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2025年九年级数学中考复习二次函数综合压轴题考前冲刺题型分类训练题
1．如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)是线段上一动点（不与点，重合），过点作轴于点，交于点，交抛物线于点，连接，，．
①是否存在点．使？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
②若，求点的坐标．
2．如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点．

(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标．
(2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差．
(3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段上一动点，点N为线段上一动点，于点F，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为原抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
5．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点B到直线的距离；
(3)点P在第二象限的抛物线上运动，求当的面积最大时，点P的坐标以及最大面积．
6．如图，抛物线过点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式及对称轴；
(2)点为直线下方抛物线上的动点，当的面积是4时，求点的坐标；
(3)如图2，抛物线与相交于点，，且与轴交于点．点位于第一象限且在抛物线上，过点作平行于轴的直线，交抛物线于另一点（点在点左侧），交抛物线于点，（点在点左侧）．当时，直接写出的取值范围．
7．如图，抛物线与轴相交于点、两点，交轴于点，顶点为点，点是点关于抛物线对称轴的对称点，过点作轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是线段上方抛物线上一点，过点．作轴交轴于点，交线段与点，当四边形的面积最大时，在线段上有一动点，在线段上有一动点，在轴上有一动点，且满足，连接，求的最小值．
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线．点为新抛物线对称轴上一动点，连接，当时，在平面内找到一点，使得四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出一个点的求解过程．
8．如图1，抛物线 与x轴交于点A和点B，点D是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交x轴于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P 是抛物线上一点，且位于点 A和点D之间（不含点A，D）．
如图2，连接，，，求四边形的面积的最大值；
如图3，连接交于点Q，连接交于点E，求的值．
9．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，两点，交轴正半轴于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点在轴上，点在第一象限的抛物线上，若且，求点的坐标；
(3)如图2，已知动点在抛物线上，为的中点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为．
①直接写出关于的函数解析式；
②当时，试探究的取值范围．
10．已知：如图，点，，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，抛物线经过点B、C、D，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)试判断的形状，并说明理由；
(3)若点E是线段上的一个动点（不与点B、D重合），点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动到点E，再以每秒个单位长度的速度沿运动到点D，又以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，最后在点O处停止运动，请求出上述运动时间t的最小值，并直接写出此时点E的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴的交点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点．点、点是直线上的动点，满足点在点的左侧且．当线段最大时，求的周长的最小值．
(3)点为抛物线上的一个动点，点、点为第（2）问周长取得最小值时的点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的过程．
12．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，于y轴交于B点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图所示，点D为线段的中点，点M为线段上一动点（点M不与点B，C重合），连接，以A为旋转中心将线段顺时针旋转得到线段，连接．
（ⅰ）求的最小值；
（ⅱ）连接交于点E，若，求点N的坐标．
13．【综合探究】
如图，已知抛物线的顶点为点，且与轴交于B、A两点（在的左侧），与轴交于点，点为抛物线对称轴上的一个动点．设对称轴与轴交于点．
(1)当点在轴上方且时，求的值；
(2)若抛物线对称轴上存在一点，使得取得最小值，连接并延长交第二象限抛物线为点，请求出此时线段的长度．
14．在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，顶点为的抛物线经过点，，且与轴交于点，（点在点的左侧）
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线对称轴上存在一点，当的周长最小时，直接写出点坐标；
(3)当时，，求的值；
(4)平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段有公共点时，求抛物线顶点的横坐标的取值范围．
15．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当时，函数值的取值范围是___________；
(3)若点为第四象限的抛物线上一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．
①连接，过点作轴，交于点，以、为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求的值；
②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分图象与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围．
《二次函数压轴之线段问题归纳练-2025年中考数学三轮复习备考》参考答案
1．(1)
(2)①不存在点，使；理由见解析；②的值为或5
【分析】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式．
（2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，由题意得四边形是平行四边形，得到，据此求解即可；
②求出直线的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：，
故，
则的坐标为，
把代入中
得，
解得：，
∴抛物线的解析式的为：．
（2）解：①不存在点，使；理由如下，
∵，
令，则，解得：或3，
∴，
又∵，
∴，，，
又轴，
，
，
，
∵，
∴，，
，
∵轴，∴，
当时，则四边形是平行四边形，
∴，
∴，整理得，
∵，
∴不存在点，使；
②∵点，，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）；
当点P在x轴下方时，如下图所示：
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）；
综上所述，的值为：或5．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，注意相似三角形分情况讨论．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
2．(1)
(2)最大值为，此时
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，熟知以上性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法即可求得直线的解析式为，设，，则，即可得出，根据二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：把，，代入得：
，
解得，
抛物线的表达式为，
（2）解：在二次函数中，令，得，
解得：，
，
设直线的解析式为，将代入得，
，解得，
直线的解析式为，
设，，
轴，
，
，
，
当时，最大值为，此时．
3．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再运用配方法求得出顶点M的坐标即可；
（2）先根据该二次函数的性质求得其在上的最大值和最小值，然后作差即可解答；
（3）先求出直线的表达式为，设点（且），则点．然后分点在点的下方和上方两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵点是拋物线上的点，
∴解得：
∴抛物线的表达式为．
∵，
∴拋物线顶点的坐标为．
（2）解：∵抛物线顶点的坐标为，
∴当时，随的增大而减小．
∴当时，在处，取得最大值；
在处，取得最小值．
∴当时，二次函数的最大值与最小值的差为．
（3）解：设直线的表达式为，
∵点，
解得：
直线的表达式为，
设点（且），则点．
当点在点的下方，即时，，
∴时，线段的长随的增大而增大；
当点在点的上方时，，
∴当时，线段的长随的增大而增大．
综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
4．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据得即，结合，
确故，构造方程组解答即可；
（2）先求得直线的解析式为，不妨设，则，则，继而计算出代数式的最值， 且当时，有最大值，此时．作，延长交于点G，过点P作于点Q，交于点M，交于点N，此时，此时取得最小值，利用三角函数解答即可．
（3）先根据向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得到符合题意的新抛物线，过点D作，交第一象限内抛物线于点Q，则，确定直线的解析式为，再确定直线的解析式为，构造方程组，确定；证明，得到，此时当点Q与点A重合时，，此时，
综上所述，符合题意的点或，解答即可．
【详解】（1）解：∵
∴即，
∵，
∴，
故，
把点，分别代入，
∴，
解得，
∴．
（2）解：∵，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
不妨设，则，
∴，根据得，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
且当时，有最大值，此时．
作，延长交于点G，
过点P作于点Q，交于点M，交于点N，
∴，
此时取得最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴的最小值为．
（3）解：当时，有最大值，此时．
∵，，
∴，，
∴，
∴向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得到符合题意的新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
过点D作，交第一象限内抛物线于点Q，
则，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
解得，（舍去），
∴；
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴当点Q与点A重合时，，
此时，
综上所述，符合题意的点或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的最值，三角函数的应用，特殊角函数值的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，垂线段最短，熟练掌握函数的最值，三角函数的应用是解题的关键．
5．(1)
(2)
(3)，，
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积问题、待定系数法等知识，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用等积法进行解答即即可；
（3）求出直线的解析式为,设点P的坐标为，作轴交直线于点，则，得到的面积，利用二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：把代入得到，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴，
设点B到直线的距离为，
则，
∴
解得，
即点B到直线的距离为，
（3）设直线的解析式为．
∴
解得
∴直线的解析式为,
设点P的坐标为，作轴交直线于点，
则，
则
∴的面积
当时，有最大值，
此时
此时点P的坐标为
6．(1)，
(2)
(3)
【分析】对于（1），将点代入得出方程组，求出解即可；
对于（2），作，设点，可得点，即可表示出，再根据得出方程，结合点P的位置求出解；
对于（3），将点代入关系式可求出关系式，再根据点Ｅ的坐标及对称轴求出，分两种情况求出ｍ值，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线的关系式为，
∴抛物线的对称轴是；
（2）解：如图所示，过点P作，交x轴于点D，
设点，可得点，
∴
则
当时，，
∴点．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得（舍去），，
∴点；
（3）．
解：设抛物线的关系式为，
将点代入得，
解得，
∴抛物线的关系式为，
则抛物线的对称轴也是．
∵点，对称轴为，
∴点，
∴．
当时，即，
∴，
∴点，
∴，
解得或（舍去）；
当时，即，
∴，
∴点，
∴，
解得或（舍去）．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程，二次函数与几何图形，根据点的坐标和对称轴表示线段的长是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)点的坐标是或
【分析】（1）将点、代入，解得的值，即得到抛物线的解析式；
（2）由抛物线的解析式．可知对称轴为，从而得到，
因为点是点关于抛物线对称轴的对称点，故得点的坐标为，再利用待定系数法求得直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，可得的长为，，由于，故当时，有最大值，从而得到点的坐标，将点向右平移个单位得到，
连接，可得四边形是平行四边形 ，故当点共线时，有最小值，从而得到的最小值．
（3）根据题中提供的平移方式得新抛物线解析式为，从而得到新抛物线的对称轴为直线．由于点为新抛物线对称轴上一动点，设点的坐标为
由题意可知， 过点作交于点，则为等腰直角三角形，且．再过点作轴于点，过点作轴于点．易得．得到，由，可得，解得或，从而求得点的坐标，设点的坐标为，由于四边形是平行四边形，故且，从而列方程得，解方程即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点、两点，
∴
解得：
抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线的解析式为．
∴对称轴为，
当时，，故，
点是点关于抛物线对称轴的对称点，
点的坐标为，
，，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
，
当时，有最大值，
此时点的坐标为，
，
将点向右平移个单位得到，
连接，可得四边形是平行四边形 ，

作点关于轴的对称点，连接，
当点共线时，有最小值，
此时
的最小值为．
（3）解：将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，
所得新抛物线解析式为，所得新抛物线的对称轴为直线．
点为新抛物线对称轴上一动点，
设点的坐标为
由题意可知，
，
方法一：过点作交于点，

则为等腰直角三角形，且．
再过点作轴于点，
过点作轴于点．易得．
，
，
，
由，可得，
解得或，
点的坐标是或．
设点的坐标为
四边形是平行四边形，
且，
，
点的坐标是或．
方法二：由（定边对定角）得，

点是在以点为圆心，以为半径的圆上．
或
点的坐标是或．
设点的坐标为，
四边形是平行四边形，
且，
点的坐标是或．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质与四边形的综合题，熟练掌握二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，函数图象的平移，二次函数与四边形结合动点问题是解题的关键．
8．(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据题意得到，解方程组即可得到答案；
（2）①求出点B的坐标是，则，过点P作轴，交线段于点Q，求出点的 D的坐标是，得到，可得，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，得到，得到四边形面积，由，即可得答案；
②设点P的坐标为，求出直线的解析式为，求出，则，求出直线的解析式为，则点E的坐标是，求出，即可求出定值．
【详解】（1）解：把点代入得到，①
∵是抛物线的对称轴且交x轴于点．
∴，②
联立①②得，
解得
∴抛物线的解析式为：
（2）解：①∵，
当时，，
当时，，解得，，
∴点B的坐标是，
∴，
连接，过点P作轴，交线段于点Q，
∵
∴顶点D的坐标是，
∴
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴，
∴，
∴四边形面积，
∵点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．
∴，
∴当时，有最大值，最大值为9；
②设点P的坐标为，如图，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
∴
∴，
设的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点E的坐标是，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了二次函数综合题，二次函数与面积，二次函数与线段和，还考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，难度较大，数形结合是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)①；②或
【分析】（1）由得，得，得，根据，得，即得；
（2）由得，得，设，根据，，得，得,解得，即得；
（3）①∵，为的中点，得；②根据，得，解得或．
【详解】（1）解：∵中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵时，或，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）解：①∵，为的中点，
∴，
∵轴，交抛物线于点，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
解得或．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合．熟练掌握庭系数法求函数解析式，平移性质，中点坐标性质，二次函数的图象和性质，函数与不等式，是解题的关键．
10．(1)
(2)为直角三角形，理由见解析；
(3)，
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标，两点式直接写出抛物线的表达式即可；
（2）求出点坐标，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理进行判断即可；
（3）延长至点，使，连接，作于点，作于点，易得垂直平分，得到，等积法求出的长，锐角三角函数得到，根据题意，得到，根据为定值，得到当最小时，最小，进而得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
解得：，
∴，
当时，，
∴；
∵抛物线经过，，
∴；
（2）由（1）知：，
∴当时，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形；
（3）延长至点，使，连接，作于点，作于点，
∵，，
∴，
由（2）可知：为直角三角形，且，，，，
∴垂直平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∵点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动到点E，再以每秒个单位长度的速度沿运动到点D，又以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，
∴，
∴当最小时，最小，
∵，
∴当点在线段上时，的值最小为，
∴的最小值为；
∵点在直线上，
∴设，
∴，
解得：，
∴，
∴设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴；
同理可得：直线的解析式为：，
联立，解得：，
∴．
11．(1)
(2)的周长的最小值为
(3)点的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出，从而可求直线的解析式为，设，则，表示出，结合二次函数的性质可得当时，取得最大值为，求出，过点作交轴于点，求出直线的解析式为，从而可得，证明四边形为平行四边形，得出，连接并延长，使得，连接，证明为等腰直角三角形，得出，求出点、关于直线对称，得到，即的周长，连接交于，当、、在同一直线上时（即、重合时），最小，为，求出，最后由勾股定理计算即可得解；
（3）求出，，过点轴，作轴交轴于，作交于，则，求出，证明，得出，设，则，求出，解得，此时 ；作点关于的对称点，作直线，由轴对称的性质可得，从而得出，即点为直线与抛物线的交点，，求出直线的解析式为，联立求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，，即，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，
∵轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，为，此时，
∴，
如图，过点作交轴于点，
，
设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
连接并延长，使得，连接，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，
∴，
∵，
∴点、关于直线对称，
∴，
∴的周长，
连接交于，当、、在同一直线上时（即、重合时），最小，为，
设，则，
解得：，即，
∴，
∴的周长的最小值为；
（3）解：如图，
，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得，即，
设，则，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
如图，过点轴，作轴交轴于，作交于，
，
则，
∴，，
∴，
∵直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，此时，
∴；
作点关于的对称点，作直线，
由轴对称的性质可得：，
∴，
∴点为直线与抛物线的交点，，
设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
∴直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立可得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，此时，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形、求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
12．(1)
(2)（ⅰ）；（ii）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）（i）先求出点B的坐标，再利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理证明，得到；连接，过点作于点，证明，得到，则，可得当点在线段（不含端点）上运动时，点在上与运动，则当时，的值最小是的长，求出，则，即的最小值为；（ii）证明，推出，则；求出直线解析式为，设，则，，则有，解得（舍去）或；过点M和点N分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明，得到，则可求出，据此可得答案．
【详解】（1）解：把代入抛物线中得，
，
解得，，
∴抛物线解析式为；
（2）解；（ⅰ）在中，当时，，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
如图所示，连接，过点作于点，
∵绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点在线段（不含端点）上运动时，点在上与运动，
∴当时，的值最小（即的值），
∵，
∴，
∵点是中点，
∴；
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值为；
（ii）由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）或（经检验是原方程的解）；
如图所示，过点M和点N分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，，即此时．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，旋转的性质等等，证明是解题的关键．
13．(1)
(2)
【分析】（1）分别令，分别解方程，求得的坐标，进而得出顶点，设对称轴与轴交于点，根据平行线的性质得出，进而根据正弦的定义即可求解；
（2）如图所示，过点作于点，交对称轴于点，连接并延长交第二象限抛物线为点，在中，，得出，则当点，，三点共线且垂直时最小，待定系数法求的解析式，联立，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵，
令，解得，，
即，，
把代入中，得，即，
∵，
∴对称轴是直线，顶点，
∴，，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，过点作于点，交对称轴于点，连接并延长交第二象限抛物线为点，
在中，，
∴，
∴，
∴要取得最小值，即要最小，
∴当点，，三点共线且垂直时最小，此时最小，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴的解析式为：，
联立，
解得或（舍去）
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，勾股定理，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
14．(1)
(2)点坐标为
(3)或
(4)或
【分析】（）根据矩形的性质求出点坐标，再利用待定系数法解答即可；
（）连接，可得点关于对称轴对称，即得，进而得到的周长，可知当三点共线时，的值最小，此时的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入求出即可得到点坐标；
（）根据二次函数的性质，分与两种情况，根据二次函数的分别讨论，即可求解；
（）根据题意，找出顶点平移的临界点，然后进行分类讨论，分别求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵矩形的顶点，的坐标分别为，，
∴，
把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：连接，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，，
∴点关于对称轴对称，
∴，
∴的周长，
∵，
∴当三点共线时，的值最小，此时的周长最小，
把代入得，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴此时点坐标为；
（3）解：∵，
∴抛物线的顶点的坐标为，对称轴为直线，开口向下，
当，即时，随的增大而增大，
∵当时，，
∴时，，
即，
解得，（不合，舍去）；
当时，随的增大而减小，
∴当时，，
即，
解得，（不合，舍去）；
综上，或；
（4）解：设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴可设平移中的抛物线的解析式为，
当时，抛物线即，此时抛物线与线段有两个交点；
当时，
①当拋物线经过点时，有，
解得(不合，舍去)，；
②当抛物线经过点时，有，
解得(不合，舍去)，；
综上可得，；
②当且抛物线与直线有公共点时，
则即有实数根，
∴，
解得，
∴；
综上，当或时，在平移的过程中，抛物线与线段有公共点．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的几何应用，轴对称的性质，一元二次方程根的判别式等，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，利用分类讨论的思想进行分析．
15．(1)；
(2)
(3)①的值为或
②
【分析】（1）将，代入，用待定系数法即可求解；把抛物线的解析式化成顶点式即可得顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质求出最大值与最小值即可求得取值范围；
（3）①求出直线的表达式，分别表示点、的坐标，进而可表示出、的长度，分两种情况：Ⅰ当点在点左侧即时，Ⅱ当点在点右侧即时，分别列方程求解即可；
②用分别表示点关于直线的对称点的坐标，结合图形列方程或不等式即可求得的取值范围．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过，，
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
把配方，
得，
顶点的坐标为：；
（2）解：，
时，随的增大而减小，
时，随的增大而增大，
当时，时，，
时，，
，
故答案为：；
（3）解：①令，则，
解得，
，
设直线为，
将，代入，
得，
解得，
，
点为第四象限的抛物线上一点， 轴，
，即，，
，
轴，
，
；
Ⅰ当点在点左侧即时，如图所示：
，当矩形的周长为时，，
即，
解得（舍），；
Ⅱ当点在点右侧即时，如图所示：
，
当矩形的周长为时，，
即，
解得；
综上所述，当矩形的周长为时，的值为或；
②如图所示：
当点关于直线的对称点在轴上时，；
当点关于直线的对称点过原点时，
，
，
，
，
综上所述，．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的周长、轴对称等知识，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是本题的关键．

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