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2025年九年级数学中考复习
动态几何题常考热点解答题考前冲刺专题训练
1．如图，在矩形中，，，点在边上且．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动．当点不与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，以、为边作正方形．设点的运动时间为．
(1)当点落在线段上时，求线段的长．
(2)连结，当线段中点落在线段上时，求的值．
(3)当，且矩形与正方形重叠部分为轴对称图形时，求的取值范围．
(4)当矩形与正方形重叠部分面积为正方形面积的一半时，直接写出的值．
2．已知：如图1，在中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为2单位／s；同时点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1单位／s，过点作，交于点，连接，以和为邻边作平行四边形．设运动时间为．
解答下列问题：
(1)连接，当时，求的值；
(2)如图2，连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)如图3，连接与交于点，当时，求的值．
3．如图，在四边形中，，G是上一点，且，过点D作，交延长线于点E，连接．动点P从点G出发以的速度沿线段向终点B匀速运动；同时动点Q从点B出发以的速度沿线段向终点C匀速运动，过点Q作，交于点H，交于点F，当点P到达点B时，点Q也停止运动．设运动时间为t（s），．解答下列问题：
(1)当t为何值时，四边形是平行四边形；
(2)设的面积为S（），求S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使平分四边形的面积？
4．如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由．
5．如图，在中，，，，若点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，运动时间为秒．

(1)_________，_________（用含有t的代数式表示）
(2)出发几秒后，线段的长为？
(3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由．
6．如图，在中，，，，点从点开始沿以的速度向点运动，点从点开始沿以的速度向点运动，如果，分别从，同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为．
(1)当为何值时，的面积为？
(2)是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
7．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．

(1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
8．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒．
(1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由；
(2)在运动过程中，能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由．
9．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，几秒钟后的面积为？
10．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为．
(1)______，______，（用含的代数式表示）；
(2)为多少时，四边形的面积为；
(3)为多少时，点和点的距离为．
(4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形．
11．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动．
(1)经过ts，线段的长为__________cm，线段的长为__________cm．
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，的长度等于？
(3)的面积能否等于？请说明理由
12．如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动．
(1)_______，_______（用含的代数式表示）；
(2)为多少时，四边形的面积为；
(3)为多少时，点和点的距离为．
13．如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为．
(1)填空： ________， ________（用含的代数式表示）；
(2)当是等腰直角三角形时，求的值；
(3)当的长为时，求的值；
(4)当的面积等于矩形面积的时，直接写出此时的值．
14．如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是．
(1)为何值时，在的垂直平分线上？
(2)为何值时，的长度为？
15．如图所示，中，．
(1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？
(2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
(3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？
《2025年九年级数学中考复习动态几何题常考热点解答题考前冲刺专题训练》参考答案
1．(1)
(2)或
(3)或或
(4)或
【分析】（1）当点落在线段上时，根据正方形的性质和矩形的性质，得到，，证得，推出，然后利用勾股定理求得，代入计算即可得到的长度；
（2）分情况讨论：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，可知此时四边形和都是矩形，然后根据正方形的性质，得到，，，进而用证明，得到，，，最后得到，即可求得的值；②当点在上时，设线段中点为，交于点，连接，此时线段和线段共线，同①，，，，，进而得到和为等腰直角三角形，求得，，，从而得到，最后求得，即可求得的值；
（3）分情况讨论：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形；②当点在上时，此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形；③当点在上，且时，设交于点，易证，此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形，然后根据矩形的性质和勾股定理求得，即可求得的值；④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
（4）分情况讨论：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，根据面积关系可证，结合，利用可证，得到点为正方形的对角线中点，接着利用可证，从而求得，进而求得，可知此时；③当点在上时，作于点，于点，设与交于点，则四边形、四边形和四边形均为矩形，设，则，，，，先证明，得到，用表示出，进而得到，然后根据重叠部分面积，用表示出来；接着利用勾股定理用表示出，最后根据面积关系得到关于的方程，解之，结合，即可得到，进而得到此时的值．
【详解】（1）解：当点落在线段上时，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，，
在中，，
，
．
（2）解：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，如图所示，
则，
四边形为矩形，，，，
四边形和都是矩形，
，；
四边形是正方形，为的中点，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当在线段上，线段中点落在线段上时，；
②当点在上时，
线段中点落在线段上，
此时线段和线段共线，
设线段中点为，连接，设交于点，如图所示，
四边形是正方形，为的中点，
，，，，
，
同①可知四边形和都是矩形，
，
线段和线段共线，，
，
和为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当点在上，线段中点落在线段上时，；
综上，当线段中点落在线段上时，或．
（3）解：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
②当点在上时，如图所示，
此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形；
③当点在上，且时，设交于点，连接，如图所示，
，，，
，
此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形；
作于点，设，
则四边形为矩形，
，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
综上，当或或时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形．
（4）解：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，如图所示；
②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，如图所示，
则四边形和都是矩形，
，；
，
，
；
，
，，
，
，即点为正方形的对角线中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；
③当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，作于点，于点，设与交于点，如图所示，
则四边形、四边形和四边形均为矩形，
设，则，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
，
重叠部分面积
，
在中，，
，
，
整理得，，
解得，
，即，
，
，
，
时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；
综上，当或时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称图形的识别等，熟练掌握以上知识点作出合适的辅助线采用分类讨论的思想是解题的关键．
2．(1)3
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例，建立方程进行解方程，即可作答．
（2）过点D作于H，，则，，故，则，分别把数值代入，，得，所以，得，整理得，即可作答．
（3）过点作于，整理得，则运用即，，建立方程，进行解方程，即可作答．
本题考查了平行线分线段成比例，解直角三角形的相关运算，方程与动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：，
．
，，
，，
，
∴，
解得，
（2）解：过点D作于H，
在中，，
，
．
在中，，
，，
，
则，
，
，
，
则，
∴
则，
，
（3）解：过点作于，
在中，，
，
．
，
，
，
，
又，
，
即，，
∴．
解得，
，
∴
3．(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）列出、、关于t的代数式，通过，得到，即可求解，
（2）由，得到，求出，关于t的代数式，代入，即可求解，
（3）根据，代入，即可求解．
【详解】（1）解：过点A作于点M，如图，
，
∴四边形为矩形，
，
，
，
，
，动点P从点G出发以的速度沿线段向终点B匀速运动，动时间为t（s），
，
，
动点Q从点B出发以的速度沿线段BC向终点C匀速运动，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，即，解得，
故当，四边形是平行四边形．
（2）解：过点P作，交的延长线于点K，延长交于点N，如图，
，
，
∴四边形为矩形，
．
，
，
，即：，
，
，
，
，
故，
（3）解：存在某一时刻时，平分四边形的面积，理由：
平分四边形的面积，
，
，
解得：或（不合题意，舍去），
故存在时，平分四边形的面积．
【点睛】本题考查了梯形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，平行四边形性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：用含t的代数式，表示出线段的长度．
4．不能，理由见详解
【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系并判断自变量的取值范围．
根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取值即可．
【详解】解：不能，理由如下：
假设运动时间为，根据题意得，
即
整理得，
解得，或
，，所以自变量的取值范围为，
当时，不符合题意；
∴不存在这样的点，
∴四边形的面积不能等于．
5．(1)，，
(2)秒或2秒
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．解题的关键是正确的识图，准确的列出一元二次方程．
（1）点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，即可表示出和的长度；
（2）和的长度，根据利用勾股定理可列方程求解；
（3）利用三角形面积公式列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．
【详解】（1）解：根据题意得，
则，；
（2）解：设秒后，，
则，，
在中，得，
解得：，，
故经过秒或2秒后，线段的长为；
（3）解：不能．
理由：设经过秒，的面积等于，
则，，
∴，
即，
，
该方程无实数解．
的面积不会等于．
6．(1)或
(2)或
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，一元二次方程的应用：
（1）根据路程速度时间即可用含的代数式表示线段和，根据三角形的面积公式得出方程即可求解；
（2）根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似，分两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，
∴，，
∴．
∵的面积为，
∴，
∴，
∴解得，，
∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒的面积为．
（2）解：∵，
当时，和相似，
即，
解得：；
当时，和相似，
即，
解得：．
∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒和相似．
7．(1)当时，点B在的垂直平分线上
(2)当时，的长度等于
(3)存在，当时，使得的面积等于
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
(1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可；
(2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；
(3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒，
，
，
∵B在的垂直平分线上，
，
，
解得，
∴当时，点B在的垂直平分线上；
（2）∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒，
，
，
，
∵四边形是矩形，
，
由勾股定理得，
，
即
解得，，
舍去
∴当时，的长度等于；
（3）由题意得，，
的面积等于，
，
，
化简得
或
舍去，
∴当时，使得的面积等于．
8．(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定；
（2）设运动秒钟后的面积为，则，， cm，cm，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论.
【详解】（1）解：根据题意可知：，，，
∵四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或；
（2）解：设运动秒钟后的面积为，则 ，，，，
，
，
，
即，
，
方程无实数根，
的面积不能为.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用．
9．运动1秒或5秒后的面积为．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，，
，
，
，
，
解得：，．
答：运动1秒或5秒后的面积为．
10．(1)；
(2)5
(3)t为或
(4)或2或或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确的列方程；
（1）当运动时间为时，根据点和点的运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
（3）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
（4）分，，三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：当运动时间为时，，，
故答案为：；．
（2）依题意得：，解得：．
答：当t为5时，四边形的面积为．
（3）过点Q作于点E，如图所示．
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，即，
解得，
答：当t为或时，点P和点Q的距离为．
（4）解：当时，过P作，
四边形是矩形，
，
，
，，
四边形是矩形，
，
，
解得：；
当时，过Q作于E，
同理可证：四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，即，
解得：或，
当时，
在中，，
，
解得：或（舍去），
综上所述，或2或或．
11．(1)
(2)3
(3)不能，见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解一元二次方程，对于（1），根据速度乘以时间得出，进而表示；
对于（2），根据勾股定理列出方程，求出解即可；
对于（3），根据面积公式方程，求解即可判断．
【详解】（1）根据题意可知，则．
故答案为：；
（2）由（1）知，，根据勾股定理，得
，
即，
解得或（舍去），
所以同时出发3秒后，的长度等于；
（3）不能，理由如下：
，
，
∵
∴该方程无解．
所以的面积不能等于7．
12．(1)；
(2)当t为5时，四边形的面积为．
(3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm
【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，．
故答案为：；．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：．
答：当t为5时，四边形的面积为．
（3）过点Q作于点E，则，如图所示．
依题意得：，
即，
解得，．
答：当t为或时，点P和点Q的距离为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
13．(1)，
(2)
(3)的值为或
(4)的值为或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是掌握相关的知识．
（1）根据路程速度时间可得，，再根据矩形的性质和线段的和差可表示出；
（2）由矩形的性质可得，结合等腰直角三角形的性质可得，即，即可求解；
（3）根据勾股定理列出一元二次方程即可求解；
（4）根据题意可得，再求出矩形的面积，最后根据的面积等于矩形面积的，列方程即可求解．
【详解】（1）解：设运动时间为，
根据题意得：，，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：，；
（2）四边形是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，即，
解得：，
当是等腰直角三角形时，的值为；
（3），，
，即，
解得：或，
当的长为时，的值为或；
（4），，，
，
矩形的边长，，
，
的面积等于矩形面积的，
，
解得：或，
当的面积等于矩形面积的时，的值为或．
14．(1)
(2)或
【分析】（1）由题意得，，则，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则，解方程即可得到答案；
（2）由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∵在的垂直平分线上，
∴，
∴，
解得，
∴当时，在的垂直平分线上；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴当或时，的长度为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
15．(1)2秒或4秒
(2)不能，理由见解析
(3)经过秒或5秒或秒后，的面积为
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．
（1）设经过x秒，的面积等于，根据三角形面积公式列出方程求解即可；
（2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（3）分三种情况：①点P在线段上，点Q在线段上；②点P在线段上，点Q在射线上；③点P在射线上，点Q在射线上；进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：设经过x秒，的面积等于，依题意有：
，
解得：，
∴经过2秒或4秒，的面积等于；
（2）解：线段不能将分成面积相等的两部分，理由如下：
设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有
的面积，
，
即，
∵，
∴此方程无实数根，
∴线段不能将分成面积相等的两部分；
（3）解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上， 依题意得：
，
即，
解得， ，
经检验， 不符合题意，舍去，
∴此时；
②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意得：
，
即，
解得，
经检验，符合题意．
③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上，依题意得：
，
即，
解得， ，
经检验， 不符合题意，舍去，
∴；
综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积为．

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