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第1章《三角形的证明》期末知识点复习题
【题型1 由勾股定理求两条线段的平方和（差）】
1.如图，射线于点、点、在、上，为线段的中点，且于点．
（1）若，直接写出的值；
（2）若，的周长为24，求的面积；
（3）若，点在射线上移动，问此过程中，的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的取值范围．
2.如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则等于 ．
3.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则 ．
4.在平面直角坐标系中，已知点，．

(1)如图1，判断的形状并说明理由；
(2)如图2，M，N分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，且，探究线段，，之间的数量关系并证明；
(3)如图3，延长交y轴于点C，M，N分别是x轴负半轴和y轴负半轴上的点，连接交x轴于D，且，探究，，的数量关系并证明．
【题型2 勾股定理在网格问题中的运用】
1.在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点都是格点，且四边形为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图1所示的格点弦图中，正方形的边长为，此时正方形的面积为．问：当格点弦图中的正方形的边长为时，正方形的面积的所有可能值是 (不包括)．
2.问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上： ；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为a，2a，a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
3.在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示：

（1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在网格中标出点B；
（2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小，保留画图痕迹，并直接写出PA＋PB的最小值：______；
（3）结合（2）的画图过程并思考，直接写出＋的最小值：____
4.如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）五边形ABCDE的周长为　 　．
（2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称；
（3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积；
（4）在直线DF上找点H，使∠AHB＝135°．
【题型3 翻折变换】
1.在中，，，点D是边上一点，将沿翻折后得到．

(1)如图1，当点E落在上时，求的度数；
(2)当点E落在下方时，设与相交于点F．
①如图2，若，试说明：；
②如图3，连接平分交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
2.在锐角中，，将沿翻折得到，直线与直线相交于点E，若是等腰三角形，则的度数为 ．
3.如图1，在中，，，D为AC的中点，E为边AB上一动点，连接DE，将沿DE翻折，点A落在AC上方点F处，连接EF，CF．
(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；
(2)若与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出的度数：
(3)翻折后，当和的重叠部分为等腰三角形时，直接写出的度数．
4.已知D是等边三角形中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE，连接并延长交直线于点F．
(1)如图1，若，直接写出∠CFE的度数；
(2)如图1，若，求AE的长；
(3)如图2，连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．
【题型4 两圆一线画等腰】
1.如图，在中，度，，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2.如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1 、l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
3.如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有 个。
4.如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【题型5 等边三角形手拉手问题】
1.已如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，AC与BE交于点P求证：
(1)BE＝AD
(2)∠AOB的度数
2.阅读与理解：
图1是边长分别为a和b的两个等边三角形纸片和叠放在一起（C与重合）的图形．
操作与证明：
(1)操作：固定，将绕点C按顺时针方向旋转，连接，如图2；在图2中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
(2)操作：若将图1中的，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接，如图3；在图3中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
猜想与发现：
(3)根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段的长度最大是多少？当为多少度时，线段长度最小是多少？
3.如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．恒成立的是 ．

4.已知，为等边三角形，点在边上．
【基本图形】如图1，以为一边作等边三角形，连结．可得（不需证明）．
【迁移运用】如图2，点是边上一点，以为一边作等边三角．求证：．
【类比探究】如图3，点是边的延长线上一点，以为一边作等边三角．试探究线段，，三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
【题型6 分身等腰】
1.如图，在第1个，同；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长，到，使，得到第3个，…．按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（ ）

A． B． C． D．
2.如图所示，是一钢架，设，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管，，，添加的钢管长度都与相等，若最多能添加这样的钢管5根，则的取值范围是 ．
3.如图，一钢架中，，焊上等长的钢条来加固钢架，且，对于下列结论，判断正确的是( )
结论Ⅰ：若，则；
结论Ⅱ：若这样的钢条在钢架上至多能焊上6根，那么的取值范围是

A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
4.如图，，点在射线上，点在射线上，，均为等边三角形．若，则的边长为（ ）

A． B． C． D．
【题型7 一线分二腰】
1.已知是等腰三角形，过的一个顶点的一条直线，把分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，我们把这样的等腰三角形叫做和谐三角形．请构造出所有符合条件的和谐三角形并标出相关角的度数．
2.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么则称这个三角形为“双腰三角形”．现有如下4个结论：
①若一个三角形的两个内角分别是、，则这个三角形是“双腰三角形”
②若一个三角形是直角三角形，则这个三角形是“双腰三角形”
③若一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
④若一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.【学习概念】：规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
【理解概念】：
（1）如图1，在中，，，请根据规定①，写出图中所有的“等角三角形”；

（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，，，请根据规定②，求证：CD为△ABC的等角分割线；

【应用概念】：
（3）在△ABC中，，CD是△ABC的等角分割线，=_________．
4.在中，，，把像这样的三角形叫做黄金三角形．
(1)请你设计三种不同的分法，将黄金三角形分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）
注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．
(2)如图4中，平分交于，取的中点，连接并延长交的延长线于．试判断与之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．
答：与之间的数量关系是　　．
【题型8 角平分线的综合应用】
1.已知：在和中，，，．
(1)如图1，A，C，D在同一直线上，延长交于F，求证：；
(2)如图2，与交于F，G在上，若平分，求证：点C在直线上．
2.已知：，小新在学习了角平分钱的知识后，做了一个夹角为120°（即）的角尺来作的角平分线．
(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取，再移动角尺使，然后他就说射线OP是的角平分线．试根据小新的做法证明射线OP是的角平分线；
(2)如图2，将角尺绕点P旋转了一定的角度后，，但仍然出现了，此时OP是的角平分线吗？如果是，请说明理由．
(3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得，请判断线段OD与OE的数量关系，并说明理由．
3.已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于B，D两点，且．过点C作，垂足为E．
(1)如图1，当点E在线段上时，求证：；
(2)如图2，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的等量关系；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点F，交于点O，连接并延长交于点G．若，求线段的长．
4.如图，的和的平分线，相交于点，．
（1）求的度数；
（2）如图，连接，求证：平分；
（3）如图，在⑵的条件下，在上取点，使得，且，，求的周长．
【题型9 垂直平分线的综合应用】
1.如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的有 ．（填序号）

2.如图：在中，，，射线、的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．

(1)如图，若射线、都在的内部，且点与点关于对称，求证：；
(2)如图，若射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，求证：；
(3)如图，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长．
3.如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为 ．

4.在△ABC中，AB＝10，AC＝6．若点D为∠BAC的平分线上一点．
（1）当点D在△ABC的外部时，如图1，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延长线于F，且BE＝CF．
①求证：点D在BC的垂直平分线上；
②BE＝　 　．
（2）当点D在线段BC上时，如图2，若∠C＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，交AD与点F，过点F作FG⊥BE，交BC于点G，则
①∠DFG＝　 　；
②若BC＝8，EC＝，则GC＝　 　．
（3）如图3，过点A的直线lBC，若∠C＝90°，BC＝8，点D到△ABC三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是 　 　．
【题型10 直角三角形斜边中线的综合应用】
1.综合与实践
已知与均为等腰直角三角形，其中，连接，P是的中点，连接．
【初步感知】
(1)如图1，当三点在同一直线上时，和的数量关系为___________，位置关系为___________．
【深入探究】
(2)如图2，当三点在同一直线上时，（1）中得到的结论成立吗？请加以证明．
【拓展提高】
(3)如图3，若等腰直角绕点B逆时针旋转，当恰好与平行时，（1）中得到的结论还成立吗？请加以证明．
2.如图，在中，于点E，于点D；点F是AB的中点，连接DF，EF，设，则的度数可表示为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中正确结论有 ．
4.定义：如图1，在和中，，当时，我们称与互为“顶补等腰三角形”，的边上的高线叫做的“顶心距”，点叫做“旋补中心”．
(1)特例感知：在图2，图3中，与互为“顶补三角形”，，是“顶心距”．
①如图2，当时，与之间的数量关系为=　 　；
②如图3，当，时，的长为　 　．
(2)猜想论证：在图1中，当为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给予证明．
(3)拓展应用：如图4，在四边形中，，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明，并求的“顶心距”的长；若不存在，请说明理由．
【题型11 由勾股定理确定在几何体中的最短距离】
1.如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．若，，，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．12
2.如图，一个圆柱形食品盒，它的高为，底面圆的周长为
(1)点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 ；
(2)将左图改为一个无盖的圆柱形食品盒，点C距离下底面，此时蚂蚁从C处出发，爬到盒内表面对侧中点B处(如右图)，则蚂蚁爬行的最短路程是 ．
3.爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm
4.初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略．
问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？
(1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来；
(2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；
②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；
③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程．
【题型12 由勾股定理构造图形解决实际问题】
1.如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
2.2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗缓缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（　　）
A．10m B．11m C．12m D．13m
3.【问题探究】
(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由；
(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值；
【问题解决】
(3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)
4.目前，某市正积极推进“五城联创”，其中扩充改造绿地是推进工作计划之一.现有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为a＝9m和b＝12m，现要将此绿地扩充改造为等腰三角形，且扩充部分包含以b＝12m为直角边的直角三角形，则扩充后等腰三角形的周长为 .
参考答案
【题型1 由勾股定理求两条线段的平方和（差）】
1.解：（1）．
（2）因为，所以是直角三角形．
因为，的周长为，所以，
所以，解得，所以，
所以．
（3）在中，，在中，，
所以．
因为为线段的中点，所以，所以．
在中，，
所以（定值），
故在点移动的过程中，的值是定值，其值是．
2.
【分析】在和中，分别表示出和，在和中，表示出和，代入求解即可；
【详解】解：∵于，
∴，
在和中，
，，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
3.13
【分析】在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，可求得的值．
【详解】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
．
故答案为：．
4.（1）解：为等腰直角三角形，理由如下：
过点A作，垂足为H，

∵点，，
∴，
∴，
∴，
∴， ，
∴为等腰直角三角形；
（2）． 理由：过点A作，交x轴于点B，

由（1）可知是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵， ∴，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴， 而是等腰直角三角形，可得，
∴；
（3），理由如下： 过A作 交y轴于G，连接，如图：

∵是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，，
而中，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴， 即
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴．
【题型2 勾股定理在网格问题中的运用】
1.或
【分析】设四个全等的直角三角形的直角边边长分别为a，b．利用分类讨论的思想，在格点上找出各点位置，即找出边的位置，即可求出面积．
【详解】设四个全等的直角三角形的直角边边长分别为a，b．则正方形EFGH的边长为a+b，
即 ．
∴在网格中找出a和b的线段，且线段的端点都在格点上即可．
分情况讨论：
① ，如图，
此时．
② ，如图，
此时．
③，如图，
此时．
题干中不包括52，
故的值为36或50．
故答案为：36或50．
2.解：（1）的面积为，
故答案为：；
（2）如图，，，，
由图可得：；
故答案为：；
（3）构造所示，，
，
，
∴．
3.解：（1）如图所示：

（2）如图所示，PA＋PB的最小值＝；
故答案为：；
（3）如图，，，

∴PA＋PB的最小值即为：，
∴＋的最小值为，
故答案为：．
4.解：（1）由题意， ，，，
∴五边形ABCDE的周长=20+，
故答案为： ．
（2）如图，连接EC，作DF⊥EC交AB于点F，点F即为所求作．
∵，DF⊥EC，
∴，
∴点D，G是CE垂直平分线上的点，
∴DF是CE的垂直平分线，
∴E，C两点关于直线DF对称；
（3）∵，，
∴，
∴是直角三角形；
∴．
（4）如图，过点A作AH⊥DF于H，连接BH，则点H即为所求作．
∵，，
∴．
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
【题型3 翻折变换】
1.（1）∵，，
∴，
∵将沿翻折后得到，
∴，
∴；
（2）①根据翻折可得，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：
设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
2.或
【分析】分三种情形：当，点E在和的延长线上，当，点E在和的延长线上，分别画出图形，分别求解即可．
【详解】解：①如图，当，点E在和的延长线上，

∵，
∴，
由折叠得：，，
设，则，，，
在中，由三角形内角和定理得：，
∴，
即，
∴，
∵，
∴此时为锐角三角形，符合题意；
②如图，当，点E在和的延长线上，

∵，
∴，
由折叠得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴此时为锐角三角形，符合题意；
综上所述，满足条件的的度数为或．
故答案为：或．
3.（1）解：
由沿翻折可知
∵为的中点
∴
∴为等腰三角形
∴
∵
∴
∴．
（2）解：∵，是等腰三角形，与全等
∴①如图1，当时，为等腰三角形，为等腰三角形
∴，
∵
∴
∴当时，点在的下方，不符合题意；
又∵，
∴与不全等，舍去；
②如图2
当时，为等腰三角形，为等腰三角形
∴
∴
∴四边形AEFD、CDEF均是平行四边形
∴与全等
∴
∴当时，与全等，；
综上所述，若 与以点为顶点的三角形全等，的值为．
（3）解：①由（2）中图2可知当时，在内，此时两个三角形的重叠部分为等腰三角形；
②如图3，为与重合的等腰三角形
∴，
∵，
∴
∴
∴；
③如图4，为与重合的等腰三角形
∴
∵，
∴
∴
∴；
综上所述，当和的重叠部分为等腰三角形时，的值为或或．
4.（1）解：由等边三角形及翻折的性质得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴的度数为．
（2）解：由（1）可得，
∵，，
∴，
∴，
如图1，在上截取，使，连接，
由题意知，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为2．
（3）解：；
证明如下：由（2）可得，点D在运动过程中，是定值，
如图2，在上截取，使，连接，
∴同理（2）可知是等边三角形，
∵，，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型4 两圆一线画等腰】
1.D
【分析】根据等腰三角形的判定定理，分情况讨论，正确作图，即可得到结论．
【详解】解：如下图，
作垂直平分线与相交于点P，可得，
以A为圆心，为半径画圆，交有两个交点，可得，
以B为圆心，为半径画圆，交有一个交点，可得，
故选：D．
2.D
【详解】以A为圆心，AB长为半径画弧，交l1、l2于4个点；
以B为圆心，AB长为半径画弧交l1、l2于2个点，
再作AB的垂直平分线交l1、l2于2个点，
共有8个点，
故选：D.
3.8
【分析】分别以A、B点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可（A、B、C共线除外）；此外加上在AB的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案.
【详解】解：以A点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可，（A、B、C共线除外）；以B点为圆心，AB为半径作圆，在⊙B上的格点为C点；在AB的垂直平分线上有两个格点．故使△ABC是等腰三角形的格点C有8个．
4.C
【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可．
【详解】解：如图所示：
以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合．
因此出现等腰三角形的点P的位置有4个．
故选：C．
【题型5 等边三角形手拉手问题】
1.（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE
即∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD
（2）由（1）可得△BCE≌△ACD
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠APO＝∠BPC，
∴∠AOP＝∠BCP＝60°，即∠AOB＝60°．
2.（1）解：，理由如下：
绕点C按顺时针方向旋转，
，
与等边三角形，
，
在和中，
，
；
（2），理由如下：
绕点C按顺时针方向旋转a，
，
与等边三角形，
，
在和中，
，
；
（3）由题意可知：当点D旋转到的反向延长线上时，此时线段的长度最大，等于，所以，当点D旋转后重新回到边上时，此时线段的长度最小，最小值，所以或．
3.①②③④
【分析】由等边三角形的性质可证明，则可得①正确；由可得，由，则由三角形内角和可得，则可得③正确；证明，可得，由可得④正确；由等边三角形的性质可得②正确；由知，，即可判定⑤不正确，从而可确定答案．
【详解】解：∵都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴由三角形内角和得：，
故③正确；
∵
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
故④正确；
∵是等边三角形，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
当点P位于的边上时，始终有，
即，
故⑤不成立；
∴正确的是①②③④，
故答案为：①②③④．

4.基本图形：证明：∵与都是等边三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
迁移运用：证明：过点作，交于点，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∴；
类比探究：解：，理由如下：
过点作，交于点，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【题型6 分身等腰】
1.B
【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数．
【详解】解：在中，，，
，
，是△的外角，
；
同理可得，，
第个三角形中以为顶点的底角度数是．
故选：B．
2.
【分析】由等腰三角形的性质和外角性质可得，，，，由题意可列不等式组，即可求解．
【详解】解：，
，
，
同理可得，，
最多能添加这样的钢管5根，
，，
，
故答案为：．
3.A
【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到、与之间的关系，即可求解．
【详解】解：∵，，，，
∴，，，，
∴，
即,
∴，
故结论Ⅰ正确；
∵，，，，，，
∴，，，，，，
∴，
∵要使得这样的钢条只能焊上6根，
∴，

由题意得
解得：
故结论Ⅱ正确．
故选：A．
4.B
【分析】根据等边三角形的性质得出， ，，利用同样的方法，，，由此规律可得．
【详解】为等边三角形，
同理：
由此类推可得的边长．
故选B．
【题型7 一线分二腰】
1.一共有4种情况：
是等腰三角形，，直线是过定点A．
根据题意，由，是等腰三角形，且，，
那么．
利用三角形内角和定理，可知，
解得，
则；
是等腰三角形，，直线是过定点A．
根据题意，由，是等腰三角形，且，，
那么，，，
所以．
利用三角形内角和定理，可知，
可得，
解得，
则，；
如图所示，是等腰三角形，，直线是过定点B．
根据题意，由，是等腰三角形，且，，
那么，，．
利用三角形外角的性质，可知，根据利用三角形内角和定理，得，
解得，
则；
④如图所示，是等腰三角形，，直线是过定点B．
根据题意，由，是等腰三角形，且，，
那么，，．
利用三角形外角的性质，可知，
则，．
根据利用三角形内角和定理，得，
解得，
则．
2.C
【分析】根据题意作出图形，然后由等角对等边及三角形内角和定理及三角形外角的性质依次判断证明即可．
【详解】解：①如图所示：，，
∴，
作的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴与为等腰三角形，故①正确；
②如图所示：为直角三角形，，
∴，，
作交于点D，
∴，
∴为等腰三角形，为等腰三角形，故②正确；
③如图，∠C=α，∠A=2α，
作∠DBC=α，交AC于D
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2α=∠A，
∴BD分成的两个三角形都是等腰三角形，
如果三个角分别是50°，100°，30°不成立，
故结论③错误；
④如图所示：，设，则，
∴，
过点B作，
∴为等腰三角形；，，
∴,
∴为等腰三角形，故④正确；
综上可得：①②④正确，符合题意；
故选：C．
3.（1）解：∵在中，，
∴，，
∴，
∴与，与，与是“等角三角形”；
（2）证明：∵在中，，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴为的等角分割线；
（3）解：当是等腰三角形，时，，
∴，
当是等腰三角形，时，，
∴，
当是等腰三角形，时，，
∴，
当是等腰三角形，时，，
设，则，
则，
由题意得，，解得，
∴，
∴，
∴的度数为或或或．
故答案为：或或或．
4.（1）解：如图所示：
（2）连接，如图：
∵在中，，，
∴，
∵平分交于，
∴，
∴，
∴
∵是的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【题型8 角平分线的综合应用】
1.（1）证明：∵A，C，D在同一直线上，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：连接，过点C作于点M，于点N，如图所示：
，
∴，
即，
∵在和中，
∴，
，
∵在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∵平分，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴、F、G在同一直线上，
即点C在直线上．
2.（1）解：证明：如图1中，
在和中，
，
，
．
（2）解：结论正确．
理由：如图2中，过点作于，于．
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
则是的角平分线；
（3）解：结论：．
理由：如图3中，在上取一点，使得，连接．
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
3.（1）证明：如图1，过点C作，垂足为F，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点C作，垂足为F，
∵平分，
∴
∵，，
∴
∵，，
∴ ，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴
∴；
（3）解：如图3，在上截取，连接，
在和中，
，
∴
∴，
∵是的平分线，是的平分线，
∴点O到的距离相等，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴．
4.（1）证明：如图1，
分别平分，
，
，
，
；
(2)如图2，过点分别作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N， GQ⊥AC于Q，
平分， GM⊥AB于M，GN⊥BC 于N，
，
同理，
，
∵GM⊥AB于M， GQ⊥AC于Q，
平分 ；
（3）解：∵GM⊥AB于M， GQ⊥AC于Q，GM=GQ，
∴ 平分，
∵又，
，
在上取点，使 ，
平分
，
又，
，
，
，
，
， ，
，
，
又，，
，
，
△ABC的周长为：，
的周长是．
【题型9 垂直平分线的综合应用】
1.①②③④
【分析】①利用角平分线的性质以及三角形外角的性质，求解即可；
②③延长与交于点，利用全等三角形的判定与性质求解即可；
④在上截取，利用垂直平分线的性质以及全等三角形的性质，求解即可．
【详解】解：设，，

∵平分，平分，
∴，
由三角形外角的性质可得：
∴①正确；
延长与交于点，如下图：
∵
∴
∵平分
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
∴②正确；
同理可得：
∴，③正确；
在上截取，则是的垂直平分线，如下图：

∴
∵
∴，
又∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴④正确
故答案为：①②③④
2.（1）证明：如图，连接，

，关于对称，
被垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，在上截取，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
即；
（3）解：如图，延长至点，使，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，，
，
，，
，
，
，
．
3.
【分析】连接，过点E作，交的延长线于N，由，可得；由D为中点，，则可得；证明，再证明即可求得结果．
【详解】解：连接，过点E作，交的延长线于N，如图，
∵，，
∴；
∵D为中点，，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．

故答案为：．
4.（1）①证明：连接BD，CD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(SAS)，
∴BD=CD，
∴点D在BC的垂直平分线上；
②由①知：DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∵BE=CF，
∴AB-BE=AC+CF，
∴10-BE=6+BE，
∴BE=2；
故答案为：2；
（2）①∵BE平分∠ABC，AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°=45°，即∠ABF+∠BAF=45°，
∴∠DFB=∠ABF+∠BAF=45°，
∵FG⊥BE，即∠BFG=90°，
∴∠DFG=90°-∠DFB=45°；
故答案为：45°；
②延长FG交AB于H，
∵∠AFH=∠DFG=45°，∠AFE=∠BFD=45°，
∴∠AFH=∠AFE，
∵∠HAF=∠EAF，AF=AF，
∴△AFH≌△AFE(ASA)，
∴AH=AE，
∴AB=10，AC=6，BC=8，EC=，
∴AE=AC -CE=6-，
∴AH=AE，
∴BH=AB-AH，
∵∠CBE=∠ABE，∠BFH=∠BFG，BF=BF，
∴△BFG≌△BFH(ASA)，
∴BH=BG，
∴GC=BC -BG，
故答案为：；
（3）当点D在△ABC内部时，如图：
∵，
∴，
∴h=2，
点D到直线l的距离是AC-h=6-2=4；
当点D在BC的下方时，如图：
设点D到三边的距离为x，
由题意得：BE=8-x，AE=AF，
∴10+8-x=6+x，
∴x=6，
点D到直线l的距离是AF=12；
当点D在AC的右边时，如图：
设点D到三边的距离为y，
同理可得：8+y=10+6-y，
∴x=4，
点D到直线l的距离是6-y=2；
当点D在AB的上方时，如图：
设点D到三边的距离为z，
同理可得：z-6+z-8=10，
∴z=12，
点D到直线l的距离是z-6=6；
综上，点D到直线l的距离是2或4或6或12．
故答案为：2或4或6或12．
【题型10 直角三角形斜边中线的综合应用】
1.（1）解：∵，P是的中点，
∴，，
∴，
∵与均为等腰直角三角形，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）成立，理由如下：
延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵P是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴是的中点，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，是的中点，
∴，；
（3）成立，理由如下：
延长至，使，连接，
∵与均为等腰直角三角形，
∴,
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形且点是的中点，
∴，
∴．
2.D
【分析】由垂直的定义得到∠ADB=∠BEA=90°，根据直角三角形的性质得到AF=DF，BF=EF，根据等腰三角形的性质得到∠DAF=∠ADF，∠EFB=∠BEF，于是得到结论．
【详解】解：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；
∴∠ADB=∠BEA=90°，
∵点F是AB的中点，
∴AF=DF，BF=EF，
∴∠DAF=∠ADF，∠EBF=∠BEF，
∴∠AFD=180°-2∠CAB，∠BFE=180°-2∠ABC，
∴∠DFE=180°-∠AFD-∠BFE=2（∠CAB+∠CBA）-180°=2（180°-∠C）-180°=180°-2∠C=α，
∴∠C=90°-α，
故选：D．
3.①②④
【分析】求出，，，证，即可判断①，证，推出，即可判断④；根据，得到，推出不是的中位线，于是得到不能垂直平分，故③错误；连接，利用等腰三角形的判定与性质得到，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断②．
【详解】解：，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
①正确；
在和中，
，
，
，
，
，
④正确；
连接，如图，
∵，
，
∴，
∴．
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴为斜边上的中线，
∴，
∴为等腰三角形，
∴②正确；
若，则，若平分，则是的中位线，
，
，
不是的中位线，
不能垂直平分，故③错误；
故答案为：①②④．
4.（1）①如图2中，∵与互为“顶补三角形”，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为．
②如图3中，
∵
∴
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为3．
（2）如图1中，结论：．
∵，
∴ ，
同法可证：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）存在．
证明：如图4中，连接，取的中点P，连接,作于．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴和是“顶补等腰三角形”，
在中，∵，，
∴．
【题型11 由勾股定理确定在几何体中的最短距离】
1.A
【分析】求出蚂蚁沿着木柜表面经线段到，以及蚂蚁沿着木柜表面经线段到的距离，再进行比较即可．
【详解】解：蚂蚁沿着木柜表面经线段到，
爬过的路径的长是，
蚂蚁沿着木柜表面经线段到，
爬过的路径的长是．
，最短路径的长是．
故选A．
2.
【分析】（1）把圆柱侧面展开，在中，利用勾股定理求解即可．
（2）将圆柱侧面展开，得到矩形，作点关于的对称点，构造，根据勾股定理求出即可解决问题．
【详解】(1)如图，把圆柱侧面展开，在中，
∵，
∴ ，
故答案为：．
(2)如图所示，点与点关于对称，可得，，
则最短路程为
故答案为：．
3.16
【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可．
【详解】
如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形，
∴，，，，
此时最小，
∵点是中点，
∴cm，
∴cm，cm，
在中，cm，
∴cm，
故答案为：16．
4.（1）解：共有3条路径，如下图：
（2）解：①如图，连接，
根据题意得：，，
∴，
即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为；
②如图，连接，
根据题意得：，，
∴，
即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为；
③如图，连接，
根据题意得：，，
∴，
即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为．
【题型12 由勾股定理构造图形解决实际问题】
1.解：（1）△ABC是直角三角形；
理由如下：
∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；
理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝AB CH＝AC BC，
∴CH＝（m），
∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．
2.B
【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
【详解】设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，
根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22，
如图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，
∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11，
故选：B．
3.解：(1)如图①，作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求。
理由如下：∵点E是正△ABC高AD上的一定点，
∴∠BAD=30 ，
∵EF⊥AB，
∴EF=AE；
(2)如图②,作CN⊥AB,垂足为点N,交AD于点M,此时AM+MC最小，最小为CN的长。
∵△ABC是边长为2的正△ABC，
∴CN=BCsin60 =2×=
∴MN+CM=12AM+MC=
即AM+MC的最小值为
(3)如图③,作BD⊥AC,垂足为点D,在AC异于点B的一侧作∠CAN=30
作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求。
在Rt△ABD中,AD=(km)
在Rt△MBD中,∠MBD=∠MAF=30 ,得MD=BDtan30 =(km)，
所以AM=(480 )km．
4.40米或48米或（30+6）米.
【详解】【分析】分三种情形讨论即可，①AB=BE1，②AB=AE3，③E2A=E2B，分别计算即可．
【详解】在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=9，AC=12，∴AB==15，
①当BA=BE1=15时，CE1=6，
∴AE1==6，
∴△ABE1周长为（30+6）米；
②当AB=AE3=15时，CE3=BC=9，BE3=18，
∴△ABE3周长为48米；
③当E2A=E2B时，设E2C=x，则有E2A=BC+E2C=9+x，
∵∠ACE2=90°，∴AE22=CE22+AC2，
即（9+x）2=x2+122，
∴x=3.5，
∴E2A=E2B=9+3.5=12.5，
∴△ABE2周长为2×12.5+15=40米；
综上所述扩充后等腰三角形的周长为40米或48米或（30+6）米，
故答案为40米或48米或（30+6）米.

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