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2025年春九年级数学中考复习《阅读理解题》常考热点解答题考前冲刺训练（附答案）
1．先阅读理解下列例题，再按要求完成作业．
例题：解一元二次不等式．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②．
解不等式组①得，解不等式组②得．
所以一元二次不等式的解集是或．
(1)求不等式的解集；
(2)求不等式的解集．
2．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程.
（1）在方程①，②，③中，写出是不等式组的相伴方程的序号 .
（2）写出不等式组的一个相伴方程，使得它的根是整数: .
（3）若方程都是关于的不等式组的相伴方程,求的取值范围.
3．阅读材料∶
新定义：任意两数α、b，按规定 得到一个新数c，称所得新数c为数a、b的“快乐返校学习数”．
(1)若，，求a，b的“快乐返校学习数”c；
(2)若，且，求a，b的“快乐返校学习数”c；
(3)若，，且a，b的“快乐返校学习数”c为正整数，求整数n的值是多少？
4．阅读理解
[提出问题]已知，求分式的值；
[分析问题]本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数t，得出a，b，c与t的关系，然后再代入待求的分式化简即可；
(1)[解决问题]设，则，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为 ____；
(2)[拓展应用]已知，求分式的值．
5．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，，3，因为，，，所以1，，3的“分差”为．
(1)，1的“分差”为______；
(2)调整“，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是______；
(3)调整，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
6．观察下列含有规律的式子：①．，②．，③．，…根据你发现的规律，完成下面各题：
(1)按照这个规律，写出第④个式子：__________；
(2)若式子（为正整数）符合以上规律，则__________；
(3)请你用含有正整数的式子，表示出你所发现的规律：__________；
(4)请你通过计算，验证：当时，对应的式子是正确的．
7．先阅读下列材料，再解决问题．
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：．
(1)模仿上例的过程填空：______＝______＝______＝______；
(2)根据上述思路，试将下列各式化简：
①；
②．
8．阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，所以，即，
∴，
∴的值为的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
(3)已知，求的值．
9．阅读下列材料:我们知道,分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如我们定义:在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如这样的分式就是假分式；再如:这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式(即:整式与真分式的和的形式)，如:
请解决下列问题:
(1)分式是 分式(填“真”或“假”)；
(2)将假分式化为带分式；
(3)若分式的值为整数，直接写出所有符合条件的正整数的值．
10．题目：已知关于x、y的方程组，
求：（1）若，求a值；
（2）若，求a值．
问题解决：
（1）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将可得，又因为，则a值为______；
（2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将，，得，
再将得：，又因为，…，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值；
问题拓展：
（3）已知关于x、y的不等式组，若，求a的取值范围．
11．【阅读材料】
当有理数不等于时，
把个相同的有理数的除法运算记作；
把个相同的有理数的除法运算记作；
把个相同的有理数的除法运算记作；
把个相同的有理数的除法运算记作；
……
特别地，规定．
【解决问题】
(1)若，则 ；计算的结果是 ．
(2)计算：．
(3)对于任何正整数，判断是否成立，并说明理由．
12．特例感知
化简：．
解：．
（1）请在横线上直接写出化简的结果：
①_________；②_________．
观察发现
（2）第n个式子是（n为正整数）,请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）．
拓展应用
（3）从上述结果中找出规律,并利用这一规律计算：
①；
②．
13．如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且．
(1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　；
(2)如图1，设，请你说明为什么k约为；
(3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由；
(4)图3中的的黄金分割线有几条？
14．【阅读 领会】怎样判断两条直线否平行？

如图1，很难看出直线、是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”．
在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．
事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．
【实践 体悟】
(1)计算 这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．
(2)如图2，已知，求证，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．
【创造 突破】
(3)若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解为___________．
(4)如图3，，，，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角，则优角___________．
15．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
(1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．
【深入探究】
(2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．
【拓展运用】
(3)在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．
①当时，求点的坐标．
②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
16．某中学九年级（1）班开展“发现与探究黄金分割”为主题的综合实践活动，爱思考的小丽积极响应，认真做好下面项目及任务．
一、收集资料，阅读理解
两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（，约前408年—前355年）发现：将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做的比例中项），则可得出这一比值等于0.618…．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．
黄金分割被视为最美丽的几何学比率，并广泛地应用于建筑和艺术中，如埃及的金字塔，女神维纳斯的雕像等，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比值接近于黄金比．就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也都接近于0.618．还有黄金矩形（即长与宽之比为黄金比）、黄金三角形（顶角为的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割．让我们去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧！
二、动手操作，直观感知
任务一：如图1，已知正方形，点是的中点．连结，以点为圆心，为半径作弧，与的延长线交于点，过点作于，与的延长线交于点，则所得到的四边形是黄金矩形．
①根据题意，利用尺规作图，将图1补充完整；
②写出黄金矩形的两边与之比，即______（结果保留根号）
三、探究延伸，灵活运用
任务二：如果正边形的中心角等于，其外接圆半径为，则______，其边长与的关系式为______；（用三角函数表示）
任务三：如图2，在中，已知，求的值．（结果保留根号）
请结合上述材料，解决下面问题：
(1)补全任务一①、②所缺的内容；
(2)根据任务二，写出______，边长与R的关系式为______；（用三角函数表示）
(3)完成任务三问题的解答．
17．某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值．
18．【阅读】如图1，若，且点B，D，C在同一直线上，则我们把与称为旋转相似三角形．
【理解】（1）如图2，和是等边三角形，点D在边上，连接．求证：与是旋转相似三角形．
【应用】（2）如图3，与是旋转相似三角形，，求证：．
【拓展】（3）如图4，是四边形的对角线，，试在边上确定一点E，使得四边形是矩形，并说明理由．
19．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
图1 图2 图3
(1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
(2)在（1）的条件下，若的半径为．
①则的长是______．
②如图2，在四边形中，若平分，求证：．
(3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．
20．某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转．
【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明：
【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________．
参考答案
1．（1）解：，
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”
有①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
所以一元二次不等式的解集是或；
（2），
由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”
有①或②，
解不等式组①得：，
解不等式组②无解，
所以不等式的解集是．
2．解：（1）由不等式组得，，
由，解得，x＝ ，故方程①不是不等式组的相伴方程，
由，解得，x＝，故方程②不是不等式组的相伴方程，
由 ，解得 x＝2，故方程③ 是不等式的相伴方程，
故答案为③；
（2）由不等式组，解得， ，则它的相伴方程的解是整数， 相伴方程x=1
故答案为；
(3)解不等式组得
方程都是不等式组的相伴方程
3．（1）解： ，，
；
（2）解： ，
两边同时除以，
得，
，
，
，
，
故a，b的“快乐返校学习数”是；
（3）解：把，代入，
c为正整数，为整数，
或，
故整数的值为或．
4．（1）解：设，则，
将它们分别代入中，
则2，
故答案为：；
（2）解：设t，
∴，
∴．
5．（1）解：根据题意可得：，，，
，
，，的“分差”为，
故答案为：；
（2）①这三个数的位置为：，，时，根据（1）中所求“分差”为；
②这三个数的位置为：，，时，
则，，，
，
，，的“分差”为；
③这三个数的位置为：，，时，
则，，，
，
，，的“分差”为；
④这三个数的位置为：，，时，
则，，，
，
，，的“分差”为；
⑤这三个数的位置为：，，时，
则，，，
，
，，的“分差”为；
⑥这三个数的位置为：，，时，
则，，，
，
，，的“分差”为；
，
这些不同“分差”中的最大值为．
（3）∵“分差”为2，，
∴三个数的顺序不能是，6，x和，x，6和x，，6
①，
∴，，，
若，得，，不符合题意；
若，得，不符合题意；
②，
∴，，，
若，得，，不符合题意；
若，得，，符合题意；
③，
∴，，，
若，得，，符合题意；
若，得，，不符合题意；
综上所述，x的值为或8．
6．解：（1）由规律可得第4个式子为：．
（2）由并结合规律，得到．
原式．
（3）总结一般性规律得到：
（4）当时，有．
左边右边．
左边=右边．
当n=20时，对应的式子是正确的．
本题第4问还有其他验证方法．不同解法酌情合理给分即可．
7．（1）解： ；
（2）解：①
②
8．（1）解：由，知，所以，即．
∴．
∴的值为2的倒数，即．
（2）由，得到，
即，
∴，
则；
（3）根据题意得：，，，
∴，
∴
∴
∴．
9．解：（1）根据材料，分式是真分式；
（2）
（3）因为为整数，
则x的可能整数值为x=2，x=3，x=5.
10．解：（1），
将可得，，
∵，
∴，
解得，
故答案为：5；
（2），
将，，得，
由得：，
∵，
∴，
由得，，
解得，
把代入⑤得，，
解得，
把，代入⑦得，，
解得；
（3），
由，得，，
由得，，
∵，
∴，
∴．
11．（1）解：∵，
∴，
，
故答案为：，；
（2）解：原式，
，
，
；
（3）解：不一定成立．
理由如下：
由材料可得，，
当为奇数时，；
当为偶数时，；
故对于任何正整数，不一定成立．
12．解：（1）①；
故答案为：；
②，
故答案为：．
（2）
．
（3）①原式
．
②；
；
；
…
．
∴原式
．
13．（1）解：由题意得，满足的矩形是黄金矩形，
故答案为：满足的矩形是黄金矩形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）；
（3）解：直线是的黄金分割线，理由如下：
∵点P是线段的黄金分割点，
∴，
设的边上的高为h，则
，
∴
∴直线是的黄金分割线．
（4）解：由（2）知，在边上也存在这样的黄金分割点Q，则也是黄金分割线，设与交于点W，则过点W的直线均是的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．
14．（1）解：设，
原式
；
（2）延长交于点，如图所示：
是的外角，
，
又，
，
；
（3）把代入方程组得：，
与方程组比较得：，
方程组的解为：，
故答案为：；
（4）连接、，分成两个五边形，如图所示：

五边形的内角和为，
两个五边形的内角和为，
两个五边形的内角和
，
故答案为：．
15．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，极限分割线为，
极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为．
故答案为： 和．
（2）抛物线经过点，
∴
∴
∴，
解得
∴点D的坐标为．
（3）①设与对称轴交于点，若，则．

∵点C的坐标为，点D的坐标为．．
∴，
∴，
∴，
解得．
∵抛物线的顶点为，
∴抛物线的顶点为，
∴当时，，故顶点为；
∴当时，，故顶点为；
∴顶点为或顶点为．
存在，或或．
如图，设与对称轴的交点为．

由知，，抛物线的顶点为，∴抛物线的极限分割线：，
直线垂直平分，
∴直线：，
∴点到直线的距离为；
直线与直线关于极限分割线对称，
直线： ，
∵，
∴点到直线的距离为，
点到直线的距离与点到直线的距离相等，
∴，
∴或，
解得或或，
故或或．
16．（1）解：①将图1补充完整如图所示．
②解：设正方形的边长为，则，
∴，
∵
∴
∴
（2）
如图所示，
依题意，，，
过点作于点，
∴
在中，
∴，
∴
（3）如图，延长至，使得，连结．
，即，则垂直平分
又
过点作的平分线，交于点，则，
则
法1：设，则
又
即
，解得
为正数，
．
法2：由题意知是的比例中项，
由任务一结论，可知，
又，
．
17．（1）解：根据题意得：
；
∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，
∴，解得：，
∴自变量x的取值范围为，且x为正整数；
（2）解：
∵，
∴当y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值，最大值为，
答：该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是元；
（3）解：根据题意得：
，
当时，恒成立，
即当时，无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变．
18．证明：∵和是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵点D在边上，
∴点B、D、C在同一直线，
∴与是旋转相似三角形；
（2）证明：与是旋转相似三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：过点A作，垂足为E，则四边形是矩形，
理由：连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形．
19．（1）解：由题意得：
四边形是圆美四边形，
，
，
．
（2）①如图，连接并延长，交圆于点，连接，
，，，
，
，，
．
故答案为：．
②如图，连接，在（1）的条件下，
，，
平分，
，
，
，
是等边三角形，延长到，使得，
又 ，，
，
，，
，
为等边三角形，
则，
即，
．
（3）如图，延长和交于点，
在（1）的条件下，，，
是直径，
，，
，
，，
在中，
，
，
即，
解得：．
20．解：（1），理由如下：
∵和都是等边三角形，点，重合
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴
（2）成立，作交线段于点M

∵和都是等边三角形
∴，，
∴即
∴
∴
∵
∴即
∴
∴，
∵，
∴是等边三角形
∴，
∴
（3），理由如下：
作交线段于点N，

∵和都是等腰直角三角形
∴，，
∴即
∴
∴
∵
∴即
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴
（4），理由如下：
作交线段于点，

∵中，．
∴，
∴即
∴
∴
∵
∴即
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴
∴

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