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2025年中考数学二轮专题训练
正方形折叠问题专题练习
1．如图，在正方形中，是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，延长交于点，连接并延长交于点．
(1)依题意补全图形，并证明；
(2)判断是否为线段的中点，说明理由；
(3)用等式表示线段与的数量关系，并证明．
2．综合与探究：如图，四边形为正方形，M为线段上一动点，且，连接．
(1)如图1，若，将正方形沿折叠，使得点A的对应点落在正方形内．
①______；（用含字母a的代数式表示）
②当M为中点时，如图2，连接并延长交于D，求证：．
(2)如图3，作，交射线于点N，猜想并证明的数量关系．
(3)当点M在射线上时，作交射线于点N，射线与射线相交于点E，若，请直接写出的值．
3．在生活和学习中，经常使用到各种尺寸的打印纸，其中应用尺寸最为广泛的是A号纸．A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张，它后面携带的数字可以理解为纸对折的次数（这里的对折指的是将长边对折，短边重合）．即：纸对折1次所得的纸张就是纸，纸对折1次（也就是纸对折2次）所得的纸张就是纸，纸实际上就是纸第4次对折的纸张大小．有图是一些A号纸的长宽数据：
(1)根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：______；A． B．（填选项）
(2)证明（1）中猜想的正确性．
(3)现有一长条矩形纸片未裁剪，需确认裁切线的位置，使得裁切后的纸张符合A号纸的长宽之比，请用折纸的方法确认裁切点N的位置，在图中画出折叠示意图并简要说明折叠方法．
4．四边形是矩形，点E是射线上一动点，连接，以为对称轴，把沿折叠后点D落在点处，的延长线交直线于点F．
(1)如图1，若，点E在线段上，请直接写出线段之间的数量关系： ．
(2)如图2，若，点E在线段上，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给予证明；若不成立，请写出新的结论，说明理由．
(3)若，请直接写出的面积．
5．如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接．
(1)求证；
(2)如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长；
(3)在（）的条件下求出的面积．
6．如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，使点B落在F处， 连接，延长交于点G．
(1)【初步探究】在E的运动过程中，与始终保持全等的关系，请说明理由．
(2)【深入探究】把图1中的延长交于点H，如图2，若 ，求线段的长．
(3)【拓展延伸】如图3，将正方形改成矩形，同样沿折叠，连接，延长交直线CD与点G、H两点，若 ，直接写出的值 （用含m的代数式表示）．
7．如图所示，在正方形中，，P，Q分别是边、上的动点．
(1)填空：__________；
(2)若，且点A关于的对称点，落在边上，求的值．
8．如图1，正方形中，边长，E为对角线上一动点，沿着对折，得到．
(1)当时，
①求的面积；
②求的长；
(2)若在线段上另有一点F如图2，把沿对折，正好得到，设，，用含x的代数式表示y；
(3)若点F在线段的延长线上，把沿对折，得到，且在对角线上有一点E，使得沿折叠后正好得到．请画出此时的图形（任选一种即可），并简要叙述画图步骤．若仍设，，用含x的代数式表示y．
9．综合与实践
数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片对折，使得点A、D重合，点B、C重合，折痕为，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折痕为．
（1）如图①，若，则当点N落在上时，和的数量关系是_______；的度数为_____；
思考探究：
（2）在的条件下进一步进行探究，将沿所在的直线折叠，点M的对应点为点，当点落在上时，如图②，设、分别交于点J、K，若，请求出三角形的面积；
拓展应用：
（3）如图③，在矩形纸片中，，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为，点A的对应点为点N，展开后再将四边形沿所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点，连接、，若，请直接写出的长．
10．综合与实践
综合与实践课上，老师带领同学们以“正方形和矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：将正方形纸片依次沿对角线、对折，把纸片展平，折痕的交点为；
操作二：在上取一点，在上取一点，沿折叠，使点落在点处，然后延长交于点，连接．
如图1是经过以上两次操作后得到的图形，则线段和的数量关系并说明理由．
(2)迁移思考
图2是把矩形纸片按照（1）中的操作一和操作二得到的图形．请判断，，三条线段之间有什么数量关系？并仅就图2证明你的判断．
11．综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下．
【操作判断】
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上取一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接．
（1）根据以上操作，如图，当点落在上时，写出图中一个的角：__________；
【迁移探究】
（2）小敏同学将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点在上，延长交于点，如图，
求证：；求的长度；
【拓展应用】
（3）小敏在（）的操作基础上继续探究，连接，当点落在上时，如图，过点作于点，求的长度．
12．实践与探究
操作一：
如图①，将矩形纸片对折并展开，折痕与对角线交于点，连结，探究与的数量关系并证明．
操作二：
如图②，摆放矩形纸片与矩形纸片，使、、三点在一条直线上，在边上，连结，为的中点，连结、．求证：．
拓展延伸：
如图③，摆放正方形纸片与正方形纸片，使点在边上，连结，为的中点，连结、、．已知正方形纸片的边长为，正方形纸片的边长为，求的面积．
13．在正方形中，E为边上异于点A，B的一个动点，连接，点B关于的对称点为点F，与交于点M，延长，分别交直线于点G，H．
(1)如图1，当点G在边上时，将点A关于对称，其对称点恰好与点F重合，交于点N．
①求证：四边形为矩形；
②连接并延长交于点K，若，，求正方形的面积；
(2)如图2，若正方形的边长为9，随着长度的变化，探究点G的位置．
14．综合实践：在一节综合实践课上，数学老师要求同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，点M是边的中点，点P、Q是边上的两个动点，连接、，将折叠，使点A落在线段上的点处，是折痕，将折叠，使点B落在线段上的点．处，是折痕．
(1)如图1，当点P与点Q重合时．
①线段与线段的位置关系是： ；
②请说明：；
(2)如图2，当点P在点Q的左侧时，若，求的度数；
(3)若，直接写出的度数为 ．（用含α的代数式表示）
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，且．
(1)直接写出点的坐标(_____，______)；
(2)如图，点为线段的中点，点在线段上，若，求点的坐标；
(3)如图，动点分别在边上，将正方形沿直线折叠，使点的对应点始终落在边上(点不与点重合)，点落在点处，设，四边形的面积为，求与之间的函数关系式．
《2025年中考数学二轮专题训练正方形折叠问题专题练习》参考答案
1．(1)见解析
(2)是，见解析
(3)，见解析
【分析】（1）补图，由折叠知，，，由中点和正方形性质得，，即得；
（2）连接交于点．根据轴对称，得，得，可得四边形是平行四边形，得，即得H是线段的中点；
（3）过点作，交于点，设正方形的边长为，，则，，根据，得，，即得．
【详解】（1）解：补图如答图1 ，
由折叠可知，，，
∴．
，
．
．
，
．
．
即；
（2）解：是线段的中点．
证明：如答图2，连接交于点．
，两点关于对称，
垂直平分．
．
，
是的中位线．
．
即．
又，
四边形是平行四边形．
．
，，
．
是线段的中点．
（3）解：．
证明：如答图3，过点作，交于点．
设正方形的边长为，，
则，．
在中，由勾股定理，得，
．
解得．
．
，，
．
．
即．
【点睛】本题考查了正方形折叠．熟练掌握正方形性质，折叠性质，折叠作图，三角形中位线判定和性质，勾股定理，是解题的关键．
2．(1)
(2)，证明见解析
(3)3
【分析】（1）①利用折叠性质直接求解即可；
②连接，先证明，得到， 再在中，利用勾股定理求解即可；
（2）证明得到，由可得结论；
（3）过E作交延长线于R，先证明，是等腰直角三角形，，，再证明得到，进而得到即可求解．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
由折叠性质得；
故答案为：；
②证明：如图2，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠性质得，，，
∴，又，
∴，
∴，
设，
∵M为中点，，
∴，
在中，，，
由勾股定理得，
解得，则，
∴；
（2）解：．
证明：如图3，
∵，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，过E作交延长线于R，
则，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，又，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、折叠性质等知识，熟练运用全等三角形的性质和相似三角形的性质是解答的关键．
3．(1)A
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意猜测求解即可；
（2）设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为，根据题意列出方程求解即可；
（3）将沿着折叠使得B点与D点重合，将沿着折叠使得点与点重合，将沿着折叠使与重合，C点对应点为N，将沿着折叠使得与重合，D点对应点为M，即为所求裁剪线．
【详解】（1）解：根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：，
故选：A；
（2）解：设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为，
纸和纸的长宽比例是相等的，
，
解得，
∴A号纸的长宽之比是
（3）解：如图所示，将沿着折叠使得B点与D点重合，将沿着折叠使得点与点重合，将沿着折叠使与重合，C点对应点为N，将沿着折叠使得与重合，D点对应点为M，即为所求裁剪线．
由作图可得，四边形为正方形
∴，
由折叠的性质得，，
∴．
【点睛】本题考查矩形与折叠问题，正方形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
4．(1)
(2)（1）中的结论不成立，新的结论是
(3)的面积或
【分析】（1）过点作，交的延长线与点，根据正方形的性质证明得出，，由折叠的性质得以及平行线的性质得出，可得，即可求解；
（2）过点作交的延长线于点，证明得出 ，则，进而同（1）的方法证明，即可求解；
（3）两种情况：①当点在线段上时，此时点在的延长线上，过点作，交的延长线于点，②当点在的延长线上时，此时点在的延长线上，过点作交的延长线于点，设，分别求得，进而同（2）可得，勾股定理求得的长，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：
如图1所示，过点作，交的延长线与点，
，
四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，，
，
由折叠的性质得：，
，
，
即，
，
，
，
；
（2）（1）中的结论不成立，新的结论是，理由如下：
过点作交的延长线于点，如图2所示
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
又 ，
，
，，
，
，
，
根据折叠的性质得：，
，
，
即，
，
，
，
；
（3）点是射线上一动点，
有以下两种情况：
①当点在线段上时，此时点在的延长线上，过点作，交的延长线于点，如图所示：
四边形是矩形，，，
，，，
，
，
根据折叠的性质得：
设
同（2）可得
在中，
解得：
∴
②当点在的延长线上时，此时点在的延长线上，过点作交的延长线于点，如图4所示：
，，
，
设，
由折叠的性质得：
同（2）可得
，
在中，
解得：
．
．
综上所述，的面积或．
【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质等知识点，理解矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
5．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（）由正方形得，，由折叠的性质得，，即可得，，进而利用即可求证；
（）由正方形的边长为得，进而由折叠得，又由得，设，则，，在中，利用勾股定理求出即可求解；
（）求出，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可得，，，
∴，，
在和，
，
∴；
（2）解：∵正方形边长为，
∴，
∵点为的中点，
∴，
由折叠可得，，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，掌握正方形和折叠的性质是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，利用证明即可；
（2）折叠，得到，，等边对等角，得到，利用正方形的性质，对顶角相等，等角对等边推出，设，得到，求出的值，连接，利用勾股定理进行求解即可；
（3）分H在上和H在的延长线上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴．
在△ABE与△BCG中，
，
∴．
（2）解：根据折叠性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴设，
∴，
由（1）知：
∴，
∴，
解得：．
连接，则：在中，，在中，
∴，
∴，
∴．
（3）解：设，
①当H在线段上时，连接，
由折叠可得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
设，
∴，
利用折叠性质可得，
∴，
又∵，
∴．
又∵，
∴．
∴，即，
∴．
同（2）利用勾股定理可得：，
即，
解得：．
∴．
②当H在的延长线上时，如图4所示，
同理可得，，
∴，
同理可证明，
∴，即，
∴．
利用勾股定理可得：，
∴，
解得：，
∴．
综上，的值为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查正方形与折叠，矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等和相似，是解题的关键．
7．(1)
(2)．
【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形．
（1）利用正方形的性质和勾股定理，进行求解即可；
（2）根据点A关于的对称点落在边上，得到和关于对称，得到，，利用外角的性质求出，利用，求出和的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的正切值，即可得解．
【详解】（1）解：∵在正方形中，，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵在正方形中，，为对角线，
∴，，，
∵点A关于的对称点落在边上，
∴和关于对称，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
8．(1)①；②
(2)
(3)
【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识．
（1）①过E点作于点Q，求出，，得到，得到，，即可求出答案；②延长交于点P，
由对折可知：，则垂直平分，，即可求出答案；
（2）证明，，则，得到，即可求出答案；
（3）按照题意画出图形，说明画图步骤，证明，得到，，则，则，即可得到答案．
【详解】（1）解：①过E点作于点Q，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
，
，，
∴；
②延长交于点P，
由对折可知：
∴垂直平分，
∵，，
（2）由折叠可知：，，
∴，
∴，
∴
∴，
（3）画出如下图形草图：
描述画图步骤：
先在上相对点A而言更靠近点C的位置任取点E，确定点A关于的对称点G（保证点G画在下方），连接，画的角平分线交的延长线于点F；
由折叠可知：
∴
∴，，
∴
∴，
9．（1）；；（2）；（3）
【分析】（1）根据折叠的性质得：，，根据直角三角形的性质可得，由直角三角形的两锐角互余可得结论；
（2）由折叠得：，证明，可知，，得是等腰直角三角形，再证明四边形是正方形，分别计算，，由三角形面积公式可得结论；
（3）如图，过点P作于G，于H，根据等腰三角形的三线合一可得，由折叠的性质和矩形的性质可得，，设，则，，根据，列方程可解答．
【详解】解：（1）由折叠得：，，，
，
，
，
，
故答案为：，；
思考探究：
（2）由折叠得：，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
拓展应用：
（3）过点P作于G，于H，
，
，
，
四边形是矩形，
，
由折叠得：，，
在中，，
，
延长，交于L，
中，，，
，
，，
，
设，，，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，三角函数等知识，掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键．
10．(1)，见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查正方形与矩形的性质，折叠性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．
（1）证明，可得，由折叠的性质得：，得出为的垂直平分线，即可得出结论；
（2）证明，得到，从而由勾股定理，得，再由（1）知，即可得出结论．
【详解】（1）解：线段和的数量关系是：．
理由如下：
四边形为正方形，点为对角线，的交点，
，，，
在和中，
，
，
，
由折叠的性质得：，
即：，
为的垂直平分线，
．
（2），，三条线段之间的数量关系是：．证明如下：
四边形为矩形，点为对角线，的交点，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
由折叠的性质得：，
即：，
为的垂直平分线，
，
在中，由勾股定理得：，
即：．
11．（1）或或或；（2）①见解析；②；（3）．
【分析】【操作判断】由折叠可知垂直平分，，，连接，易证，可得到，所以是等边三角形，所以或，，因为四边形是矩形，所以，所以；
【迁移探究】连接，由折叠可知，所以，，因为四边形是正方形，所以，易证，所以；
由（）可求得，所以，因为，所以，所以，在中，，设，则，由勾股定理求得，所以，所以；
【拓展应用】连接，由题可得与都是直角三角形，在中，由勾股定理求得，所以，过点作，可得四边形是矩形，设，则，，在与中，，即，解得，所以．
【操作判断】由题意得：垂直平分，，，
∴，
如图，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的角为或或或；
【迁移探究】连接，
由折叠可知：，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
由（）可求得，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
由勾股定理得：，即，
解得：，
∴，
∴；
【拓展应用】如图，连接，
由题可得与都是直角三角形，
在中，由勾股定理求得，
∴，
过点作，则四边形是矩形，
设，则，，
在与中，由勾股定理得，
，即，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查矩形、正方形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，全等三角形，勾股定理，二次根式的运算等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
12．操作一：，证明见解析；操作二：证明见解析；拓展延伸：
【分析】本题考查了正方形的综合应用，三角形全等的判定与性质，直角三角形性质；
操作一：由折叠可知，，则可得，即可得出结论；
操作二：延长与交于点N，通过证明，推导出；
拓展延伸：连接，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推导出是等腰直角三角形，求出即可求出面积．
【详解】操作一：解：
由折叠可知，，
∴
又∵四边形是矩形，
∴
∴
∴
∴
在直角三角形中
，
，
故答案为：；
操作二：证明：延长与交于点，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
；
拓展延伸：解：连接
，，
，
点在上，
，
在中，是的中点，
，
，
，
在中，是的中点，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，，
，
的面积为，
故答案为：．
13．(1)①见解析；②正方形的面积为；
(2)．
【分析】（1）①利用对称的性质得，，，，求得，再由矩形的判定即可证明；
②由对称的性质可得，于是，再由平行四边形的判定和性质求得，得到，据此计算即可解答；
（2）当和重合时，求得；当时，连接，设，，连接，设，则，由折叠的性质可得和，在直角中由勾股定理求得，于是可得，然后在直角和直角中利用勾股定理建立方程求得的表达式即可求解；当时，同理求解即可．
【详解】（1）解：①如图，

由对称的性质可知是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形；
②如图过点作，交正方形的两于点，，

由正方形的性质可知，，，
∴，，
由对称的性质可知，，
∴，
∵和等高，
∴，
由①结论和可得四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵正方形的面积；
（2）解：当和重合时，
同理，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
当时，
如图，连接，设，，则，

由对称的性质可知，，，
直角中由勾股定理可得，
∴，
直角中由勾股定理可得，
直角中由勾股定理可得，
∴，
整理得，
∴．
当时，
如图，连接，设，，则，
由对称的性质可知，，，
直角中由勾股定理可得，
∴，
直角中由勾股定理可得，
直角中由勾股定理可得，
∴，
整理得，
综上，．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识；熟练掌握勾股定理是解题关键．
14．(1)①；②见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了正方形的性质，补角，折叠的性质，两个角的和与差，分类思想．
（1）① 根据折叠的性质，得，，结合，化简计算即可．
②由①可知，则，由正方形的性质可知，得，再由等角的补角相等即可证明结论；
（2）根据折叠的性质，得，，结合，，计算结合计算即可．
（3）分点P在点Q的左侧和右侧两种情况，类比（2）计算即可．
【详解】（1）① 根据折叠的性质，得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：；
②由①可知，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）根据折叠的性质，得，，
∵，
∴，
又∵，
∴
∵，
∴．
（3）如图，当点P在点Q的左侧时，
根据折叠的性质，得，，
∵，，
∴，
∵，
∴．
当点P在点Q的右侧时，
根据折叠的性质，得，，
∵， ，
∴，
∵，
∴．
故得度数为或．
故答案为：或．
15．(1)4；4
(2)
(3)与之间的关系式为
【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，坐标与图形
（1）根据正方形的性质得到，由此即可得到答案；
（2）过点作于点，连接，先证明得到再证明得到设，则，根据勾股定理得，解方程即可得到答案；
（3）分别连接，由折叠的性质得到．设，且，则．，在中，根据勾股定理得，，解得．在和中， 由勾股定理得到．即，解得，即．再由，进行求解即可.
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
故答案为：4；4；
（2）解：如图，过点作于点，连接．
∵四边形是正方形，，
在和中，
∵点为线段的中点，
∴．
∴．
在和中，
设，则，
在中，根据勾股定理得，，即，
解得，
∵点在轴的正半轴上，
∴．
（3）解：如图，分别连接，
∵是折痕，
∴垂直平分．
∴．
设，且，
则．
∵，点的对应点始终落在边上不与点重合)，
，
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得．
在和中，，
∵，
∴．
∴，
解得，即．
∵，
∴．
即与之间的关系式为．

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