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2025年九年级学业水平能力素养测试（二）
数学试题
本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（ ）
A. a B. b C. c D. d
2. 某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有34560人，34560用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 若点在第二象限，那么a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图1是一个底面为正方形的直棱柱，现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
6. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，一博物馆由圆形主馆A和三个圆形副馆，，组成．一游客从入口进入准备参观主馆和一个副馆后离开，已知他参观副馆后随机从每个副馆的两个出口中的一个离开，则他从中间出口（即出口，）离开的概率是（　　）
A. B. C. D.
8. 如图，是直径，弦与相交于点，连接．若平分，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. “藻井”是中国古代建筑中位于室内上方的特色结构，被誉为“室内最灿烂的星空”．某校数学小组的同学在研究时发现智化寺藻井（图1）、故宫太和殿藻井中都有类似图2的几何结构，他们通过测量得知，，，分别是正方形的四条边的中点，将四边形绕正方形的中心顺时针旋转，可以得到四边形，，，，分别经过点，，，，且平行于，，，．给出下面四个结论：
①E，F是线段的三等分点； ②是线段的中点；
③是正八边形； ④的面积是的面积的2倍．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）．
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 单项式的次数是__________．
12. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．
13. 在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，）相交于点，则点在第______象限．
14. 如图，在中，，点、分别在、上，，连接，点是线段上的动点，以点、、为顶点的三角形的面积为40，当以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，则的长为________．
15. 某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1～80的80盏灯，分别对应着编号为1～80的80个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”，现有80个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第80个人把所有编号是80的整数倍的开关按一次，问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律；
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有__________盏．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
17. 如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，过点D作直线交于点E；以点C为圆心适当长为半径作弧，分别交，于点G、H，分别以点G、H为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P作射线，点E在上，已知．
（1）求证：；
（2）求的周长．
18. 为积极倡导中学生“健康人生、绿色无毒”的生活理念，学校举办“禁毒知识”竞赛．初赛有45名选手参加，每位选手需要参加笔试、抢答和演讲三项比赛，每项成绩均按百分制打分．评委会将笔试、抢答和演讲三项成绩按比例计算出每人的总评成绩作为最终的初赛成绩，并对成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
① 45名选手初赛成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分6组，每组包含最小值，不含最大值）
② 其中总评在91~94分选手成绩如下：
93 91 91.5 92 92.6 91.6 93.5 92 92.2 91 93.8 91
③ 初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下：
笔试成绩 抢答成绩 演讲成绩 总评成绩
小文 93 90 92 91.6
小武 90 85 96
根据以上信息，回答下列问题：
（1）将“45名选手初赛成绩的频数分布直方图”补充完整；
（2）45名选手初赛成绩的中位数为 分；
（3）总评在91~94分选手成绩的众数为 分；
（4）上表中a = 分；
（5）如果学校决定根据初赛总评成绩择优选拔23名学生参加决赛．试分析小文和小武二人中，谁能进入决赛，并说明理由．
19. 【综合与实践】在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面），确定以下两种测量方案（见表）．
课题 测量学校旗杆高度
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量方案名称 标杆方案 测角仪方案
测量工具 卷尺、标杆 卷尺、可调节支架测角仪
测量示意图
实施过程 ①选取运动场与旗杆相距一定距离的F处； ②在F处站直看旗杆顶，调整标杆位置，使标杆顶点C与旗杆顶点A在同一视线上； ③测量，的距离，测量标杆的长度，人眼到地面的高度． ①在运动场与旗杆底部相距一定距离的F处，调整测角仪支架高度，使E与旗杆底部B位于同一水平高度； ②测量旗杆顶A仰角； ③沿方向前移至D处，再次测量旗杆顶A的仰角； ④测量的距离．
测量数据 ①； ②； ③； ④． ①； ②； ③．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③旗杆底部基座与运动场的高度差． ①图上所有点均在同一平面内； ②参考数据：，，．
任务一：（1）说明以上两种方案各自运用的数学知识．
“标杆方案”运用的知识是__________，“测角仪方案”运用的知识是__________．（请在下列序号中选择一个填入横线中）
①全等三角形 ②相似三角形 ③锐角三角函数 ④勾股定理
任务二：（2）根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由．
20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在x轴和y轴上，若反比例函数的图象分别交，于点M，N．
（1）求证：．
（2）D是边上靠近点A的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，且，求k的值．
21. 如图，点A在外，连接并延长，与交于点B、C，点D在上，连接，过点B作的切线，交于点E，．
（1）求证：与相切；
（2）若，，图中阴影部分的面积（线段所组成的区域）．
22. 综合与实践
【问题情境】如图1，在中，，是斜边上的中线．
【初步探究】（1）如图2，将沿方向平移，当点C落在点D的位置时，D，B的对应点分别是、，连接、．“笃学”小组发现四边形的形状是矩形，请你证明这一结论．
【深入思考】（2）“勤思”小组将绕点D顺时针旋转得到，、的对应点分别是N，M，若，．
①如图3，当时，与交于点E，与交于点P，求线段的长．
②连接，当时，请直接写出N到距离．
23. 平面直角坐标系中，抛物线经过点，点．
（1）若轴，求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有，求a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，若点在直线上，点在抛物线上，求证：当时，h的最大值是4．
2025年九年级学业水平能力素养测试（二）
数学试题
本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】B
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
【11题答案】
【答案】3
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】二
【14题答案】
【答案】或
【15题答案】
【答案】8
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【16题答案】
【答案】
（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明见详解
（2）12
【18题答案】
【答案】（1）补全频数分布直方图见解析
（2）91 （3）91
（4）89.2 （5）小文，理由见解析
【19题答案】
【答案】任务一：②，③；任务二：选择方案一；理由为测量工具较简单，方便；选择方案二，理由为测量较准确．旗杆的高度约为
【20题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
【21题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
【22题答案】
【答案】（1）证明见详解；（2）①；②或
【23题答案】
【答案】（1）
（2）或
（3）见解析

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