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2025年初中学业水平考试——模拟测评（三）
数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共10页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. 乒乓球国际比赛用球直径标准为．质检员检测4个乒乓球的直径，超过标准的毫米数记为正数，不足标准的毫米数记为负数，则下列记录中所对应的乒乓球直径最接近标准的是（ ）
A. B. C. D.
2. 为积极响应卫健委“体重管理年”年行动，某社区设计了下列种健身宣传图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列运算结果正确的是（ ）
A B.
C. D.
4. 传承千年智慧，守护非遗瑰宝，是我们每个人的责任．将“守”“护”“非”“遗”“瑰”“宝”六个汉字分别写在一个正方体的各个面上．如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“守”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A. 非 B. 遗 C. 瑰 D. 宝
5. 已知是的平分线，将直尺按如图所示摆放，其中无刻度的一边与重合，有刻度的一边分别与，交于点，．若点，恰好与直尺的刻度线一端点重合，则的长为（ ）
A B. C. D.
6. 如图，是的直径，弦与交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 某酒店客房的智能家居触摸开关如图所示，每个开关分别对应一种电器设备（可以同时触摸多个开关），其中A表示电视，B表示床灯，C表示廊灯，D表示新风．现该酒店某客房的四种电器设备均处于关闭状态，若服务人员随机同时触摸两个开关，则恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 下表为一次函数自变量x与因变量y的几组对应值：
x … 0 1 2 3 …
y … 6 5 4 3 …
则下列关于该函数图象的说法中正确的是（ ）
A. 图象不经过第二象限
B. 图象与x轴的交点坐标为
C. 图象与坐标轴围成的三角形的面积为36
D. 若点和在该函数图象上，且，则
9. 如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形，再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11. 因式分解：________．
12. 如图是同一类型酸的三种化合物的结构式，按其规律类推，若该类型酸的某种化合物中碳原子有18个，则该化合物中氢原子的个数为______个．
13. 为弘扬山西面食文化，某学校开展“面食制作大比拼”活动，甲、乙两组进入决赛，下面是他们面食作品的评分表（单位：分）：
小组 评分/分
色 形 味
甲 10 8 9
乙 10 9 8
若将色、形、味三项得分按的比例确定各组的最终得分，则获得最高分的是______组．（填“甲”或“乙”）
14. 在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为______．
15. 如图，在中，D为上一点，，连接，E为的中点，连接．若，，，则的长为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
17 2025年政府工作报告提出，某市计划两年内完成老旧小区改造工程，要求累计改造户数不低于30万户．已知2024年已完成改造12万户，则2025年改造户数增长率至少达到多少才能完成任务？
18. 某学校为弘扬爱国主义精神，组织该校七、八年级学生开展以“讲好红色故事传承红色基因”为主题的研学活动．活动结束后学校从七、八年级各随机抽取了20名学生对研学活动进行满意度调查[满意度评分用分表示，共分为四组：不满意；基本满意；满意；非常满意]．
【整理数据】
七年级的满意度评分数据：58，89，67，77，90，86，77，90，78，100，85，77，93，88，97，89，83，80，87，93．
八年级“满意”的所有评分数据：76，78，81，80，78，78，89，85，87．
【数据分析】
七、八年级满意度评分数据分析表：
年级 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占的百分比
七年级 84.2 86.5 30%
八年级 83 78
根据以上信息，解答下列问题：
（1）______，______，______．
（2）已知七、八年级各有学生1000名，请估计七、八年级对本次研学活动“非常满意”学生总人数．
（3）根据以上数据，你认为哪个年级的学生对本次研学活动更加满意？请说明理由．
19. 稷山麻花是山西运城的特色传统风味小吃，有甜、咸两味之分，目前，稷山麻花已经进入北京、深圳、黑龙江等多个省市销售，深受消费者喜爱．某土特产专卖店经销普通装和精品装两种包装的稷山麻花，其中精品装每箱稷山麻花的进价比普通装每箱稷山麻花的进价多20元．已知该土特产专卖店用1200元购进的普通装稷山麻花和用1600元购进的精品装稷山麻花箱数相同，分别求出这两种包装每箱稷山麻花的进价．
20. 图1的拐尺与水平尺是生活中重要的测量工具，图2是某学校一段斜坡的示意图．该学校的学生利用拐尺和水平尺测量斜坡的坡度（即的值）．现将拐尺的一边放置在斜坡上，拐尺的另一边与垂直，水平尺的一边与地面保持平行，点F与点N重合，与交于点P．测得，，斜坡的长为，求斜坡顶点B到地面的距离及斜坡的坡度．（结果保留根号）
21. 阅读与思考
请阅读以下材料并完成相应的任务．
如果一个点把一条线段分割成两部分，其中较长线段与整条线段之比，等于较短线段与较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例叫做黄金比，也叫做中外比，按此比例设计出的图案十分美丽． 如图1，C是线段AB的黄金分割点，或就是黄金比，其比值为． 黄金三角形是一个等腰三角形，常见的黄金三角形有两种：①它的底之长与一腰之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为；②它的一腰之长与底之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为．
任务：
（1）如图2，在中，，．用尺规在AC边上求作一点P，连接，使为黄金三角形．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）如图3，在的内接正十边形中，是正十边形的一条边，平分．若，求的长．
22. 综合与实践
小禾和爸爸玩弹力球，在点处有一个发射装置，向右上方发射一个弹力小球，小球的运动路径是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，点的坐标为，点在抛物线上．最终，小球落在了轴上的点处，随后因为弹力作用，小球被弹起，继续向右沿着另一条抛物线运动，抛物线与抛物线形状相同且在同一竖直平面内，抛物线的最高点的纵坐标为2．
（1）求抛物线的函数表达式和其顶点坐标．
（2）在点右侧有一个截面为等腰直角三角形的球框，斜边为入口，，，当小球落在斜边（包括端点）上时，小球会落入球框．若点的坐标为，试判断小球能否落入球框．若能，请说明理由；若不能，为了让小球落入球框，请求出点E横坐标的取值范围．
23. 综合与探究
问题情境：
如图，在正方形中，，，分别是，，边上的点，连接，．若，判断与之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到．
尝试初探：
（1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由．
通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题．
迁移应用：
（2）如图3，在中，点，分别在，边上，且，，交于点，．判断与的大小关系，并说明理由．
拓展探究：
（3）如图4，在正方形中，点，分别在，边上，过点作于点，交边于点，连接，．若，，请直接写出的最小值．
参考答案
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1.B
2.A
3.D
4.A
5.C
6.D
7.B
8.D
9.A
10.C
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11.
12.36
13.甲
14.4
15.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （）解：原式
；
（）解：原式
．
17. 解：设2025年改造户数增长率为x，根据题意，
得．
解得．
∴x的最小值为0.5，即50%．
答：2025年改造户数增长率至少达到50%才能完成任务．
18. （1）解：七年级的满意度评分数据：58，89，67，77，90，86，77，90，78，100，85，77，93，88，97，89，83，80，87，93，
众数；
由扇形统计图可知，不满意有人；基本满意有人；满意有人，则八年级满意度评分中位数是第10人和第11人评分的平均值，
八年级“满意”的所有评分数据：76，78，78，78，80，81，85，87，89，
；
不满意有人；基本满意有人；满意有人，
非常满意有人，
；
故答案为：77，83，35；
（2）解：（名）．
答：估计七、八年级对本次研学活动“非常满意”的学生总人数是650；
（3）解：七年级学生对本次研学活动更加满意．
理由：因为七年级学生满意度评分的平均数和中位数均高于八年级，所以七年级学生对本次研学活动更加满意．
19. 解：设普通装每箱稷山麻花的进价为x元，则精品装每箱稷山麻花的进价为元．
根据题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
（元）．
答：普通装每箱稷山麻花的进价为60元，精品装每箱稷山麻花的进价为80元．
20. 解：如图，过点B作于点H．
由题意，可知．
．
，
．
．
，即．
，即斜坡顶点B到地面的距离为．
在中，由勾股定理得，
，即斜坡的坡度为．
答：斜坡顶点B到地面的距离为，斜坡的坡度为．
21. 解：（1）如图所示，作线段的垂直平分线交于P，连接，则即为所求；
（2）∵正十边形的中心角，，
．
∵平分，
，
∴．
和是黄金三角形．
，．
，
．
．
22.（1）解：∵抛物线与轴的交点坐标为，
∴抛物线顶点的横坐标为．
∴可设抛物线的函数表达式为．
把分别代入，得，解得，
∴抛物线的函数表达式为，即．
∴其顶点坐标为；
（2）解：小球不能落入球框．
∵抛物线和抛物线形状相同，且最高点的纵坐标为2，
∴可设抛物线函数表达式为．
把代入，得．
解得（舍去），．
∴抛物线的函数表达式为．
把代入抛物线，得．解得，．
，
∴小球不能落入球框．
∵当点的坐标为时，小球恰好落入球框，或点在抛物线上时，小球恰好落入球框，．
∴当时，．解得或．
∵点的横坐标，
．
∴此时点的坐标为．
∴当点横坐标的取值范围为时，小球可以落入球框．
23. 解：（1）．
理由：如解图，将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接，
则．设与交于点．
．
．
∵四边形为菱形，
．
，
为等边三角形．
．，
．
．
∵，
．
．
．
（）．
理由：如解图，将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接，．
由平移的性质，得．
∴四边形为平行四边形，．
．
为等边三角形．
．
分以下两种情况讨论：
①若点，，共线，则，即．
∵四边形为平行四边形，
．
．
∴点，，不共线．
∴该情况不存在．
②若点，，不共线，则，即．
综上所述，与的大小关系为．
（）的最小值为．
如图，线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则．
由问题情境可得，
∴．
，
．
由勾股定理，得
∵，，
是等腰直角三角形．
．
的最小值为．

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