资源简介

2024-2025学年八年级数学下册期末复习题--填空压轴题
【题型1 因式分解】
1.添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式：
①；
又比如多项式可以这样分解：
②；
仿照以上方法，分解多项式的结果是 ．
2.如果因式分解的结果为 ．
3.在学习对二次三项式x2+ax+b进行因式分解时，粗心的小明由于看错了a，而分解的结果是(x+4)(x－3)，小红看错b而分解的结果是(x+1)(x－5)．相信聪明的你能写出正确的分解结果是 ．
4.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法： ．仔细阅读以上内容，解决问题：已知：a、b、c为的三条边，，则的周长 ．
【题型2 因式分解中的整除问题】
1.若可被60～70之间的两个整数整除，则这两个整数分别是 ， ．
2.如果一个三位自然数m的各数位上的数字均不相同且均不为0，且满足将m的各个数位中任取两个数位构成一个两位数这样就可以得到六个两位数，这六个两位数叫做m的“海纳数”例如：，则m的“海纳数”是57、75、58、85、78、87，m的所有“海纳数”之和与11的商记为，若，则 ；若s和t是两个三位数，它们都有“海纳数”，，（，a、b、c均为整数），若的能被4整除，记，则p的最大值为 ．
3.对于任意一个四位数m，若它的千位数字与个位数字均不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数m为“博雅数”．将“博雅数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到m的逆序数，并记．
例如：，因为，，，所以3421是“博雅数”；4512不是“博雅数”，因为．若x，y都为“博雅数”，记x的千位数字与个位数字分别为p，，y的千位数字与个位数字分别为s，t，其中，，，p，，s，t均为整数．若能被8整除，，则所有的可能值的和为 ．
4.一个四位正整数m，如果m满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称m为“对称数”，将m的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新数，记．例如：对称数时，，则．已知s、t都是“对称数”，记s的千位数字与百位数字分别为a，b，t的千位数字与百位数字分别为x，y，其中，，，a，b，x，y均为整数．若能被8整除，则 ；同时，若、还满足，则所有可能值的和为 ．
【题型3 利用勾股定理构造直角三角形】
1.已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为 ．
2.如图，度，，，且，AF平分交BC于F，若，，则线段AD的长为 ．

3.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，为小正方形边的中点，，为格点，为，的延长线的交点．
（Ⅰ）的长等于 ；
（Ⅱ）若点在线段上，点在线段上，且满足，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）． ．
4.如图，一个长方体纸箱，长是6，宽和高都是4，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B，它所走的最短路线的长是 ．
【题型4 勾股定理与分类讨论思想结合】
1.如图，在中，，，点为边的中点，点是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到，线段交边于点．当为直角三角形时，的长为 ．
2.在中，，，过点作的平行线，点是直线上异于点的动点，连接，过点作的垂线交直线于点．若，，则线段的长为 ．
3.如图，在中，，点D是边上的一个动点，连接，过点C作，使，连接，点F是的中点，连接并延长，交边所在直线于点G，若，则的长为 ．
4.在中，，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N，如果是直角三角形，那么的面积是 ．
【题型5 勾股定理及其逆定理与网格作图】
1.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均落在格点上．
①线段的长等于 ；
②在射线上有两点，，满足且，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，点，并简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
2.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，则∠ABC与∠BCD的大小关系为：∠ABC ∠BCD．（填“＞”，“＝”或“＜”）
3.如图，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中：连结三格和两格的对角线，的度数是
4.如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB，BC，BD，DE的端点均在格点上，线段AB和DE交于点F，则DF的长度为 ．
【题型6 由平行四边形的性质求值】
1.如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为 ．

2.如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于点E，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，，，则的长为 ．

3.如图，在中，E、F在边上，，连接交于G．，若，则线段的长为 ．

4.如图，在 中，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、若，，，则
点到直线的距离是 ．
周长的最小值是 ．
【题型7 确定组成平行四边形点的个数】
1.如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动。若设运动的时间为秒，当 时，在、、、、、六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．

2.如图，平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒3cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），设运动时间为t秒．在运动以后，当t= 秒时，以P，D，Q，B四点恰好组成平行四边形．
3.在中，，，，若以A、B、C、P四点为顶点组成一个平行四边形，则这个平行四边形的周长为 ．
4.如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线D﹣C﹣B﹣A﹣D方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线D﹣A﹣B﹣C﹣D方向以1cm/s的速度运动．若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，若点E在线段BC上，且BE=3cm，经过 秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形．
【题型8 平行四边形的应用】
1.图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，．
（1）若，则支点P与支点A的距离为 cm；
（2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．

2.如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为 ．
3.如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形．
4.如图1木工师傅将三块不全等的的平行四边形木板拼成了一个邻边长为5和 12的大的平行四边形木板，然后通过裁剪又拼成了一个不重叠，无缝隙的大正方形木板如(图2)，数据如图所示，记图 1 中三个小平行四边形的中心分别为 A，B，C，点 A，C 的图2 中的对应点记为 连结 和 当 时, MN的长为 ．
【题型9 等腰三角形在坐标系中的运用】
1.如图，在直角坐标系中，点、和原点组成，点是斜边上一点．
（1）若把分成两个等腰三角形，则点的坐标为 ．
（2）若把分出唯一的一个等腰，则点的坐标为 ．
2.如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点A，直线与x轴交于点B，直线：过点，点C是横轴上任意一点，满足：是等腰三角形的点C坐标是 ．

3.如图，在中，，，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立直角坐标系，分别为线段和线段上一动点，且．当的值最小时，点的坐标为 ．
4.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点点Q在x轴的负半轴上分别以为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，则的值为 ．

【题型10 等腰三角形中的最值计算】
1.如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为 ．

2.如图，中，垂直于点，且，在直线上方有一动点满足，则点到两点距离之和最小时， 度．

3.在中，若，，点、分别为和上的动点，与相交于点，当的值最小时，则 °．
4.如图，在四边形ABCD中，，，且，点E是AB的中点，连接DE，当DE取最大值时，AC的长为 ．
【题型11 由分式的性质求值】
1.已知三个数，x，y，z满足，则y的值是
2.已知正整数x，y满足，则符合条件的x，y的值有 组．
3.已知，则的值为 ．
4.已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ．
【题型12 分式混合运算的应用】
1.甲、乙二人两次同时在一家粮店购买大米，两次的价格分别为每千克元和元．甲每次买100 千克大米，乙每次买100元大米．若甲两次购买大米的平均单价为每千克元，乙两次购买大米的平均单价为每千克元，则： ， ．（用含、的式子表示）综合考虑，甲、乙二人谁买的更合算 ．
2.6月18日晚，苏宁易购发布618全程战报：从6月1日到18日晚6点，苏宁依托线上线下全场景优势，逆势增长.经调查，苏宁易购线上有甲乙两家在销售华为A手机、华为B电脑和华为C耳机.已知每部A手机的利润率为40%，每台B电脑的利润率为60%，每副C耳机的利润率为30%，甲商家售出的B电脑和C耳机的数量都是A手机的数量的一半，获得的总利润为50%，乙商家售出的A手机的数量是B电脑的数量的一半，售出的C耳机的数量是B电脑的数量的，则乙商家获得的总利润率是 .
3.甲、乙两人骑自行车从相距s千米的两地同时出发，若同向而行，经过a小时甲追上乙；若相向而行，经过b小时甲、乙相遇．设甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，则用字母a，b表示为 ．
4.如图，甲杯和乙杯中分别盛有体积均为的橙汁和苹果汁（如下操作，果汁均不溢出）．
（1）当时，从甲杯取橙汁放入乙杯并搅拌均匀，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为 ；
（2）把两杯中的果汁进行如下操作：
第一步：从甲杯取出橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀．此时，乙杯中的橙汁与混合果汁的体积比为
第二步：从乙杯取出混合果汁，倒入甲杯并搅拌均匀．经过两次调和后，设此时甲杯中含苹果汁，乙杯中含橙汁，则 .
【题型13 分式方程的解】
1.若关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
2.若关于x的分式方程无解，则 ．
3.若解关于x的分式方程产生增根，则m＝ ．
4.若方程的解不大于13，则的取值范围是 ．
【题型14 与不等式解集有关的计算】
1.若关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和等于 ．
2.若不等式组的解集中的整数和为-5，则整数的值为 ．
3.若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
4.已知关于x的不等式组 （a为整数）的所有整数解的和S满足21.6≤S33.6，则所有这样的a的和为 ．
【题型15 方程与不等式的综合应用】
1.某大闸蟹养殖户十月捕捞了第一批成熟的大闸蟹，并以每只相同的价格（价格为整数）批发给某经销商．十一月该养殖户捕捞了第二批成熟的大闸蟹，并将这批大闸蟹根据品质及重量分为（小蟹）、（中蟹）、（大蟹）三类，每类按照不同的单价（价格都为整数）进行销售，若6只类蟹、5只类蟹和4只类蟹的价格之和正好是第一批蟹16只的价格，而1只类蟹和1只类蟹的价格之和正好是第一批蟹2只的价格，且类蟹与类蟹每只的单价之比为，根据市场有关部门的要求三类蟹的单价之和不低于38元、不高于65元，则第一批大闸蟹每只价格为 元．
2.万粽飘香，端午传情．我市某知名食品品牌为迎合不同顾客的需求，在“端午节”前夕推出了A，B，C三个系列的精致礼盒，这三个系列的精致礼盒均包含肉粽子、绿豆糕和咸鸭蛋三种食品．A礼盒包含6个肉粽子、6个绿豆糕和10个咸鸭蛋；B礼盒包含8个肉粽子、8个绿豆糕和6个咸鸭蛋；C礼盒包含若干个肉粽子、8个绿豆糕和4个咸鸭蛋．礼盒中同种食品的单价相同，所有食品的总价即为该礼盒的售价．每个A礼盒的售价为108元，每个B礼盒的售价不低于120元，不高于140元，每个C礼盒的售价为132元．已知每种食品的售价均为整数，且每个肉粽子的售价不低于5元，不超过10元，则每个C礼盒中肉粽子的总价为 元．
3.王老板预定了一批羊排、羊腿、精品单肉，第一批预定羊排的数量（斤）是精品羊肉的2倍，羊腿的数量（斤）是羊排、精品羊肉的数量之和．由于品质优良预订量暴增，王老板按照相同的价格加紧采购了第二批，其中第二批羊腿的数量占第二批总数量的，此时两批羊腿总数量达到了羊排、羊腿、精品羊肉三种总量的，而羊排和精品羊肉的总数量之比为，若羊排、羊腿、精品羊肉的成本价分别为50元、42元、38元，羊排的售价为每斤64元，销售中，王老板为回馈顾客，将两批羊排总量的送邻居免费品尝，其余羊排、羊腿、精品羊肉全部实完，总利润率为，且羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的，则精品羊肉的单价最低为 元．
4.春节将至，洪崖洞的某礼品店准备将腊肉、香肠、野生葛根粉以礼盒形式销售，腊肉、香肠、野生葛根粉的成本之比为．商家打算将3斤腊肉、2斤香肠、4斤野生葛根粉作为甲礼盒；将4斤腊肉、2斤香肠、4斤野生葛根粉作为乙礼盒；将2斤腊肉、4斤香肠、4斤野生葛根粉作为丙礼盒．已知每个礼盒的成本价是这三种年货的成本价之和，每个甲礼盒在成本价的基础上提高20%之后进行销售，每个乙礼盒的利润等于2斤野生葛根粉的成本价，每个丙礼盒的售价为1斤腊肉成本价的18倍．腊月二十九当天，该礼品店销售了40个甲礼盒，销售乙礼盒与丙礼盒的数量之和不少于55个，不超过58个．该礼品店通过核算，当天订单的利润率为25%，则腊月二十九当天一共销售了 个礼盒．
【题型16 新定义问题】
1.在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
2.定义：在平面直角坐标系中，若点M关于直线的对称点在的内部（不包含边界），则称点M是关于直线的“伴随点”．如图，已知三点，连接，以为边作．若在直线上存在点N，使得点N是关于直线的“伴随点”，则n的取值范围是 ．

3.定义：若数p可以表示成（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．
例如：，，…所以39，147是“希尔伯特”数．
（1）有理数1 “希尔伯特”数（填“是”或“不是”）；
（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数．
①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为 ；
②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是 ．
4.定义：对于平面直角坐标系中的不在同一条直线上的三点，，，若满足点绕点逆时针旋转后恰好与点重合，则称点为点关于点的“垂等点”．请根据以上定义，完成填空：如图，已知点的坐标为，点是轴上的动点，点是点关于点的“垂等点”，连接，，则的最小值是 ．
【题型17 规律探究】
1.如图，在图中，、、分别是的边、、的中点，在图中，、、分别是的边、、的中点，，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有 个．
2.分解下列因式：，，．
（1）观察上述三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，那么系数、、之间一定存在某种关系．请你用数学式子表示小明的猜想： ；
（2）若多项式和都是完全平方式，利用（2）中的规律求的值是 ．
3.如图，为了庆祝祖国70周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯.平面上，不同颜色的彩色线段从点发出，恰好依次落到边长为1的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围.则的长度为 .照此规律，的长度为 .
4.如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点：以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点；以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ．

参考答案
【题型1 因式分解】
1.
【分析】直接根据添项、拆项的方法进行因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：
2.
【分析】把当成一个整体，再因式分解即可．
【详解】原式
故答案为：．
3.(x+2)(x－6)
【分析】小明看错了a的值，将分解结果（x+4）（x-3）展开，则可确定b；小红看错了b的值，将分解结果（x+1）（x-5）展开，则可确定a；然后将a、b代入因式分解即可．
【详解】解：∵小明看错了a的值，分解的结果为（x+4）（x-3）=x2+x-12，
∴b=-12
∵小红看错了b的值，分解的结果是（x+1）（x-5）=x2-4x-5
∴a=-4
∴x2+ax+b=x2-4x-12=（x+2）（x-6）．
4.7
【分析】根据拆项法将多项式变形为完全平方式的性质，利用平方的非负性求出a、b、c的值即可．
【详解】解：，
，
，
∴，
解得，
∴的周长为，
故答案为：7．
【题型2 因式分解中的整除问题】
1. 63或65 65或63
【分析】将利用平方差公式分解因式，根据可以被60到70之间的某两个整数整除，即可得到答案．
【详解】解：
∵，
∴可以被60到70之间的某两个整数65，63整除，
故答案为：63，65或65，63．
2. 26
【分析】本题主要考查新定义问题、整除的意义、因式分解的应用等知识点，理解新定义成为解题的关键．
由“海纳数”的定义可以即可得到的值；然后再确定、的表达式，由a、b、c的取值范围可以算出的取值，然后得到关于a、b、c的等式，最后再根据a、b、c的取值范围写出满足条件的几组a、b、c的取值，从中选出使p取值最大的组合并计算出的值即可．
【详解】解：，
∵，（，a、b、c均为整数），
∴s的百位数是a，十位数是9，个位数是b；t的百位数是2，十位数是1，个位数是c；
∴，，
∵能被4整除，
∴能被4整除，
∴，即，
∵，，
∴，
，
∴或或或或或或或或或或或．
∴经比较p的最大值为．
故答案为：26，．
3.44
【分析】先根据题意，得出，，再将化简，根据能被8整除，得出p和q的值，最后进行分类讨论，即可求解．
【详解】解：设x的百位数为a，十位数为b，
则，
∴，
∴
，
∵x为“博雅数”，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
整理得：，
∵能被8整除，，p、q均为非0整数，
∴，
∴，
∴，整理得：，
∴，
∵，，s、t均为非0整数，
∴，
，
∴，解得，此时，
或，解得，此时，
或，解得，此时，
∴所有的可能值的和为，
故答案为：44．
4. 8 55
【分析】
根据“对称数”定义表示出，，得到，根据能被8整除，，得到；同理得，根据条件，得到，由，得到，，得到，根据x，y均为整数，分别列举出x，y的值代入求和即可．
【详解】解： s的千位数字与百位数字分别为a，b，
，，
，
能被8整除，且，
；
同理得，
，
，
，，
，，
，即，
x，y均为整数，
当时，，符合题意，此时；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意，此时；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意，此时；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意，此时；
所有可能值的和为：，
故答案为：8，55．
【题型3 利用勾股定理构造直角三角形】
1.
【分析】在一条长为的线段上取一点，将线段分为两条线段，以这个点为锐角顶点，这两条线段为直角边，在线段的两旁建立两个直角三角形，这两个直角三角形的另一条直角边分别为和，利用两点之间线段最短和勾股定理求出这两个直角三角形另一个锐角顶点连线的长度即为所求的最小值．
【详解】构造两直角三角形如图，

，，，，点为上一个动点，，，则：
，，，
由图可知：，
∴的最小值为线段的长，
过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴的最小值为，
故答案为：．
2.
【分析】由“SAS”可证≌，≌可得，，，由勾股定理可求EF的长，即可求BC的长，由勾股定理可求AD的长．
【详解】解：如图，连接EF，过点A作于点G，

，
，
又，
，
在和中
，
≌．
，
，，
∴
，
，
，
，
平分，
，
在和中
，
≌．
．
．
，
∴
，
，，
，
，
∴
故答案为
3. 与网格线相交，得点，取格点，连结并延长与交于，连接，则线段即为所求．图见解析；
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理可求的长；
（Ⅱ）找到特殊点，为小正方形边的中点，为小正方形边的中心，得到M、N的水平距离，垂直距离3，即可得．
【详解】解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）如图，与网格线相交，得点，取格点，连结并延长与交于，连接，则线段即为所求．
证明：由作法可知， 为小正方形边的中点，为小正方形边的中心；
∴．
4.10
【分析】根据题意画出图形，求出AC、BC的长，根据勾股定理求出AB即可.
【详解】有两种情况，如图所示：
（1）如图1，由题意知AC=4，BC=6+4=10
由勾股定理得：
（2）如图2，由题意知：AC=4+4=8，BC=6
由勾股定理得：
（3）如图3，由题意知：AC=4+4=8，BC=6
由勾股定理得：
∵
∴最短是10
故答案为10
【题型4 勾股定理与分类讨论思想结合】
1.或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，，分两种情况：，，分别画出图形，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵，点为边的中点，
∴，
依题意得：，
如图，当时，点重合，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当时，
∵，
∴，，
∴，
又由折叠可得，，
设，则，
∵，，
∴，
即，
解得，
∴；
综上，的长为为或，
故答案为：或．
2.或
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．分两种情况：当在右侧时，过作，交于，推出是等腰直角三角形，证明，得；再过作于；当在左侧时，过作交的延长线于，分别求解即可得到答案．
【详解】解：当在右侧时，过作，交于，如图所示，

，
，
，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
，
，
；
过作于，如图所示，

，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
；
当在左侧时，过作交的延长线于，如图所示，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
，
，
综上所述，线段的长为：或．
故答案为：或．
3.或
【分析】分点G在上，和在延长线上，两种情况讨论，当点G在上，连接，证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，设，则，由勾股定理可得，即可求解；当点G在延长线上，连接，同理可证，得，，由是等腰直角三角形，点是的中点，得到是的垂直平分线，推出，设，则，，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，当点G在上，连接，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴，即，
是等腰直角三角形，点是的中点，
是的垂直平分线，
，
设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即；
如图，当点G在延长线上，连接，
同理可得：，，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，点是的中点，
是的垂直平分线，
，
设，则，，
，
，
，
，即，
解得：，
，
综上，的长为或
故答案为：或．
4.4或
【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，可得到的面积；当时，过作于，设，则，可得，，又，可得，，再利用勾股定理可得，可得到的面积．
【详解】解：当时，如图：
∵，，，
∴，
∵将折叠，使点与点重合，
∴，
∴的面积是：；

当时，
如图，过作于，

设，
∵，，
∴，
∴，
∵将折叠，使点与点重合，
∴，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴的面积是：．
综上所述，如果是直角三角形，那么的面积是4或．
故答案为：4或．
【题型5 勾股定理及其逆定理与网格作图】
1. 图见解析，延长过格点，则点满足，取格点，连接交射线于点，则点即满足，为所求
【分析】①根据勾股定理求解即可；
②，延长过格点，则点满足，取格点，连接交射线于点，则点即满足，为所求
【详解】①
故答案为：
②如图，点，点即为所求．
如图，延长过格点，则点满足，则,
取格点，使得，连接交射线于点，则点即满足，为所求．
故答案为：延长过格点，则点满足，取格点，连接交射线于点，则点即满足，为所求．
2.=
【分析】连接AC，BD，根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，求得 AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，于是得到∠ABC＝∠BCD＝45°，进而得到结论．
【详解】解：连接AC，BD，
根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，
∴△ABC和△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BCD＝45°．
故答案为：＝．
3.
【分析】如图，连接，，则，根据平行线的性质得到．计算出，，，得到是等腰直角三角形，即可得出结论．
【详解】如图，连接，，则，．
∵，，，，，是等腰直角三角形，．
故答案为．
4.2
【分析】连接AD、CD，由勾股定理得：，，，得出AB＝DE＝BC，，由此可得△ABD为直角三角形，同理可得△BCD为直角三角用形，继而得出A、D、C三点共线.再证明△ABC≌△DEB，得出∠BAC＝∠EDB，得出DF⊥AB，BD平分∠ABC，再由角平分线的性得出DF＝DG＝2即可的解.
【详解】连接AD、CD，如图所示：
由勾股定理可得，
，，，
∵BE=BC=5，∴AB=DE＝AB＝BC ，，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
同理可得：△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝180°，∴点A、D、C三点共线，
∴，
在△ABC和△DEB中，
，∴△ABC≌△DEB(SSS)，∴∠BAC＝∠EDB，
∵∠EDB+∠ADF＝90°，∴∠BAD+∠ADF＝90°，
∴∠BFD＝90°，∴DF⊥AB，
∵AB=BC，BD⊥AC，∴BD平分∠ABC，
∵DG⊥BC，∴DF＝DG＝2.
【题型6 由平行四边形的性质求值】
1.
【分析】过点E作交于点I，连接．易求出，，．易证四边形为平行四边形，得出，即说明当最小时，最小．由当点I，H，C三点共线时，最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出，即得出，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．

∵中，，，
∴，
∴，
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理可得出．
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴当最小时，最小．
∵当点I，H，C三点共线时，最小，
∴此时最小，如图，

∵，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
2.
【分析】连接交于G，连接．根据平行四边形的性质，平行线的性质确定，根据题目中作图过程确定是的平分线，根据等角对等边和等价代换思想确定，根据菱形的判定定理和性质确定，，根据角平分线的定义，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理求出的长度，进而即可求出的长度．
【详解】解：如图所示，连接交于G，连接．

∵四边形是平行四边形，
∴，即．
∴．
∵以点B为圆心，的长为半径作弧交于点，
∴．
根据作图过程可知是的平分线．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴平行四边形是菱形．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
3.
【分析】取的中点P，连接，过点C作交的延长线于点Q，作于点R，在上截取，连接，证明四边形、、都是平行四边形，得到，，利用面积法求得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：取的中点P，连接，过点C作交的延长线于点Q，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
作于点R，在上截取，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4. 5
【分析】过点作的垂线，交延长线于点，在等腰直角三角形中求即可；
作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，；则长为周长的最小值；在等腰直角三角形中求，即可.
【详解】解：如图：过点作的垂线，交延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
，
，
∴
，
，
∴点到直线的距离是5；
故答案为；
如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，，
则长为周长的最小值；
由知，在中，，，
，
，
由对称性可知，，，
是等腰三角形，
又，
，
，
∴周长的最小值；
故答案为：.
【题型7 确定组成平行四边形点的个数】
1.或4或2或3
【分析】如图，由题意可得：，，则，，再分六种情况讨论①当时， ②当，③当时，解得：，④当时，⑤当时，⑥当时，再逐一检验即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∵，，
∴，，

当四边形是平行四边形时，则，
∴，
解得；
当四边形是平行四边形时，则，
∴，
解得：；
当四边形是平行四边形时，则，
∴，
解得：；
当四边形是平行四边形时，则，
∴时，
解得，不合题意，舍去；
当四边形是平行四边形时，则，
∴时，
解得：；
当四边形是平行四边形时，则，
∴，
解得：，
综上所述．当t的值为或4或2或3时，在A、B、C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．
故答案为：或4或2或3．
2.4.5
【分析】先求出点P到达点D的时间，即可得出点Q的运动距离，可得点Q在BC边上运动的次数，根据平行四边形的性质可得PD=BQ，分情况列方程求出t值，进而可得答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AB=6cm，AD=9cm，
∴BC=AD=9，AD∥BC，
∵四边形PDQB是平行四边形，
∴PD=BQ，
∵点P的速度是每秒1cm，
∴两点运动的时间为9÷1=9s，
∵点Q的速度是每秒3cm
∴点Q运动的路程为9×3=27cm，
∴在BC上运动的次数为27÷9=3（次），
第一次PD=QB时，9 t=9-3t，
解得：t=0，不合题意，舍去，
第二次PD=QB时，Q从B到C的过程中，9 t=3t 9，
解得：t=4.5，
第三次PD=QB时，Q运动一个来回后从C到B，9 t=27 3t，
解得：t=9；
此时点P与点D重合，点Q与点B重合，不能构成平行四边形，
∴t=9不符合题意，舍去，
故答案为：4.5
3.14、16或18
【分析】先利用勾股定理求出的长，然后分类讨论即可确定答案，
本题考查了，勾股定理，拼接平行四边形问题，解题的关键是：分情况讨论．
【详解】解：在中，，，，，
当以为对角线时，此时的周长为；
当以为对角线时，此时的周长为；
当以为对角线时，此时的周长为.
故答案为：14或16或18．
4.
【分析】根据t的值讨论M、N的位置，根据平行四边形的判定定理即可求解．
【详解】如图，
在直角△ABE中，AE==5cm．
设运动的时间是t秒．
当0＜t＜2时，M在CD上，N在DA上，
若平行四边形是AEMN，
则AE∥MN且AE=MN，而AE=MN不可能成立；
当t=2时，M在C点，DN=4cm，
此时，AN≠EC，
则不能构成平行四边形；
当2＜t＜4.5时，M在BC上，
则EM=BC+CD-BE-2t=9-2t，AN=8-t，
当9-2t=8-t时，
解得：t=1（舍去），
当4.5＜t＜6时，M在BC上，
则EM=2t-（BC+CD-BE）=2t-9，AN=8-t，
当2t-9=8-t时，
解得：t=，
此时四边形AMEN是平行四边形；
当6＜t＜8时，M在AB上，N在AD上，
不能构成平行四边形；
当t=8时，Q与A重合，不能构成平行四边形形．
综上所述：经过秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形．
故答案为．
【题型8 平行四边形的应用】
1. 12
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可；
（2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解．
【详解】解：（1） ，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
．
故答案为：；
（2）当窗户开到最大时，，，
，
，
，，
；
当关闭状态下，，
窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为，
故答案为：12．
2.200m
【分析】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M，则四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，△ABC是等边三角形，由此即可解决问题．
【详解】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M
由题意可知，四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形
∵∠A＝∠B＝60°
∴
∴△ABC是等边三角形
∴ED＝FM+MK+KH＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH
∴“九曲桥”的总长度是AE+EB＝2AB＝200m
故答案为：200m．
3.4
【分析】根据平行四边形的判定画出图形即可．
【详解】解：如图，四边形ABCD即为所求．
共能作出4个平行四边形．
故答案为：4．
4.
【分析】根据题意，得，,结合点B是对角线的中点，点C是对角线的中点，计算，正方形的面积等于平行四边形的面积，得到，，设，则，则，，根据勾股定理，得，计算即可，本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，拼图的性质，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键．
【详解】根据题意，得，,则，
∵点B是对角线的中点，点C是对角线的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则
则，
∵，
∴,
故点C到得距离等于点到得距离，为，
设与的交点是Y，
则，
∵,
故
解得，
故答案为：．
【题型9 等腰三角形在坐标系中的运用】
1. 或
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和勾股定理，
根据题意得和为等腰三角形，过点C作轴交x轴于点D，作轴交y轴于点E，则有垂直平分，垂直平分，即可求得点、，即可求得点C；
有两种情况∶①当时，过点O作于E，过点C作于D，可求得和、、，进一步求得和即可；②当时，过点O作于E，过点C作于H，由（1）知，，可求得、、、以及即可．
【详解】解：∵把分成两个等腰三角形，
∴和为等腰三角形，
过点C作轴交x轴于点D，作轴交y轴于点E，如图，
则垂直平分，垂直平分，
∵、，
∴点、，
∴点．
故答案为：；
当把分出唯一的一个等腰时，有以下两种情况：
①当时，过点O作于E，过点C作于D，如图1所示：
∵、，
∴，，
∴
则，，解得，
在中， ，，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，解得，
在中，， ，由勾股定理得∶
则点C的坐标为；
②当时，过点O作于E，过点C作于H，如图2所示：
由（1）知，，
∵，，
∴，得，解得，
在中，，，由勾股定理得，
则，
在中，，，由勾股定理得：，
在中，，，由勾股定理得，
则点C的坐标为，
综上所述： 把分出唯一的一个等腰，则点的坐标为或．
2.或或或
【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，先求得两点的坐标，再根据是等腰三角形，分情况讨论求解即可．
【详解】解：由直线：过点可得：
，即，
直线：与x轴交于点B，
则时，，即，
联立直线：和直线：可得
，
解得，即，
点C是横轴上任意一点，设，
由勾股定理可得：，，
是等腰三角形，则或或，
当时，即，
解得或（舍去），
即；
当时，，
解得
即；
当时，，
解得或，
即或，
故答案为：或或或．
3.
【分析】过点作，使，连接，，可证明，则当、、三点共线时，的值最小，最小值为，求出直线及直线的解析式，联立方程组求解即可得到点的坐标．
【详解】解：过点作，使，连接，，如图所示：
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，
，，，
，，则，
，，，，
设直线：，将、代入得，解得 ，
直线：；
设直线：，将、代入得，解得，
直线：；
联立，解得，
故答案为：．
4.10
【分析】过作，交轴于，再，得出，然后根据点，求得，最后判定，得出，即可求得．
【详解】解：过作，交轴于，则，

∵等腰、等腰，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
即
在和中，
故答案为：10．
【题型10 等腰三角形中的最值计算】
1.8
【分析】连接，由轴对称的性质可得也是边长为4的等边三角形，从而得到，，从而得到，证明得到，从而得到，由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
，
等边三角形的边长为4，
，，
与关于直线对称，
也是边长为4的等边三角形，
，，
，
在和中， ，，，
，
，
，
由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值，
，
的最小值为8，
故答案为：8．
2.45
【分析】由三角形面积关系得出点在与平行，且到的距离为的直线上，作点关于直线的对称点，连接交于点，则，，此时点到两点距离之和最小，作于，则，证明是等腰直角三角形，得出，由等腰三角形的性质得出，从而即可得到答案．
【详解】解： ，
点在与平行，且到的距离为的直线上，
，
作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示，
，
则，，此时点到两点距离之和最小，
作于，则，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
故答案为：45．
3.30
【分析】
分别作点关于的对称点，点关于的对称点，连接分别交和于和，此时，的值最小，再根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：如图所示，分别作点关于的对称点，点关于的对称点，连接分别交和于和，此时，的值最小．
根据对称作图可知，，
∴，，，
∵点C关于AB的对称点，点B关于AC的对称点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：30．
4.
【分析】如图1，连接CE，过点E作EF⊥ED，且EF=DE，连接CF、DF，根据等腰直角三角形的性质可得CE=AE，CE⊥AB，根据角的和差关系可得∠AED=∠CEF，利用SAS可证明△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质可得AD=CF，根据三角形三边关系可得当C、D、F共线时DF最长，此时DE取最大值，如图2，过E作EG⊥DF于G，根据等腰直角三角形的性质可得EG=DF=3，进而可求出CG的长，利用勾股定理可求出CE的长，利用勾股定理即可得答案．
【详解】如图1，连接CE，过点E作EF⊥ED，且EF=DE，连接CF、DF，
∵且，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点E为AB中点，
∴CE=AE，CE⊥AB，
∵∠DCE+∠AED=90°，∠DCE+∠CEF=90°，
∴∠AED=∠CEF，
在△AED和△CEF中，，
∴△AED≌△CEF，
∴AD=CF，
∵在△CDF中，CD+CF＞DF，
∴当C、D、F共线时DF最长，此时DF=CD+CF=CD+AD=6，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴DF取最大值时，DE取最大值，
如图2，当C、D、F共线时，过E作EG⊥DF于G，
∵DF=6，△DEF是等腰直角三角形，
∴EG=DG=DF=3，
∴CG=DG -CD=3-2=1，
∴CE===，
∴AC==．
故答案为：
【题型11 由分式的性质求值】
1.
【分析】将变形为，得到，利用，求出，代入即可求出答案．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
得，
∴，
将代入，得，
∴y=，
故答案为：．
2.2
【分析】根据x，y均为正整数，可知、，据此建立不等式并求解可知，结合，可确定可知符合条件的x的值，然后根据确定与之对应的y的值，即可确定符合条件的x，y的值的组数．
【详解】解：∵x，y均为正整数，
∴，，
∴，
∴，解得，
结合，可知符合条件的x的值为：1、2、3、4、5、6、7、8、9，
对应的y的值为：9、、、、、、、、，
∴符合条件的x、y的值为，，
∴符合条件的x，y的值有2组．
故答案为：2．
3.5
【分析】将方程同除以，得到，进而求出，将进行化简，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴
∴
．
故答案为：．
4.
【分析】由给定的三个等式可得其倒数，，，再将三个分式的分子拆分后相加可得的值，因所求式子的倒数为，所以求得的倒数即可解答；
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴ ， ，，
①+②+③，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【题型12 分式混合运算的应用】
1. 乙
【分析】根据单价乘以数量等于总价即可列出式子，根据式子可比较出谁买的更合算．
【详解】∵甲、乙二人两次同时在一家粮店购买大米，两次的价格分别为每千克元和元．甲每次买100 千克大米，乙每次买100元大米．
∴甲两次购买大米共需付款元，乙两次共购买千克大米
∵甲两次购买大米的平均单价为每千克元，乙两次购买大米的平均单价为每千克元，
∴ ，，
∵，且，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
给不等式两端同除以得：，
∴，
故乙买的更合算．
故答案为：，，乙．
2.56%
【分析】设A手机的成本价为a，B电脑的成本价为b，C耳机的成本价为c，甲商家售出A手机2x部，则售出B电脑x台，C耳机x副，乙商家售出A手机y部，则售出B电脑2y台，C耳机副，根据甲商家的数据可得b=2a+2c，继而根据利润率公式列式计算乙商家的即可得.
【详解】设A手机的成本价为a，B电脑的成本价为b，C耳机的成本价为c，甲商家售出A手机2x部，则售出B电脑x台，C耳机x副，乙商家售出A手机y部，则售出B电脑2y台，C耳机副，
由甲商家的总利润为50%，则有
40% a 2x+60% b x+30% c x=50%(2xa+bx+cx)，
整理得，b=2a+2c，
则乙商家的总利润率为：
=
=
=
=
=56%，
故答案为56%.
3.
【分析】由同向而行，经过a小时甲追上乙可得，由相向而行，经过b小时甲、乙相遇可得，则①，②，求得，，即可得到．
【详解】解：由题意得，，，
∴①，②，
①＋②得，，
解得，
②－①得，，
解得，
∴，
故答案为：
4. 1
【分析】本题主要考查了列代数式，分式混合运算的应用；
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）第一步：根据题意列出代数式即可；
第二步：先求出此时甲杯中含苹果汁，乙杯中含橙汁，即可求出结果．
解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
【详解】解：（1）从甲杯取橙汁放入乙杯并搅拌均匀，乙杯中的果汁总体积为：，则乙杯中橙汁混合果汁的体积比为：；
故答案为：；
（2）第一步：从甲杯取出橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀，乙杯中的果汁总体积为：，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为：；
第二步：从乙杯取出混合果汁，则此时混合果汁中含有苹果汁：，
即此时甲杯中含苹果汁；
此时乙杯中含橙汁，
即此时乙杯中含橙汁，
∴．
故答案为：；1．
【题型13 分式方程的解】
1.
【分析】本题考查解不等式组，解分式方程，根据解的情况确定参数．
先解不等式组，结合不等式组有且只有3个奇数解得到不等式组的解为，奇数解为，从而确定a的取值范围．解分式方程，结合该分式方程的解为整数，得到a是偶数．另分式方程有解得到．综上可得a应满足的条件，从而求出整数a的值，从而解答即可．
【详解】由不等式得，
∵不等式组有且只有3个奇数解，
∴不等式组的解为，奇数解为，
∴
∴．
解分式方程得，
∵该分式方程的解为整数，
∴是2的倍数，即a是偶数．
又当时，，即，
∴，
综上所述， a应满足且a是偶数且，
∴整数，它们的和为．
故答案为：
2.2
【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件看能否得出一类a值，再根据分式方程无解的条件看能否得出另外一类a值即可．
【详解】解：，
去分母得：，
整理得：，
由于此方程未知数的系数是1不为0，故无论a取何值时，都有解，故此情形下无符合题意的a值；
由分式方程无解即有增根，可得2x﹣4＝0，得x=2
把x＝2代入，
解得：a＝2，故此情形下符合题意的a值为2；
综上，若要关于x的分式方程无解，a的值为2．
故答案为： 2．
3.-5
【详解】试题分析：根据分式方程增根的产生的条件，可知x+4=0，
解得x=-4，
然后把分式方程化为整式方程x-1=m，
解得m=-5
故答案为-5.
4.且k≠±1.
【分析】通过去分母去括号，移项，合并同类项，求出，结合条件，列出关于k的不等式组，即可求解.
【详解】
方程两边同乘以(x-6)(x-5)，得：，
去括号，移项，合并同类项，得：，
解得：，
∵方程的解不大于13，且x≠6，x≠5，
∴且，
∴且k≠±1.
故答案是：且k≠±1.
【题型14 与不等式解集有关的计算】
1.12
【分析】解不等式组可以得到，再解方程得到，根据题意可得或，计算得结果．
【详解】解：解不等式组得，
∵不等式组无解，
∴，解得，
解方程可得，
又∵方程的解为正整数，a为整数，
∴或
∴满足条件的整数a的和为：，
故答案为：12．
2.或2
【分析】由不等式组的解集中的整数和为-5，可确定整数解为：或，即可得出整数的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵不等式组的解集中的整数和为-5，
∴或，
∴或，
则整数的值为：或，
故答案为：或．
3.
【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，，
不等式组有4个整数解，
∴，
∴，
解方程组，
得：，解得，
将代入②得：，解得
方程组的解为：，
∵，
∴，
关于的方程组的解为整数，
，
当时，，符合题意；
所有满足条件的整数的值为．
故答案为：．
4.5
【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】，
∵解不等式①得：x＞a﹣1，
解不等式②得：x≤a+5，
∴不等式组的解集为a﹣1＜x≤a+5，
∴不等式组的整数解a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，
∵所有整数解的和S满足21.6≤S＜33.6，
∴21.6≤6a+15≤33.6，
∴1.1≤a≤3.1，
∴a的值为2，3，
∴2+3＝5，
故答案为5．
【题型15 方程与不等式的综合应用】
1.14
【分析】设第一批大闸蟹每只价格为a元，A类蟹每只x元，B类蟹每只y元，则C类蟹每只2x元，根据等量关系式：6只A类蟹价格+5只B类蟹价格+4只C类蟹的价格=第一批蟹16只的价格，1只A类蟹价格+1只B类蟹的价格=第一批蟹2只的价格，列出方程组，将a看作已知数，用a表示x，y，再根据A、B、C三类蟹的单价之和不低于38元、不高于65元，列出不等式组，解不等式组得出a的取值范围，最后根据a、x、y都是整数，得出a的值即可．
【详解】解：设第一批大闸蟹每只价格为a元，A类蟹每只x元，B类蟹每只y元，则C类蟹每只元，根据题意得：
，
解得：，
∵A、B、C三类蟹的单价之和不低于38元、不高于65元，
∴，即，
解得：，
∵a取整数，
，13，14，15，16，17，18，19，
又∵，y都必须取整数，
只有符合题意，
即第一批大闸蟹每只价格为14元．
故答案为：14．
2.80
【分析】设C礼盒中包含的肉粽子有x个，肉粽子的单价为a元/个，绿豆糕的单价为b元/个，咸鸭蛋的单价为c元/个，根据题意列出适当的方程与不等式组进行解答便可．
【详解】解：设肉粽子的单价为a元/个，绿豆糕的单价为b元/个，咸鸭蛋的单价为c元/个，C礼盒中包含的肉粽子有x个，根据题意得：
6a+6b+10c=108①，
120≤8a+8b+6c≤140②，
xa+8b+4c=132③，
5≤a≤10④，
由①得：12a+12b+20c=216，即12a+12b=216-20c⑤，
由②得：180≤12a+12b+9c≤210⑥，
联立⑤⑥得：180≤216-20c+9c≤210
解得：，
∵每种食品的售价均为整数，
∴c=2或3，
当c=2时，6a+6b+20=108，（不合题意舍去）；
当c=3时，6a+6b+30=108，a+b=13，
∴xa+8b+12=132，
∴xa+8（13-a）=120，
∴（x-8）a=16=2×8，
∴x-8=2，解得x=10，a=8，
∴xa=10×8=80．
故答案为：80．
3.40
【分析】设第一批精肉的数量为x斤，则羊排数量为斤，羊腿数量为斤，设第二批总重量为y斤，则第二批羊腿重量为斤，根据题意，得，求得，从而求得第二批羊排重量为斤，精肉重量为斤，总成本为，设羊排价格为m元，精肉价格为n元，则总利润为，根据题意，得，，求n的最小值即可．
【详解】解：设第一批精肉的数量为x斤，则羊排数量为斤，羊腿数量为斤，设第二批总重量为y斤，羊排重量为a斤，则第二批羊腿重量为斤，
根据题意，得，
解得，
∵羊排和精品羊肉的总数量之比为，
∴，解得，
∴精肉重量为斤，
∴总成本为元，
设羊腿价格为m元，精肉价格为n元，
则总利润为元，
根据题意，得：
，解得，
∵羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的，
∴，
解得，∴n的最小值为40．
故答案为：40．
4.96
【分析】设腊肉、香肠、野生葛根粉的成本分别为、、，首先根据题意可用含有x的代数式分别表示出甲、乙、丙礼盒的成本及利润，设该礼品店销售了m个乙礼盒，n个丙礼盒，可得，再根据当天订单的利润率为25%，即可列出方程，可得，据此即可求得m的取值范围，再根据m、n都是正整数，即可求得m、n的值，据此即可解答．
【详解】解：设腊肉、香肠、野生葛根粉的成本分别为、、，
则根据题意，得
甲礼盒的成本为：，利润为：，
乙礼盒的成本为：，利润为：，
丙礼盒的成本为：，利润为：，
设腊月二十九当天，该礼品店销售了m个乙礼盒，n个丙礼盒，
根据题意，得：，
，
整理，得：，，
、都是正整数，
是4的倍数，
，
解得
可取7、8、9、10，
只可取8，此时
，符合题意，
腊月二十九当天一共销售了：(个)，
故答案为：96．
【题型16 新定义问题】
1.或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，坐标与图形，设，根据平移规则，得到，进而得到点在直线上，根据是等腰三角形，分，两种情况讨论，求出点坐标，进而求出点坐标，本题的难度较大，掌握数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
设，则：，
∴点在直线上，
当是等腰三角形，分两种情况：
①当时，过点作，则：，
∵，
∴两点重合，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，过点作，则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴

故答案为：或．
2.
【分析】根据题意得出直线经过点，确定关于对称的点为，得出直线关于对称的直线为，然后代入临界点求解即可．
【详解】解：，
当时，，当时，，
∴直线经过点，
∴关于对称的点为，
设直线关于对称的直线为，
将点代入得：，
解得：，
∴，
当经过时，；
当经过时，；
∵对称点M′在 ABCD的内部（不包含边界），
∴，
故答案为：．
3. 是 67
【分析】（1）根据“希尔伯特”数的定义即可判断；
（2）①由题意可得：这个“H希尔伯特”数是，展开化简即得答案；
②由①可设这两个“H希尔伯特”数为，根据两个“H希尔伯特”数的差是48构建关于m、n的方程，求方程的正整数解即可得.
【详解】解：（1）由于数1能表示成的形式，
∴1是“希尔伯特”数；
故答案为：是；
（2）①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），则另一个奇数是，
∴这个“H希尔伯特”数是；
故答案为：；
②由①可设这两个“H希尔伯特”数为且m、n是正整数，
根据题意可得 ，
∴，即，
∵m、n是正整数，
∴满足题意的正整数m、n是；
则这两个“H希尔伯特”数中较大的是；
故答案为67.
4.
【分析】作于，设点的坐标为，，则，得到点，即可得出 ，相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小，即可求解．
【详解】解：如图，作于．
设点的坐标为，
由题意，知，
，
，
，
，，
，
，
点，
则 ，
相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小，
如图所示
如图，作关于直线的对称点，
，
的最小值为的长，即，
的最小值是．
故答案为：．
【题型17 规律探究】
1.
【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理等知识点，根据中位线定理先确定它们是平行四边形，然后在图（1）中，可证出有3个平行四边形；在图（2）中，可证出有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个，熟练掌握三角形的中位线定理的性质是解决此题的关键．
【详解】在图（1）中，、、分别是的边、、的中点，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，共有3个．
在图（2）中，分别是的边的中点，
同理可证：四边形、、、、、是平行四边形，共有6个．
…
按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个，
故答案为：．
2. 16
【分析】（1）根据题中给出的三个式子，结合多项式，由，，的形式即可猜想出答案；
（2）由（1）中的猜想，根据多项式是完全平方式，得到①；多项式是完全平方式，得到②，从而两式相乘即可得到的值．
【详解】解：（1） ，对比多项式有，
由可知；
同理，对于，，由，，均可得到；
用数学式子表示小明的猜想：，
故答案为：；
（2）由（1）中猜想，当多项式是完全平方式，得到①；当多项式是完全平方式，得到②，
，
和都是多项式，
与不能同时为，
若，则；不可能为完全平方式；
若，则；不可能为完全平方式；
，两边同时除以得到，
故答案为：．
3.
【分析】根据勾股定理分别表示出、、、的长度，然后研究之间存在的规律，
【详解】由图可知，、、、……分别为直角三角形的斜边
== 、== 、== 、== ……
由上式可以看出，=
故答案是：；
4.
【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角直角三角形的特征，点的坐标变化规律．根据等边三角形的性质得出，则，即可得出，则纵坐标为1，同理得出纵坐标为，纵坐标为，……，归纳得出纵坐标为，即可解答．
【详解】解：∵，为等边三角形，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴纵坐标为1，
同理可得：纵坐标为，纵坐标为，……，
∴纵坐标为，
∴点的纵坐标为，
故答案为：．

展开更多......

收起↑