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中考数学压轴预测
一．解答题（共18小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点（﹣1，6），与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC，tan∠CBA＝4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D．点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF．当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF的最小值；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK＝∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，点P在抛物线上运动，连接AP，BP和CP．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点P1，连接AP1，CP1，记△ACP1的面积为S1，记△BCP的面积为S2，若满足S1＝3S2，求△ABP的面积；
（3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PDPE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线BC方向平移个单位，在PDPE取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若∠NMF﹣∠ABC＝45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
4．已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
5．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
（3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点（点A在点B的左侧），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，抛物线与y轴相交于点C．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）已知直线l：y＝3x+9与x，y轴分别相交于点D，E．
①设直线BC与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF＝∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点M作直线BC的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线MB，NC相交于点Q．连接QD，QE．求线段QD+QE的最小值．
8．抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，点P是第四象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值；
（3）如图2点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标；
（3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．
10．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段OC上一点（不与端点重合），直线PA，PB分别交抛物线于点E，D，设△PAD面积为S1，△PBE面积为S2，求的值．
（3）如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线l∥x轴，点Q是直线l上一动点．求QM+QN的最小值．
11．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B（4，0），BC＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的最大值；
（3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使∠QFE＝2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
12．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
13．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一个交点为点B（﹣1，0），点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当EF＝AC时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA+MP的最小值为 　 　 ．
14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
（3）如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线BC下方），已知MN＝2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
15．如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点．
（1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式；
（2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．
（1）求直线AD及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PCPA的最小值．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接OP，线段PO与直线AC相交于点F．求当取得最大值时P点的坐标，当线段OC在y轴上滑动时，连接PC，OB，求PC+CO+OB的最小值；
（3）抛物线上是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
18．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，已知点E为第四象限抛物线上的点，连接AC、BE、AE、BC，且AE和BC相交于点F，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当S2﹣S1＝1时，求点E的坐标．
（3）如图2，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是直线BC下方抛物线上的两动点，且x2＝x1+1，过点P作PM∥y轴，交BC于点M，过点Q作QN⊥BC，交BC于点N．求的最大值．
中考数学压轴预测
参考答案与试题解析
一．解答题（共18小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点（﹣1，6），与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC，tan∠CBA＝4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D．点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF．当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF的最小值；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK＝∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）将点A向右平移2个单位得到点A′（﹣2，0），连接A′F交y轴于点N，过点N作NM⊥PE，连接AM，则此时AM+MN+NF＝A′N+MN+NF＝2+A′F最小，即可求解；
（3）∠QDK＝∠ACB，则DQ∥BC，则直线DQ的表达式为：y＝﹣4（x+2）+2，即可求解；当点Q（Q′）在AC上方时，同理可解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，OC＝4，
∵tan∠CBA＝4，则OB＝1，
即点B（1，0），
由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）由抛物线的表达式知，点A、B、C的坐标分别为：（﹣4，0）、（1，0）、（0，4），则点F（，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+4，
设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则点D（x，x+4），
则PD＝﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x，
当x＝﹣2时，PD取得最大值，则点E（﹣2，0）、D（﹣2，2），则MN＝2，
将点A向右平移2个单位得到点A′（﹣2，0），连接A′F交y轴于点N，过点N作NM⊥PE，连接AM，
则四边形MNA′A为平行四边形，则AM＝A′N，
则此时AM+MN+NF＝A′N+MN+NF＝2+A′F＝22为最小；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，当向左平移m个单位时，则向下平移了m个单位，
则新抛物线的表达式为：y＝﹣（x+m）2﹣3（x+m）+4﹣m，
将点D（﹣2，2）的坐标代入上式得：2＝﹣（﹣2+m）2﹣3（﹣2+m）+4﹣m，
解得：m＝2，
则新抛物线的表达式为：y＝﹣（x+m）2﹣3（x+m）+4﹣m＝﹣x2﹣7x﹣8，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣4x+4，
当点Q在AC下方时，
∵∠QDK＝∠ACB，则DQ∥BC，
则直线DQ和BC表达式中的k值相同，
而DQ过点D（﹣2，2），
则直线DQ的表达式为：y＝﹣4（x+2）+2，
联立上式和新抛物线的表达式得：﹣4（x+2）+2＝﹣x2﹣7x﹣8，
解得：x＝﹣2（舍去）或﹣1，
即点Q（﹣1，﹣2）；
当点Q（Q′）在AC上方时，
同理可得，点H′（﹣4，），
由点D、H′的坐标得，直线DH′的表达式为：y（x+2）+2，
联立上式和新抛物线的表达式得：（x+2）+2+2＝﹣x2﹣7x﹣8，
解得：x＝﹣2（舍去）或，
即点Q（，）；
综上，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（，）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，点P在抛物线上运动，连接AP，BP和CP．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点P1，连接AP1，CP1，记△ACP1的面积为S1，记△BCP的面积为S2，若满足S1＝3S2，求△ABP的面积；
（3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由S1P1E×OA3×（m+3﹣m2﹣2m+3）（﹣m2﹣m+6），同理可得：S2CD×（xB﹣xP）（3﹣m﹣3）×（1﹣m）S1（﹣m2﹣m+6），求出点P的坐标，进而求解；
（3）当点Q在点C的上方时，则∠CPQ＝45°，用解直角三角形的方法求出CQ，即可求解；点Q（Q′）在点C下方时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a＝ax2+bx+3，
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝4，即顶点坐标为：（﹣1，4）；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，3），
设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则点P1（m，m2+2m﹣3），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3，则点E（m，m+3），
同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：y＝（﹣m﹣3）x+m+3，
连接PP1交AC于点E，设直线PB交y轴于点D，则点D（0，m+3），
则S1P1E×OA3×（m+3﹣m2﹣2m+3）（﹣m2﹣m+6），
同理可得：S2CD×（xB﹣xP）（3﹣m﹣3）×（1﹣m）S1（﹣m2﹣m+6），
解得：m（舍去）或，
即点P（，2）；
则△ABP的面积AB×yP（1+3）×24；
（3）存在，理由：
由（2）知，P（，2）；
由点C、P的坐标得，PC＝3；
当点Q在点C的上方时，则∠CPQ＝45°，
由点C、P的坐标得，tan∠PCQ＝2，
过点Q作QH⊥PC于点H，
设CH＝（2）x，则PH＝QH＝x，
则PC＝3（2）x+x，
解得：x，
则QH＝x，CH（2），
则CQ22，
则OQ＝3+22＝21，
即点Q（0，21）；
当点Q（Q′）在点C下方时，
同理可得：CQ′＝6﹣2，
则点Q′（0，23）；
综上，Q（0，21）或（0，23）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PDPE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线BC方向平移个单位，在PDPE取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若∠NMF﹣∠ABC＝45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）延长PE交x轴于G，过P作PH∥y轴于H，求解，可得，可得，设 ，，PD＝2x﹣5，再建立二次函数求解即可；
（3）由抛物线沿射线BC方向平移 个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为，F（3，﹣4），分两种情况：当N在y轴的左侧时，过N作NK⊥y轴于K，证明 M（0，﹣1），可得∠AMO＝∠OAM＝45°＝∠FMK，证明∠NMK＝∠ABC；当N在y轴的 右侧时，过M作y轴的垂线，过N′作N′T⊥过M的垂线于T，同理可得：∠NMT＝∠ABC，再进一步 结合三角函数建立方程求解即可．
【解答】解：∵抛物线 y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为yx2x﹣3；
（2）如图，延长PE交x轴于G，过P作PH∥y轴交BC于H，
在yx2x﹣3中，令y＝0得0x2x﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝6，
∴B（6，0），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴，
∴sin，
∵PH∥y轴，
∴∠PHE＝∠BCO，
∴sin∠PHE，
∴PEPH，
由B（6，0），C（0，﹣3）得直线BC为yx﹣3，
设 ，则，
∴，
∵抛物线 的对称轴为直线，
∴PD＝2（x）＝2x﹣5，
∴x2+5x﹣5，
∵0，
∴当时，取得最大值，最大值为 ，此时P（5，﹣3）；
（3）∵抛物线沿射线BC方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为y（x+2）2（x+2）﹣3﹣1x2x﹣7，F的坐标为（3，﹣4），
如图，当N在y轴的左侧时，过N作NK⊥y轴于K，
由A（﹣1，0），F（3，﹣4）得直线AF解析式为y＝﹣x﹣1，
当 x＝0 时，y＝﹣1，
∴M（0，﹣1），
∴∠AMO＝∠OAM＝45°＝∠FMK，
∵∠NMF﹣∠ABC＝45°，
∴∠NMK+45°﹣∠ABC＝45°，
∴∠NMK＝∠ABC，
∴tan∠NMK＝tan∠ABC，
设，
∴，
解得： 或 （舍去），
∴；
如图，当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线MT，过N′作N'T⊥MT于T，
同理可得∠N'MT＝∠ABC，
设，则T（x，﹣1），
同理可得：，
∴ 或x （舍去），
∴，
综上所述，N的坐标为（，4）或（1，）．
【点评】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键．
4．已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝﹣4+c，即可求解；
（2）由S△PDQPD×（xQ﹣xP）（9+x1﹣3）（x2﹣x1）（x1+6），同理可得：S△ADCCD×（xD﹣xA）（x1+6），即可求解；
（3）求出线PQ的表达式为：y＝x1（x﹣x1）9＝xx1﹣29，则MN＝（x1﹣1）x1﹣29＝﹣（x1）2，即可求解．
【解答】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝﹣4+c，
则c＝9，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+9；
（2）证明：令y＝﹣x2+9，则x＝±3，则点B（3，0），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P、Q、D的表达式分别为：（x1，9）、（x2，9）、（x1，﹣x1+3），
则S△PDQPD×（xQ﹣xP）（9+x1﹣3）（x2﹣x1）（x1+6），
同理可得：S△ADCCD×（xD﹣xA）（x1+6），
则3为定值；
（3）解：点P、Q的坐标分别为：（x1，9）、（﹣2x1，﹣49），
由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y＝x1（x﹣x1）9＝xx1﹣29，
则MN＝yM＝（x1﹣1）x1﹣29＝﹣（x1）2，
故MN的最大值为：．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到面积的计算、二次函数的图象和性质，理解题意和熟悉函数的性质是解题的关键．
5．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，进而求解；
（3）当AC＝AN时，列出等式，即可求解；当AC＝CN或AN＝CN时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，
解得：a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3）、D（﹣1，﹣4），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，此时，点P到AC的距离是点D到AC距离的2倍，故点P为所求点，
由点A、C坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
∵DG∥AC，
则直线DG的表达式为：y＝﹣（x+1）﹣4，
则点G（0，﹣5），则CG＝5﹣3＝2，则CL＝4，
则点L（0，1），
则直线LP的表达式为：y＝﹣x+1，
联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x﹣3＝﹣x+1，
解得：x＝1或﹣4，
即点P（1，0）或（﹣4，5）；
（3）存在，理由：
设点N（﹣1，m），
由点A、C、N的坐标得，AC2＝18，AN2＝4+m2，CN2＝1+（m+3）2，
当AC＝AN时，
则18＝4+m2，
解得：m＝±，
则点N（﹣1，±）；
当AC＝CN或AN＝CN时，
则18＝1+（m+3）2或4+m2＝1+（m+3）2，
解得：m＝﹣3或﹣1（不合题意的值已舍去），
则点N（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3），
综上，N（﹣1，±）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、一次函数的性质、等腰三角形的性质，分类求解是解题的关键．
6．如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
（3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；
（2）先求解C（0，2），及直线BC为，设，可得，再建立二次函数求解即可；
（3）如图，以CB为对角线作正方形CTBK，可得∠BCK＝∠BCT＝45°，CK，CT与抛物线的另一个 交点即为M，如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ于G，则OB＝GQ＝3，设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3﹣m，求解T（m，m﹣1），进一步求解直线CT为y＝﹣5x+2，直线CK为，再求解函数的交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 （﹣1，0），点B坐标为（3，0），
∴．
（2）当x＝0时，，
∴C（0，2），
设直线BC为y＝kx+2，
∴3k+2＝0，
解得，
∴直线BC为，
设，
∴，
∴2PD+PE，
当时，有最大值，
此时．
（3）如图，以CB为对角线作正方形CTBK，
∴∠BCK＝∠BCT＝45°，
∴CK，CT与抛物线的另一个交点即为M，
如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ于G，则OB＝GQ＝3，
∴∠CTB＝90°＝∠CQT＝∠QGB，
∴∠QCT+∠CTQ＝90°＝∠CTQ+∠BTG，
∴∠QCT＝∠BTG，
∵CT＝BT，
∴△CQT≌△TGB（AAS），
∴QT＝GB，CQ＝TG，
设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3﹣m，
∴QO＝3﹣m﹣2＝1﹣m，
∴T（m，m﹣1），
由TC＝TB可得m2+（m﹣3）2＝（m﹣3）2+（m﹣1）2，
解得，
∴，
设CT为y＝nx+2，
∴，
解得n＝﹣5，
∴直线CT为y＝﹣5x+2，
∴，
解得或，
∴，，C（0，2），B（3，0），正方形CTBK．
∴，
同理可得直线CK为，
∴，
解得或，
∴，
综上，点M的坐标为或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点（点A在点B的左侧），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，抛物线与y轴相交于点C．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）已知直线l：y＝3x+9与x，y轴分别相交于点D，E．
①设直线BC与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF＝∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点M作直线BC的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线MB，NC相交于点Q．连接QD，QE．求线段QD+QE的最小值．
【分析】（1）求出点A、B的坐标，再用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）①求出角的关键信息，再用三角函数即可求解；
②运用轴对称求两条线段和最短即将军饮马模型在函数中运用即可得解．
【解答】解：（1）∵x1，x2是x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点，
∴，
解得，
∴抛物线函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①存在，理由如下：
∵直线y＝3x+9与x、y轴分别交于点D、E，
∴x＝0时，y＝9，
y＝0时，3x+9＝0，x＝﹣3，
∴点D（﹣3，0）、E（0，9），
∴OD＝3，OE＝9，
∴tan∠OED，
由抛物线可知：当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠FCE＝∠OCB＝45°，
∵∠DFB是△CEF的外角，
∴∠DFB＝∠FCE+∠FEC＝45°+∠FEC，
∵∠DFB＝∠PBF＝∠CBO+∠PBQ＝45°+∠PBQ，
∴∠PBQ＝∠FEC，
∴tan∠PBQ，
设P（m，﹣m2+2m+3），则BQ＝3﹣m，PQ＝m2﹣2m﹣3，
∴，
∴m＝3（舍去）或，
∴P（，）；
②∵过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N，
设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN的解析式 为：y＝﹣x+n，
设直线BM的解析式为y＝k1x+m，
将B（3，0）代入得3k1+m＝0，
解得：m＝﹣3k1，
∴直线BM的解析式为y＝k1x﹣3k1，
设直线CN的解析式为y＝k2x+m1，
将C（0，3）代入得m1＝3，
∴直线CN的解析式为y＝k2x+3；
联立方程组，得x2﹣3x+n﹣3＝0，
∴x1+x2＝3，
将M（x1，y1）代入y＝k1x﹣3k1，y＝﹣x2+2x+3 得：
，
∴（k1﹣2）x﹣3（k1+1）＝0，
∴（x1﹣3）[x1+（k1+1）]＝0，
解得：k1＝﹣1﹣x1，
将N（x2，y2）代入y＝k2x+3，y＝﹣x2+2x+3 得：
，
∴（ k2﹣2）x2＝0，
∴x2（x2+k2﹣2）＝0，
解得：k2＝2﹣x2，
联立方程组，
得出xQ，
∴点Q在直线x上运动，
在y＝3x+9中，令x＝0，则y＝9，即E（0，9），
如图，作点E关于直线x的对称点E'，连接DE'交直线x于Q'，连接EQ'，则E'（3，9），
由轴对称性质可得E′Q'＝EQ'，
∴QD+QE的最小值＝DQ'+EQ'＝DQ'+E'Q'＝DE'，
由两点之间线段最短可得：线段QD+QE的最小值为DE'，
∵DE'，
∴线段QD+QE的最小值为．
【点评】本题考查了二次函数、解直角 三角形、轴对称、勾股定理、一次函数、一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活运用并添加适当的辅助线是解题的关键．
8．抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，点P是第四象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值；
（3）如图2点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入抛物线解析式，解之即可得出结论；
（2）令y＝0，可得B（4，0）；令x＝0可得点C的坐标（0，﹣2）；则BC2；BC的解析式为：yx﹣2；根据题意，点D的坐标为（m，0），把x＝m分别代入抛物线和直线BC的解析式，可得P（m，m2m﹣2）；E（m，m﹣2）；所以DE＝2m，EP＝2mm2；由PD⊥x轴，可得PD∥y轴，所以△BDE∽△BOC，则BD：BO＝BE：BC，即BE BO＝BC BD，可得BE（4﹣m），所以PEBE（4﹣m），由此可建立关于m的方程，解之即可；
（3）由C、F的坐标可得，直线CF的解析式为：y＝2x﹣2，所以M（，3）；当y＝3时，x2x﹣2＝3，解得x＝﹣2或x＝5；当N（﹣2，3）时，FH＝MN；当N（5，3）时，FH＝MN；分别求解即可得出结论．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）代入 得；
解得a；
∴抛物线的解析式为：yx2x﹣2．
（2）把y＝0代入yx2x﹣2得，x2x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0）；
当x＝0是，y＝﹣2，
∴点C的坐标（0，﹣2）；
∴BC2；BC的解析式为：yx﹣2；
根据题意，点D的坐标为（m，0），
把x＝m代入yx2x﹣2得，ym2m﹣2．
把x＝m代入yx﹣2，得ym﹣2，
∴P（m，m2m﹣2）；E（m，m﹣2）；
∴DE＝2m，EP＝2mm2；
∵PD⊥x轴，
∴PD∥y轴，
∴△BDE∽△BOC，
∴BD：BO＝BE：BC，即BE BO＝BC BD，
∴BE（4﹣m），
∵PEBE（4﹣m），
∴2mm2（4﹣m），
解得m或m＝4（舍）；
（3）存在，点H的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．理由如下：
∵C（0，﹣2），F（1，0），
∴直线CF的解析式为：y＝2x﹣2，
当x时，y＝22＝3；
∴M（，3）；
∵点N是x轴上方抛物线上的一点，
∴当y＝3时，x2x﹣2＝3，
解得x＝﹣2或x＝5；
当N（﹣2，3）时，FH＝MN；
∴H的坐标为：（，0）或（，0）；
当N（5，3）时，FH＝MN；
∴H的坐标为：（，0）或（，0）．
综上，点H的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式等知识点，本题运用了分类讨论的思想．掌握函数的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标；
（3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M，此时△ABM的周长最小，即可求解；
（3）由PQ＝OB，即可求解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，c＝﹣5＝yB，
则OB＝5＝OA＝OC，
则点A、C、B的坐标分别为：（1，0）、（﹣5，0）、（0，﹣5），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+5）＝a（x2+4x﹣5）＝ax2+bx﹣5，
则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣5；
（2）点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M，此时△ABM的周长最小，理由：
△ABM的周长＝AB+AM+BM＝AB+CM+BM＝AB+BC为最小，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣5，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣x﹣5＝﹣3，
则点M（﹣2，﹣3）；
（3）设点P（x，﹣x﹣5），则点Q（x，x2+4x﹣5），
则PQ＝（﹣x﹣5）﹣（x2+4x﹣5）＝﹣x2﹣5x，
∵PQ∥OB，
故当PQ＝OB时，满足题设条件，
即PQ＝﹣x2﹣5x＝OB＝5，
解得：x，
则点P的坐标为：（，）或（，）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法、线段和的最值等，综合性强，难度适中．
10．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段OC上一点（不与端点重合），直线PA，PB分别交抛物线于点E，D，设△PAD面积为S1，△PBE面积为S2，求的值．
（3）如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线l∥x轴，点Q是直线l上一动点．求QM+QN的最小值．
【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c解得b，c的值，可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（0，p），求出直线AP解析式为y＝px+p，联立得 ，可解得E（3﹣p，﹣p2+4p），同理可得D（，），即可得，，故；
（3）作点N关于直线l的对称点N'，连接MN'，过M点作MF⊥NN'于F，求出K（1，0），设直线MN解析式为y＝kx+d，把K（1，0）代入即可知直线MN解析式为y＝kx﹣k，设M（m，﹣m2+2m+3），N（n，﹣n2+2n+3），则m+n＝2﹣k，mn＝﹣k﹣3，求出N'（n，n2﹣2n+5），QM+QN＝QM+QN'≥MN'，又F（n，﹣m2+2m+3），故N'F＝|m2+n2﹣2（m+n）+2|，FM＝|m﹣n|，可得MN'2＝MF2+N'F2＝k4+17k2+80，即知当k＝0时，MN'2最小80，此时MN'＝4，从而QM+QN的最小值为．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（0，p），直线AP解析式为y＝k1x+b1，
把A（﹣1，0），P（0，p）代入得：
，
解得：
∴直线AP解析式为y＝px+p，
联立得 ，
解得或，
∴E（3﹣p，﹣p2+4p），
同理可得D（，），
∴，，
∴；
∴的值为；
（3）作点N关于直线l的对称点N'，连接MN'，过M点作MF⊥NN'于F，如图：
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
∴K（1，0），
设直线MN解析式为y＝kx+d，
把K（1，0）代入得：k+d＝0，
∴d＝﹣k，
∴直线MN解析式为y＝kx﹣k，
设M（m，﹣m2+2m+3），N（n，﹣n2+2n+3），
联立，可得x2+（k﹣2）x﹣k﹣3＝0，
∴m+n＝2﹣k，mn＝﹣k﹣3，
∵N，N'关于直线l：y＝4对称，
∴N'（n，n2﹣2n+5），
∴QM+QN＝QM+QN'≥MN'，
∵F（n，﹣m2+2m+3），
∴N'F＝|m2+n2﹣2（m+n）+2|，FM＝|m﹣n|，
在Rt△MFN'中，
MN'2＝MF2+N'F2
＝（m﹣n）2+[m2+n2﹣2（m+n）+2]2
＝（m+n）2﹣4mn+[（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2]2
＝（2﹣k）2﹣4（﹣k﹣3）+[（2﹣k）2﹣2（﹣k﹣3）﹣2（2﹣k）+2]2
＝k4+17k2+80，
∴当k＝0时，MN'2最小80，此时MN'＝4，
∴QM+QN≥4，
∴QM+QN的最小值为．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，“将军饮马“问题等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
11．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B（4，0），BC＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的最大值；
（3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使∠QFE＝2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据题意得出B（4，0），C（0，4），代入函数解析式得：，得出；
（2）设，则K（m，﹣m+4），D（m，0），则，，得出，故当时，S1﹣S2的最大值为；
（3）①取点E关于x轴的对称点E1，连接FE1交抛物线于点Q1，FE1的解析式为：，联立，解得：（舍去）或，得出；取E关于CF的对称点E2，连接EE2交CF于点G，连接FE2交抛物线于点Q2，E2F的解析式为：，联立，解得：（舍去）或，得出．
【解答】解：（1）∵B（4，0），
∴OB＝4，
∵∠BOC＝90°，，
∴，
∴C（0，4），
把B（4，0），C（0，4），代入函数解析式得：
，
解得：，
∴；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴设直线BC的解析式为：y＝kx+4（k≠0），把B（4，0）代入，得：k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
设，则K（m，﹣m+4），D（m，0），
∴，DK＝﹣m+4，DB＝4﹣m，
∴，，
∴
，
∴当时，S1﹣S2的最大值为；
（3）令，解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴A（﹣2，0），
∵C（0，4），点E为AC的中点，
∴E（﹣1，2），
∵FE⊥AC，，
∴AF＝CF，
∴∠AFE＝∠CFE，
设OF＝a，则CF＝AF＝a+2，
在Rt△COF中，由勾股定理，得：a2+42＝（a+2）2，
∴a＝3，
∴F（3，0），CF＝5，
∵FE⊥AC，∠AOC＝90°，
∴∠AFE＝∠OCA＝90°﹣∠CAF，
∴∠AFE＝∠OCA＝∠CFE，
①取点E关于x轴的对称点E1，连接FE1交抛物线于点Q1，则：∠Q1FE＝2∠EFA＝2∠OCA，E1（﹣1，﹣2），
设FE1的解析式为：y＝k1x+b，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：（舍去）或，
∴；
②取E关于CF的对称点E2，连接EE2交CF于点G，连接FE2交抛物线于点Q2，则：∠Q2FE＝2∠CFE＝2∠OCA，EG⊥CF，
∵CE，CF＝5，
∴，
∵，
∴，
∴EG＝2，
∴，
过点G作GH⊥x轴，则：，，
∴，
∴，
∵E（﹣1，2），
∴，，
∴，，
∴，设直线E2F的解析式为：y＝k2x+b1，则：，
解得：，
∴，
联立，
解得：（舍去）或，
∴；
综上：或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
12．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由PQ＝x﹣3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，即可求解；
（3）当DE＝BD时，则68＝25+（y﹣8）2，解得：y＝8±，即点E（0，8±）；当DE＝BE或BD＝BE时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，
则a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，3），
由点B、C的坐标得，直线CB的表达式为：y＝﹣x+3，
设点Q（x，x2﹣4x+3），则点P（x，﹣x+3），
则PQ＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，
此时x，则y＝x2﹣4x+3，
即点Q（，）；
（3）存在，理由：
由点C、Q的坐标得，直线CQ的表达式为：yx+3，
过点Q作TQ∥y轴交x轴于点T，则∠TQA＝∠QCO，
∵∠CQD＝2∠OCQ，∠TQC＝∠QCO，
则∠CQT＝∠DQT，
即直线CQ和DQ关于直线QT对称，
则直线DQ的表达式为：y（x），
联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣4x+3（x），
解得：x（舍去）或5，
即点D（5，8）；
设点E（0，y），由B、D、E的坐标得，BD2＝68，DE2＝25+（y﹣8）2，BE2＝9+y2，
当DE＝BD时，
则68＝25+（y﹣8）2，
解得：y＝8±，即点E（0，8±）；
当DE＝BE或BD＝BE时，
同理可得：25+（y﹣8）2＝9+y2或9+y2＝68，
解得：y＝5或±，
即点E（0，5）或（0，±）；
综上，点E（0，8±）或（0，5）或（0，±）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
13．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一个交点为点B（﹣1，0），点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当EF＝AC时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA+MP的最小值为 　　 ．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）AC2＝20，AD2＝（x﹣4）2，CD2＝x2+4，则AC＝AD或AC＝CD，即20＝（x﹣4）2或20＝x2+4，即可求解；
（3）E、C、F、A共线，EF＝AC，则xF﹣xE＝xA﹣xC，即可求解；
（4）作点A关于y轴的对称点A′（﹣4，0），将点A′向右平移（MN的长度），得到点A″（，0），连接PA″交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，连接A′N，则NA+MP＝A′N+PM＝A″M+MP＝A″P为最小，即可求解．
【解答】解：（1）直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，则点A、C的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣2），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝﹣2，则a，
则抛物线的表达式为：yx2x﹣2；
（2）设点D（x，0），
由点A、C、D的坐标得，AC2＝20，AD2＝（x﹣4）2，CD2＝x2+4，
则AC＝AD或AC＝CD，
即20＝（x﹣4）2或20＝x2+4，
解得：x＝4±2或4（舍去）或﹣4，
即点D（4±2，0）或（﹣4，0）；
（3）设点P（x，x2x﹣2），
当yx2x﹣2x﹣2，则x＝x2﹣3x，即点E（x2﹣3x，x2x﹣2），
∵E、C、F、A共线，EF＝AC，
则xF﹣xE＝xA﹣xC，
即x﹣（x2﹣3x）＝4﹣0，
解得：x＝2，
即点P（2，﹣3）；
（4）作点A关于y轴的对称点A′（﹣4，0），将点A′向右平移（MN的长度），得到点A″（，0），
连接PA″交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，连接A′N，
∵A′A″∥MN且A′A″＝MN，则四边形A′A″MN为平行四边形，则A′N＝A″M，
则NA+MP＝A′N+PM＝A″M+MP＝A″P为最小，最小值为，
故答案为：．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
（3）如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线BC下方），已知MN＝2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法转化为方程组求解；
（2）过点P作PN⊥AB于点N，交BC于点M．证明△PQM是等腰直角三角形，推出PMPQ，求出PM的最大值，可得结论；
（3）设M（a，﹣a+3），则N（a，﹣a+1），求出点N在抛物线上时，a的值，可得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点P作PN⊥AB于点N，交BC于点M．
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠CBO＝45°，
∵∠MNB＝90°，
∴∠PMQ＝∠NMB＝45°，
∵PQ⊥BC，
∴△PQM是等腰直角三角形，
∴PMPQ，
∴PM的值最大时，PQ的值最大，
设P（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m+3），
∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）
＝﹣m2+3m，
∵﹣1＜0，
∴当m时，PM的值最大，PM的最大值，
∴PQ的最大值PM，此时P（，）；
（3）设M（a，﹣a+3），则N（a，﹣a+1），
当点N在抛物线上时，﹣a+1＝﹣a2+2a+3，
∴a2﹣3a﹣2＝0，
解得a1，a2．
∵线段MN与抛物线有交点，
∴满足条件的点M的横坐标的取值范围为：xM≤0或3≤xM．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．
15．如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点．
（1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式；
（2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由中点坐标公式得点C（1，），即可求解；
（3）①当y时，y（x﹣2）2+2，则x＝2（不合题意的值已舍去），即可求解；
②过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F′（m+1，3），连接DF′，则BD+BF＝BD+BF′≥DF′，当D、B、F′共线时，BD+BF＝DF′为最小，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣2）2+2，
将点A的坐标代入上式得：0＝a×（4﹣2）2+2，
解得：a，
抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式为yx2+2x；
（2）由（1）知，y（x﹣2）2+2，
由中点坐标公式得点C（1，），
当x＝1时，y（x﹣2）2+2，
则CE；
（3）①由（2）知，C（1，），
当y时，y（x﹣2）2+2，
则x＝2（不合题意的值已舍去），
即点F（2，）；
②方法一：
设点D（m，0），则点F（m+1，），
过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F′（m+1，3），连接DF′，
则BD+BF＝BD+BF′≥DF′，当D、B、F′共线时，BD+BF＝DF′为最小，
由点F′、D的坐标得，直线DF′的表达式为：y＝3（x﹣m），
将点B的坐标代入上式得：23（2﹣m），
解得：m，
则点F′（，3），点D（，0），
则BD+BF最小值为：DF′2；
方法二：作点C关于x轴的对称点E（1，），
则△CBF≌△OED（SAS），
则BF＝DE，
则BD+BF＝BD+DE≥BE，当D、B、E共线时，BD+BF＝BE为最小，
则BE2；
【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到点的对称性、平行四边形的性质等，确定BD+BF＝DF′为最小是解题的关键．
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．
（1）求直线AD及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PCPA的最小值．
【分析】（1）根据对称轴x＝3，AB＝4，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当∠DAM＝90°时，求出直线AM的解析式为y＝﹣x+1，解方程组
，即可得到点M的坐标；②当∠ADM＝90°时，求出直线DM的解析式为y＝﹣x+5，解方程组
，即可得到点M的坐标；
（3）在AB上取点F，使BF＝1，连接CF，证得，又∠PBF﹣∠ABP，得到△PBF∽△ABP，推出PFPA，进而得到当点C、P、F三点共线时，PCPA的值最小，即为线段CF的长，利用勾股定理求出CF即可．
【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴x＝3，AB＝4，
∴A（1，0），B（5，0），
将A（1，0）代入直线y＝kx﹣1，得k﹣1＝0，
解得k＝1，
∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；
将A（1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，得
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）存在点M，
∵直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线对称轴x＝3与x轴交于点E，
∴当x＝3时，y＝x﹣1＝2，
∴D（3，2），
①当∠DAM＝90°时，
设直线AM的解析式为y＝﹣x+c，将点A坐标代入，
得﹣1+c＝0，
解得c＝1，
∴直线AM的解析式为y＝﹣x+1，
解方程组，得或，
∴点M的坐标为（4，﹣3）；
②当∠ADM＝90°时，
设直线DM的解析式为y＝﹣x+d，将D（3，2）代入，
得﹣3+d＝2，
解得d＝5，
∴直线DM的解析式为y＝﹣x+5，
解方程组，解得或，
∴点M的坐标为（0，5）或（5，0），
综上，点M的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；
（3）如图，在AB上取点F，使BF＝1，连接CF，
∵PB＝2，
∴，
∵，
∴，
又∵∠PBF＝∠ABP，
∴△PBF∽△ABP，
∴，即PFPA，
∴PCPA＝PC+PF≥CF，
∴当点C、P、F三点共线时，PC PA的值最小，即为线段CF的长，
∵OC＝5，OF＝OB﹣1＝5﹣1＝4，
∴CF，
∴PCPA的最小值为．
【点评】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接OP，线段PO与直线AC相交于点F．求当取得最大值时P点的坐标，当线段OC在y轴上滑动时，连接PC，OB，求PC+CO+OB的最小值；
（3）抛物线上是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由表达式可知抛物线与y轴交点C的坐标为（0，2），再根据抛物线与x轴交点A、B坐标设抛物线表达式为y＝a（x+4）（x﹣1）（a≠0），代入C点坐标即可；
（2）如图1，先根据待定系数法可计算AC的解析式为：yx+2，设点P的坐标为（t，t2t+2），则点E的坐标为（t，t+2），表示PE的长，证明△PEF∽△OCF，得当PE最大时，取得最大值，求得P的坐标，因为OC＝2是定值，根据三角形的三边关系可知：当P'，O′，B三点共线时，PC′+O′B＝P'C+O′B有最小值，即可解答；
（3）作辅助线构建等腰三角形，证明∠OPD＝∠OHC，则tan∠OHC＝tan∠OPD，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可知：C的坐标为（0，2），
设抛物线的表达式为：y＝a（x+4）（x﹣1）＝a（x2+3x﹣4），
代入C点坐标得：﹣4a＝2，
解得：a，
∴抛物线的解析式为yx2x+2；
（2）如图1，设AC的解析式为：y＝kx+n，
∴，
∴，
∴AC的解析式为：yx+2，
设点P的坐标为（t，t2t+2），则点E的坐标为（t，t+2），
∴PEt2t+2﹣（t+2）t2﹣2t，
∵PD⊥x轴，OC⊥x轴，
∴PD∥OC，
∴△PEF∽△OCF，
∴，
∵OC＝2，
∴当PE最大时，取得最大值，
∵PEt2﹣2t（t+2）2+2，
∴当t＝﹣2时，PE有最大值，此时点P的坐标为（﹣2，3）；
如图2，在PD上取PP'＝2，连接P'B交y轴于点O′，连接PC′，此时P'的坐标为（﹣2，1），
∴PP'＝O′C′，PP'∥OC，
∴四边形OCPP'是平行四边形，
∴P'O＝PC，
当P'，O，B三点共线时，P'C′+C′O′+O′B有最小值，
∵P'B，
∴当取得最大值时P点的坐标为（﹣2，3），当线段OC在y轴上运动时，PC+CO+OB的最小值是2；
（3）设存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO，理由如下：
如图3，在OA上取一点H，连接CH，使AH＝CH，
∴∠CAO＝∠ACH，
∵∠OHC＝∠CAO+∠ACH，
∴∠OHC＝2∠CAO，
∵∠OPD＝2∠CAO，
∴∠OPD＝∠CHO，
设AH＝m，则CH＝m，OH＝4﹣m，
由勾股定理得：CH2＝OC2+OH2，
∴m2＝22+（4﹣m）2，
∴m，
∴OH＝4，
∵tan∠OPD＝tan∠CHO，
∴，
∴3OD＝4PD，
设P（t，t2t+2），则OD＝﹣t，PDt2t+2，
∴﹣3t＝4（t2t+2），
∴2t2+3t﹣8＝0，
∴t1（舍），t2，
∴点P的横坐标为．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，最值问题，解一元二次方程等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
18．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，已知点E为第四象限抛物线上的点，连接AC、BE、AE、BC，且AE和BC相交于点F，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当S2﹣S1＝1时，求点E的坐标．
（3）如图2，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是直线BC下方抛物线上的两动点，且x2＝x1+1，过点P作PM∥y轴，交BC于点M，过点Q作QN⊥BC，交BC于点N．求的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）先确定BC的解析式为：y＝x﹣3，如图1，过点E作EH∥y轴，交BC于H，设点E的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则点H的坐标为（t，t﹣3），表示EH的长，确定AE的解析式为：y＝（t﹣3）x+t﹣3，根据S2﹣S1＝1和三角形的面积公式即可解答；
（3）如图2，过点Q作QK∥y轴交BC于K，表示线段PM，KQ的长，证明△NKQ是等腰直角三角形，则KQNQ，计算PMNQ配方后即可解答．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）和C（0，﹣3）代入抛物线y＝x2+mx+n中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设BC的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴BC的解析式为：y＝x﹣3，
如图1，过点E作EH∥y轴，交BC于H，
设点E的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则点H的坐标为（t，t﹣3），
∴EH＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，
同理得AE的解析式为：y＝（t﹣3）x+t﹣3，
∴点G的坐标为（0，t﹣3），
∴CG＝t﹣3﹣（﹣3）＝t，
∴x﹣3＝（t﹣3）x+t﹣3，
∴x，
∴点F的横坐标为，
∵S2﹣S1＝1，
∴ EH （xB﹣xF） CG （xF﹣xA）＝1，
∴（﹣t2+3t）（3）t（1）＝1，
∴（t﹣1）2，
∴t1＝1，t2＝1，
∴点E的坐标为（1，）或（1，）；
（3）如图2，过点Q作QK∥y轴交BC于K，
∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）是直线BC下方抛物线上的两动点，且x2＝x1+1，
∴点M（x1，x1﹣3），Q（x1+1，4），K（x1+1，x1﹣2），
∴PM＝x1﹣3﹣（2x1﹣3）3x1，KQ＝x1﹣2﹣（4）x1+2，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝45°，
∵KQ∥y轴，
∴∠NKQ＝∠OCB＝45°，
∵QN⊥BC，
∴∠BNQ＝90°，
∴△NKQ是等腰直角三角形，
∴KQNQ，
∴PMNQ
＝PM+KQ
3x1+（x1+2）
＝﹣2（x1﹣1）2+4，
∵﹣2＜0，
∴当x1＝1时，有最大值，其最大值是4．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数表示线段的长解决问题，属于中考压轴题．

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