求的度数；
(2)若，求点P的坐标；
(3)已知点，若点在抛物线上，且；
①仅用无刻度的直尺在图2中画出点Q；
②若，求的值．
18．如图，在平面直角坐标系中抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点其中，连接，，．
(1)求该抛物线的表达式：
(2)线段位于第一象限，且在线段上移动，轴交抛物线于点，连接．若，求的面积的最大值及此时点的坐标；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点处，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
19．如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点．
(1)直接写出，的值；
(2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图，连接，，若，求点的坐标．
20．如图1，与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线过A、B、C三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，动点从点出发，以1个单位/秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接、，当时，求△外心坐标；
(3)如图3，过作交直线 于点，当时，求出的值．
参考答案
1．（1）解：如图1，
，，，
，
，
于点，
，
，，
，，
当点与点重合时，则，
，
故答案为：；
（2）解：当点与点重合时，则，
；
当点与点重合时，则，
，此时，则点与点重合；
当时，如图1，
则，，
；
当时，如图2，
则交于点，
，，，
，
；
当时，如图3，
则交于点，交于点，
，，，
，
，，，
，
，
综上所述，；
（3）解：当点在边上时，作于点，则，，
，
是的中点，
，
，，
如图4，
点在点的上方，则，
如图5，
点在点的下方，则，
，
在此时最小，
；
当点在边上，如图6，
，，
，
此时最小，
，
，是的中点，
，
，
综上所述，的最小值是．
2．解：（1）连接，
，
，
，
，，
，
；
（2）连接，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
．

3．（1）解：如图②，作交CD于E，交OE反向延长线于F．
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴点A距离地面的高度为；
（2）解：如图②，作交OB于G．
∵，，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴，
在中，
∵，，
∴，．
在中，
∵，
∴，
∴，
如图③，作交OD于H．
在中，
∵，，
∴，．
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点N在晾衣臂OB上滑动的距离为．
4．（1）解：∵四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，，
，
设，则，
，
又，，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
；
（2）解：如解图2，过点作于点，
，，
，
，，
，
∴，
设，
平分，
，，
设，则，
，解得
而，
∴，
∴．
5．解：（1）过点作于，如图：
根据垂线段最短可知此时最小，
在中，，，
∴，
∵，
，
故答案为：；
（2）如图，作出点关于的对称点，过点作于，交于，连接，
此时最小；
四边形是矩形，
，，
∴，
∵，
，
，
∵点与点关于对称，
∴，
在中，，
，
在中，；
的最小值为；
（3）四边形的面积存在最小值，最小值为，理由如下：
如图，连接，
四边形是矩形，
，，，
∴，
，，
点在上的任何位置时，点始终在的下方，
设点到的距离为，
，
当四边形的面积最小时，最小，
∵把沿翻折，点的对应点为点，
∴，
∴点轨迹是以点为圆心，为半径的圆在矩形内部的一部分上的点，
时，最小，
由折叠知，
延长交于，则，
在中，，
在中，，，
，
，
．
6．解：（1）①把绕点C顺时针旋转到，连接，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，，
∴是直角三角形，且，
∴；
②过点作直线的垂线，垂足为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴ ．
故答案为：
（2）取的中点，将线段绕点B顺时针旋转到，连接，，，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴点B、D、P在以为直径的圆上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
7．（1）证明：，
，
，，
公共，
（2）在中，，，
，
，
，
，
由（1）得
，
，
，
（3）当在线段上
，
由（1）知
，
，
当在线段的延长线上
同理可得，
即或12
8．解：【类比分析】
（1）∵均为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
【学以致用】
（2）①如图，过点F作交于N，
∴，
∴为等边三角形，
又∵为等边三角形，
由（1）中结论知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
②如图所示，过点E作交于N，则为等边三角形，
由（1）知：，
∵，
∴，
∴，
又∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
【拓展应用】
（3）如图所示，过点E作交于N，连，
∴，
∴为等边三角形，
又∵为等边三角形，
∴由（1）结论知，，
又∵，
∴为定点，
∴D在过N点且平行于的定直线上运动，由垂线段最短知，当时，最小，
作交直线于点M，设直线交于点K，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当D与M重合时，最小为
9．（1）证明：∵，得，
∴是等腰三角形，
∴，，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，．
（3）由（1）得，，
∵是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
：如图，当于点，连结，
∵，
∴，
∴，
∴即，
∵，
解得，
∴；
：当于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
解得，
∴，
∴，
∴；
：当于点，
在中，，
∴，
∴这种情况不存在．
综上所述，的值为或．
10．（1）解: 在 中, ，
，
故答案为: ；
（2）解：根据题意得：，
当点在线段上时，；
当点在延长线上时， ；
综上所述,的长为或；
（3）解：当点P在线段上时，
，
，
∴四边形是平行四边形，

此时，解得：；
当点在延长线上时，如图，
∵，，
∴四边形为等腰梯形，
∴，即 ，
解得：；
综上所，的值为或；

（4）解：由题意得：，
如图，当点在线段上时，此时为对称轴，
∴垂直平分，

，
，
，
，
，
，
此时 ，
如图，当点在延长线上时，此时垂直平分，则 ，

作的平分线交于点，过点作于点，过点作于点，
则 ，
，
，
，
，
，
，
在 中，，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
解得：；
综上所述，的值为或．
11．（1）解：（秒时，点到达终点．
此时，，
的长为．
（2）如图1，若，

又，
四边形为平行四边形，
，
由，
得，
解得．
经检验，当时，有．
（3）①当点在上运动时，如图2．分别过点、
作于点，于点，

则四边形为矩形，且，从而
，于是．
．
又，
从而．
；
②当点在上运动时，如图1．过点作于点，

由①知，，又，从而．
．
（4）当点在（包括点上，即时，如图2．
过点作于点，则，

又有，易得四边形为矩形，此时总能成为直角三角形．
②当点、都在（不包括点但包括点上，即时，如图1．

由和可知，此时，为直角三角形，但点、不能重合，
即，解得．
③当点在上（不包括点但包括点，
即时，如图3．由，

可知，点在以为直径的圆的外部，故不会是直角．
由，可知一定是锐角．
对于，，只有当点与重合，即时，如图4，，为直角三角形．

综上所述，当为直角三角形时，的取值范围是且或．
12．解：（1）为的直径，
，
，

，
．
（2）和
，，
，
在中，
由勾股定理得：
．
，在中，由勾股定理得：
，
．
，，
，
，
点在轴负半轴
点的坐标为
（3）如图，设直线与y轴的交点为点E，
，
，
当最小时，，
此时，
．
的最小值为
13．（1）解：①连接交于点O，

∵四边形是菱形，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
∴；
②在菱形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
过点H作，点R为垂足，

设，
，
，
，，，
，
在中，，
，
即，解得，
，
，
，
；
（2）解：∵，，，
∴．
∴．
取中点Q，连接，

由（1）得：，，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴．
14．解：（1）如图（1），过点作于点，
在中，，，
，
在中，，，
，
，，
∴
点为的中点，
，
动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，点的运动时间为秒，
，
故答案为：；
（2）如图（2），过点作于点，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
在中，，
，
，
过点作于点，则，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（3），
，
，，点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，
，
，
当、共线时，如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当、共线时，如图，
，
，
，
，
，
，
，
；
当、共线时，，
，
，
综上，或或．
15．解：（1）补充内容为：①；②．
故答案为：①；②；
（2）不发生变化．
理由如下：由折叠的性质，可知，．
又∵，
．
．
∴．
过点作交于点，
如图1所示，则．
∵，，
四边形为平行四边形．
．
∵，
．
将矩形纸片沿过顶点的直线折叠，
，
．
．
由折叠的性质，可知，
．
（3），
不可能为直角．
则可分和两种情况讨论．
①当时，
如图2所示．
，
，
，，三点共线，
即．
由（2）可知四边形为平行四边形，
此时四边形为菱形，
．
又，
．
，
设，则，．
在中，，
即，
解得．
．
由（2）可知，
；
②当时，
如图3所示．设，则，，
，，
∴．
又∵，
∴，
．
又，
．
．
，
，
即．
又，
，
．
，
解得 或 （舍去）．
，
由（2）可知，
．
综上所述，的长为或．
16．解：（1）根据题意设抛物线解析式为：，
∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为：，
整理得：，
令，则有，
解得：，，
即，；
（2）连接，过A点作于点G，过P点作轴于点M，作轴于点N，如图，

设点P坐标为：，且，
即有：，，
即有：，，
∵，，，
∴，，，，
∴，，，
∵在中，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图：

结合图形可得：，
∴，
∴，
解得：，经检验，符合题意，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）恒过定点，理由如下：
根据抛物线解析式为：，可知抛物线对称轴为：，
如图2，设点，，且，
∵，
∴设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立：，
整理可得方程：，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
同理可得：，
设直线的解析式为：，
∴，且，
解得：，
∴直线的解析式为：，
整理为：，
当时，，
即直线恒过定点．
17．（1）解：当时，，
∴点C的坐标是，
∴，
当时，，解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴,
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：延长与y轴相交于点M，作于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将，代入得，
，
解得,
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），
∴点P的坐标是；
（3）解：①在y轴上找到点，用无刻度直尺连接，则与抛物线的交点即为点Q，
②∵抛物线的对称轴为，点，点且，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴
．
18．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把，，分别代入，得
，
解得：，
∴；
（2）解：过点D点作于G，如图，
由（1）知：，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
设直线解析式为：，
把，分别代入，得
，
解得：，
∴直线解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴D的横坐标为，
把代入，得，
∴．
（3）解：设直线解析式为，
把，分别代入，得
，
解得：，
∴，
∵抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过，
又∵，
∴抛物线是向下平移了2个单位，向右平移2个单位，得到新抛物线的解析式为：，
即平移后新抛物线解析式为，
分两种情况：①当点P在直线下方时，如图，
，
∴，
∴设的解析式为，
把点代入，得
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，
把代入新抛物线解析式为，得
，
解得：，，
∴当时， ，
当时，，
∴；
②当点P在直线上方时，作点P关于直线的对称点Q，连接交于E，连接交新抛物线 于，如图，
∵点P关于直线的对称点Q，
∴，，
，
∴，
∴点是符合要求的点，
设点，
∵点P关于直线的对称点Q，
∴点E为线段的中点，
∴，
把代入直线解析式，得
，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
化简整理，得，
解得：，，
当时，，
∴，
当时，，
∴（舍去），
设直线解析式为，
把，代入，得
，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，，
解得：，，
∴．
综上，点P的坐标为或．
19．（1）解：点在抛物线的对称轴上，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
是抛物线与y轴的交点，
，
；
（2）解：存在最小值，理由如下：
由（1）可知，，
点D是抛物线上一点，坐标为，
，
，
作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，

由对称性可知，，
，
当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小，
抛物线的对称轴为直线，与抛物线对称轴垂直，
，
，轴，
，
，
，
的最小值为，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
．
（3）∵，
如图，过作于，设，则，
∴，

∵，
∴，，
∴
，
而，
解得：，
∵在第一象限，则，
∴，
∴.
20．（1）解：连接，
∵、，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：将绕点B顺时针旋转得到，连接交x轴于点P，作于点E，
则是等腰直角三角形，，，，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设△的外心为点，则点在线段的垂直平分线上，
此时，，，，
∵，
∴，∴，
∴，
同理，
∴，
解得，
∴，
∴△的外心坐标为；
（3）解：作轴于点，此时，
当点在线段上时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得；
当点在线段延长线上时，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，，
同理，
∴，即，
∴，
解得或（不合题意，舍去）．
综上，或．

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