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第1章《整式的乘除》期末知识点复习题
【题型1 巧用幂的运算逆向运算】
1.已知，，，
（1） ；
（2），，之间满足的等式关系为 ．
2.已知常数a，b满足，且(，求的值，
3.已知，．
（1）的值为 ；
（2）若，则的值为 ．
4.爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若，且，、都是正整数），则，例如：若，则．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值．
【题型2 整式乘法中不含某项问题】
1.若的展开式中不含和项，则 ．
2.老师在黑板上布置了一道题：
已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值．
小亮和小新展开了下面的讨论：
小亮：只知道x的值，没有告诉y的值，这道题不能做；
小新：这道题与y的值无关，可以求解；
根据上述说法，你认为谁说的正确？为什么？
3.已知的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，则mn的值为 ．
4.已知关于、的代数式的值与的取值无关，求实数、的值．
【题型3 多项式乘法中的规律性问题】
1.下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，……按此规律排列下去，第⑨个图形中星星的颗数为 ．

2.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝　 　．
（2）的展开式共有______项，系数和为_______．
（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
（4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期 ．
3.图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第个叠放的图形中，小正方体木块总数应是 ．

4.阅读以下材料：
；
；
（1）根据以上规律，=　　　　 ；
（2）利用（1）的结论，求的值
【题型4 巧用乘法公式求值】
1.使用整式乘法法则与公式可以使计算简便，请利用法则或公式计算下列各题
(1)已知，求的值
(2)计算：（写计算过程）
(3)设a，b，c，d都是正整数，并且，，求的值．
2.已知x满足（x﹣2020）2+（2023﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是 ．
3.已知：，，，则：（1） ．（2）求x，y的值分别为 ．
4.已知．
(1)______；
(2)求的值；
(3)求结果的个位数字．
【题型5 乘法公式的几何背景】
1.【知识生成】
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】（1）若，，求的值；
【类比应用】（2）填空：①若，则　 　；
②若，则　 　；
【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．

2.工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．
（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；
（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为　 　．
3.数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数间刻时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问题．
构图一：（1）如图1是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的公式 　　（填选项即可）；

A．；B．；C．
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①若，求的值为 ；
②计算： ．
构图二：如图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个边长为1的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ．

构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中正方形与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为，正方形的边长为，则八边形的面积为 ．

4.我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到
(1)写出由图2所表示的数学等式：________________________．
(2)根据上面的等式，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若，求的值．
(3)已知实数、、，满足以下两个条件：且，求的值．
【题型6 整式的乘除中的新定义问题】
1.设a，b是任意有理数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①；②；③；④，其中正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
2.已知 x，y均为有理数，现定义一种新运算“”，满足下式：．
(1)求出的值．
(2)化简，并求出当时的值．
3.定义运算，比如，，那么关于“*”运算，以下等式成立的是 ．
①； ②； ③
4.配方法是数学中重要的一种方法.它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形以及解决代数式最大、最小值等问题中.
定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”.
解决问题：
(1)已知13、28、37三个数中，“完美数”是_________________.
(2)请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值.
(3)试问当为何值时，（，是整数，是常数）为“完美数”，并说明理由.
【题型7 整式运算中的定值问题】
1.图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系．如图，大长方形由5个全等的长为a，宽为的小长方形和另外两个长方形拼成．记其中长方形的面积为，长方形的面积为，设，且当时，不论x取何值，为定值，则a与b的数量关系为 ．
2.如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3.将4块相同的小长方形绿化带按如图所示的方式不重叠的放在长方形花坛内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形面积分别为，，已知小长方形绿化带的长为a米，宽为b米，且．
(1)当米时，请用含a，b的式子分别表示 米2， 米2， 米2；
(2)由于空间有限，花坛的短边长度为定值，而花坛的长边可以延伸，将这4块小长方形绿化带按同样的方式放在新的长方形花坛内，要使未被覆盖的部分分割的两个长方形面积，求a，b满足的数量关系．
4.阅读理解，若x满足，求的值．
解：设，，
则，
，
，
归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化．
解决问题：
(1)若x满足，则____________________．
(2)若x满足，求的值．
(3)如图，在长方形中，，，点E、F是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为150平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
【题型8 整式运算中的整除问题】
1.一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如：时，，．对于两位正整数s与t，其中，（，，，且，，，为整数）．若能被整除，则的值为 ，在此条件下，若，其中为整数，则此时与乘积的最大值为 ．
2.若A、B、C均为整式，如果，则称A能整除C，例如由，可知能整除．若已知能整除，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
3.已知：整式，m为任意有理数
(1)的值可能为负数吗？请说明理由；
(2)请通过计算说明：当m是整数时，的值一定能被4整除．
4.因为，所以．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为；另外，当多项式的值为．阅读上述材料回答问题：
（1）由可知，当_时，多项式的值为；
（2）一般地，如果一个关于字母的多项式当时，的值为，那么与代数式之间有一定的关系，这种关系是：_____；
（3）已知关于的多项式能被整除，试求的值．
参考答案
【题型1 巧用幂的运算逆向运算】
1. 2
【分析】（1）逆用同底数幂除法法则计算即可；
（2）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
故答案为：2；
（2）∵，，，
∴，
∴,
故答案为：．
2.解：∵，
∴，
∴，
∵(，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
3.
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果；
利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果．
【详解】解：，，
，
故答案为：；
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
4.（1）因为2×4x×32x=236，
所以2×22x×25x=236，
即21+7x=236，
所以1+7x=36，
解得：x=5；
（2）因为3x+2+3x+1=108，
所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，
即3x+1=33，
所以x+1=3，
解得：x=2．
【题型2 整式乘法中不含某项问题】
1.9．
【分析】根据展开式中不含和项，即和项的系数为0即可求解．
【详解】解：，
=，
=，
根据展开式中不含和项，列方程组得，
，
解得，，
，
故答案为：9．
2.解：
，
∴这道题与y的值无关，可以求解，
∴小新的说法正确．
3.6
【分析】根据多项式乘多项式运算法则进行化简，然后令含x的一次项的系数为零以及常数项为即可求出答案．
【详解】解：
，
∵的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，
∴，
∴．
故答案为：6．
4.解：原式
，
∵代数式的值与的取值无关，
∴，，
∴，
当时，由可得，
解得：，
当时，由可得，
解得：，
∴，或，．
【题型3 多项式乘法中的规律性问题】
1.
【分析】根据题意将每个图形都看作两部分，一部分是上面的构成规则的矩形，另一部分是构成下面的近似金字塔的形状，然后根据递增关系即可得到答案．
【详解】第①个图形中星星的颗数；
第②个图形中星星的颗数；
第③个图形中星星的颗数；
第④个图形中星星的颗数；
……
∴第n个图形中星星的颗数
∴当时，，
∴第⑨个图形中的星星颗数为颗，
故答案为：
2.解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）∵的展开式是按照a的指数从n到0进行降幂排列，
∴的展开式共有项，从规律可发现系数和为；
（3）令（1）中a=2，b=-1，得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2-1）5=1；
（4）8100
根据规律可知，除以7余数为1，
∴若今天是星期二，经过8100天后是星期三．
3.
【分析】图（1）中只有一层，有一个正方体，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有，依此类推出第n层正方体的个数，即可推出当有n层时总的正方体个数．
【详解】解：经分析，可知：第一层的正方体个数为，
第二层的正方体个数为，
第三层的正方体个数为，
……
第n层的个数为：，
第n个叠放的图形中，小正方体木块总数为：
．
故答案为：
4.（1）中最高次项为，
所以=-1；
（2）
=（5-1）（）
=
【题型4 巧用乘法公式求值】
1.（1）解：∵，
∴．
（2）解：
．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵a，b，c，d都是正整数，
又∵，，
∴，为正整数，
∴为正整数，
∵，
∴为正整数，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∵a，b，c，d都是正整数，
∴，
∵，，，，
∴，
解得：，
则，
∵，
∴，
∴，
∴．
2.4
【分析】根据题意原式可化为[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，再应用完全平方公式可化为（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，应用整体思想合并同类项，即可得出答案．
【详解】解：∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝10
∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，
∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，
∴2（x﹣2021）2+2＝10，
∴（x﹣2021）2＝4．
故答案为：4．
3. ，
【分析】由可得，再根据，可得，可得，进而可得x，y的值．
【详解】解：∵，，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
可得，解得：
即：x，y的值分别为，；
故答案为：；，．
4.（1）解：；
故答案为：15；
（2）
；
（3）
；
，，，，，，
可知的个位数呈3、9、7、循环，
，
的个位数是1，
的个位数是0．
即结果的个位数字是0．
【题型5 乘法公式的几何背景】
1.解：（1），
∴，
∴，
∵，
，
答：；
（2）①设，，则，，
，
故答案为：7；
②设，，则，，
，
故答案为：3；
（3）设，，
，，
，，
即，，
，
即，
，
答：一块直角三角板的面积为30．
2.（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；
②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3=a，∴长为a+6，则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；
（2）设AB=x，则BC=x+3，∴图1中阴影部分的面积为S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），图2中阴影部分的面积为S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．
故答案为9．
3.解：构图一：（1）图1中阴影部分的面积为：，图2中阴影部分的面积为：，根据阴影部分面积不变得到，
故选：B；
（2）①，即，
，
故答案为：3；
②，
故答案为：1；
构图二：根据体积不变得；
构图三：由题意知小长方形的短边为，
八边形的面积为，
故答案为：．
4.（1）大正方形面积＝，大正方形面积也等于各个小矩形面积之和即：，
∴．
故答案为：．
（2）根据（1）中公式，
即
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴或3
∴或9．
（3）∵，
∴，
令A＝a＋1，B＝b 2，C＝c＋3，可得，
∴a＝A 1，b＝B＋2，c＝C 3，
∴a＋b c＝A 1＋B＋2 （C 3）＝A＋B C＋4，
（a＋1）（c＋3）＋（b 2）（c＋3）＝（a＋1）（b 2）变形得，
．
∴ ，
∴A＋B C＝ 2或2，
∴a＋b c＝A＋B C＋4＝2或6．
【题型6 整式的乘除中的新定义问题】
1.D
【分析】各式利用题中的新定义结合完全平方公式判断即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：
①∵，，
∴，故①正确；
②∵，
∴②错误；
③∵，，
∴，故③正确；
④∵，，
∴，故④错误．
综上，正确的是①③．
故选：D．
2.（1）解：∵
∴
（2）解： 原式
当，时，
原式
3.①③
【分析】根据新运算的定义、整式的加法与乘法法则进行计算，逐个判断即可得．
【详解】解：，，则等式①成立；
，
，则等式②不成立；
，
，则等式③成立；
综上，等式成立的是①③，
故答案为：①③．
4.（1）解：∵，，
∴13和37是“完美数”，
故答案为：13和37；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴的最小值为1；
（3）解：当时，是“完美数”，
理由如下：
∵，是整数，
∴，也是整数，
∴是一个“完美数”．
【题型7 整式运算中的定值问题】
1.
【分析】根据图形，将和的表达式写出，根据“当时，不论x取何值，为定值”得出含x的项系数为0，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
∴，
，
∴
，
∵当时，不论x取何值，为定值，
∴，即．
2.B
【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意．
【详解】解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，说法①符合题意；
∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为
，
当时，，说法④符合题意，
综上所述，正确的说法有①③④，共3个，
故选：B．
3.（1）解：由题意可得：的长边为，的短边为，的长边为，的短边为a，
根据长方形面积公式得，
，
那么；
故答案为：；；．
（2）解：设，由题意可得，
的长边为，的短边为，的长边为，的短边为a，
根据长方形面积公式得：
，
，
因为，所以，
即，
要使未被覆盖的部分分割的两个长方形面积，a，b满足的数量关系为．
4.（1）解：设，；
则，，
∴，
故答案为：．
（2）解：设，，
则，，
∴
，
故答案为：．
（3）解：由题意得，，，
∵长方形的面积为150，
∴，
∴，
+设，，则 ，
∴∴阴影部分的面积，
平方单位，
∴阴影部分的面积和为364平方单位．
【题型8 整式运算中的整除问题】
1.
【分析】根据题意求得，结合题意可得，，推得所有可能情况，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵能被整除，，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为整数，
∴或，
∵，，
∴当，时，，
当，时，，
当， 时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
∵，，
∴的值为：或，
∴的最大值为：，
故答案为：，．
2.B
【分析】根据题意设，运算得到同类项对应系数相等，即可得出答案．
【详解】解：∵能整除，
∴设，
∴，
∴，
解得，
故选B．
3.（1）解：不能．理由：
，
的值不可能为负数；
（2），
是整数，
一定能被4整除，
当m是整数时，的值一定能被4整除．
4.解：（1）∵，
∴当或时，，
即：当或时，，
故答案为：2或－1；
（2）根据题意可知：是多项式M的一个因式，
故答案为：多项式M能被整除；
（3）根据题意可知：当时，，
即：当时，，
则，
解得，
答：k的值为3．

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