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2024-2025年人教版八年级下册数学期末专题训练:动点问题压轴题
1.如图1,直线:与轴交于点,与轴交于点,直线:与轴交于点,与直线交于点,.
(1)求直线的解析式.
(2)点为轴正半轴上的一点,若,在轴上存在一点,使最小,求点的坐标和最小值.
(3)如图2,将直线向上平移3个单位得到直线,在上存在一动点,使,请直接写出点的坐标.
2.如图1,已知函数与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C与点A关于y轴对称.
(1)求直线的函数解析式;
(2)设点M是x轴上的一个动点,如图2,过点M作y轴的平行线,交直线于点P,交直线于点Q.
①若的面积为,求点P的坐标;
②连接,如图,若是等腰三角形,直接写出点M的坐标.
3.如图,是平面直角坐标系中的一个动点,直线与x轴、y轴分别交于点,B.
(1)求直线l的解析式;
(2)判断点P是否有可能落在直线l上?并说明理由;
(3)点B先向右平移6个单位长度,再向下平移6个单位长度得到点C.
①直接写出点C的坐标;
②当点P在的内部(不包括边界)时,求a的取值范围.
4.如图1,在正方形中,,、分别为边、上的动点且满足.
(1)求证:;
(2)若点为的中点,求的长;
(3)如图2,若,且点、分别为边、上的动点,且始终满足.求的最小值.
5.如图,四边形是平行四边形,其中点的坐标是,点的坐标是,点的坐标是.
(1)请求出点的坐标;
(2)已知点是线段上一个动点,若三角形是等腰三角形,请求出所有符合要求的点的坐标;
(3)已知直线:恰好将平行四边形分成面积相等的两部分,求出与之间满足的关系式.
6.如图1,在矩形中,点,分别在轴、轴正半轴上,点在第一象限,,.
(1)请直接写出点的坐标;
(2)如图2,平分交于点,求的面积;
(3)如图3,动点在第一象限,且点在直线上,点在线段上,是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形,若存在,请求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.
7.综合与探究
问题情境:折叠问题的实质是图形的轴对称变化,找出对应相等的元素是解题的关键.如图,在矩形中,,,为射线上一动点,连接,将沿折叠得到,点的对应点为.
问题解决:
(1)如图当点落在对角线上时,求线段的长.
(2)如图,当时,求线段的长.
(3)在点运动的过程中,当三点共线时,请直接写出线段的长.
8.已知,在中,,,点为直线一动点(点不与点重合),连接,以为直角边作等腰直角三角形(使点按顺时针的顺序排列),使,,连接.
(1)如图1,当点在线段上时,与的数量关系是___________,与的位置关系是___________,、、三条线段的数量关系是___________.
(2)如图2,当点在线段的延长线上时,其他条件不变,请写出、、三条线段之间的关系并说明理由.
(3)如图3,当点运动到的延长线上时,且、分别在直线的两侧,若,则的面积为___________.
(4)当点在直线上时,过点作交直线于点,则的长为___________.
9.如图,直线:与轴、轴分别交于点、,且与直线相交于点,已知直线经过点,且与轴交于点.
(1)求点、的坐标以及直线的解析式;
(2)若为直线上一动点,,求点的坐标;
(3)点是直线上方第一象限内的动点,当为等腰直角三角形时,直接写出所有符合条件的点的坐标.
10.如图,已知直线与轴交于点,与轴交于点,以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形.
(1)求点的坐标;
(2)若为直线上一点,点横坐标为,面积为,求与的关系式;
(3)过点作轴,垂足为是直线上的动点,是直线上的动点.试探究能否是以为直角边的等腰直角三角形(不与重合)?若能,请直接写出点的坐标;若不能,请说明理由.
11.如图,长方形中,宽,点P沿着四边按方向运动,开始以每秒m个单位匀速运动,a秒后变为每秒2个单位匀速运动,b秒后恢复原速匀速运动,在运动过程中,的面积S与运动时间t的关系如图所示.
(1)长方形的长________,宽________;
(2)直接写出________,________,_______;
(3)当P点运动到中点时,有一动点Q从点C出发,以每秒1个单位的速度沿运动,当一个点到达终点,另一个点也停止运动,设点Q运动的时间为x秒,的面积为y,求当时,y与x之间的关系式.
12.已知,一次函数与轴交点,与轴交于点,点与点关于轴对称.
(1)求直线的函数解析式;
(2)设点是轴上一个动点,过点作轴的平行线,交直线于点,交直线于点,当的面积是时,求点的坐标;
(3)已知是的角平分线,在线段上找一点,使得,求点的坐标.
13.用一条直线分割一个三角形,如果能分割出一个等腰三角形,那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线.在直角三角形中,,,.
(1)如图1,O为的中点,则直线 的等腰分割线.(填“是”或“不是”).
(2)如图2,点P是边上一个动点,当直线是的等腰分割线时,求的长度.
(3)如图3,若将放置在如图所示的平面直角坐标系中,点Q是边上的一点,如果直线是的等腰分割线,则点Q的坐标为 .(直接写出答案).
14.如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B,与一次函数的图像交于点C,点D是直线上一个动点(不与C、O重合),过点D作x轴的垂线,交直线于点E,连接.
(1)填空:________;
(2)连接,若四边形是平行四边形,求的面积;
(3)将沿直线翻折得到,点E落在点F处.若点F恰好在y轴上,求点D的坐标.
15.如图1,是等边三角形,平分,F是边上一动点,G为射线上一点.给出下列信息:①;②;③.
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件,剩下的一条作为结论,组成一个命题.你选择的两个条件是 ,结论是 (只要填写序号).判断此命题是否正确,并说明理由;
(2)已知,,且y关于x的函数图像如图2所示,在(1)的条件下,当时,求的长.
16.如图,在,,,是上一动点,以为底,在的右侧作等腰直角,的延长线交于点.
(1)如图1;当时,
①求证:;
②若,求线段的长;
(2)如图2,若,,求线段的长;
17.如图1,在平面直角坐标系中,直线交y轴于点A,交x轴于点B,,直线经过点A,交x轴于点C.
(1)求直线的解析式.
(2)如图2,点D是y轴负半轴上一动点,点E是x轴上一动点,若,求的最小值.
(3)如图3,点P是直线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线于点Q,平面内有一个动点M,若以C,P,Q,M为顶点的四边形是菱形,请直接写出点M的坐标.
18.如图,直线分别交轴,轴于点,,点,动点从点出发以每秒1个单位的速度沿轴负方向移动,设点的移动时间为秒.
(1)求,两点的坐标.
(2)设的面积为,当时,求关于的函数表达式.
(3)当为何值时,与全等.
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《2024-2025年人教版八年级下册数学期末专题训练:动点问题压轴题》参考答案
1.(1)
(2);
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合,两点距离计算公式,勾股定理的逆定理,等腰直角三角形的性质与判定等等,利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键.
(1)先求出点A的坐标得到的长,则可求出的长得到点C的坐标,再利用待定系数法求解即可;
(2)联立直线和直线解析式求出点D坐标,则可求出,进而可得,再根据三角形面积计算公式求出的长,从而得到点P的坐标;作点D关于x轴的对称点,连接交x轴于E,此时有最小值,最小值为的长,据此利用两点距离计算公式求出的长,再求出直线的解析式,进而求出点E坐标即可;
(3)先求出直线的解析式;如图所示,取,连接,可证明,即是等腰直角三角形,则,即点M即为直线与直线的交点,求出直线解析式为,联立,解得,则点M的坐标为;如图所示,取,同理可证明是等腰直角三角形,且,则,则点M为直线与直线的交点,同理求出此时点M的坐标即可.
【详解】(1)解:在中,当时,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
把代入中得,解得,
∴直线的解析式为;
(2)解:联立,解得,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
在中,当时,,
∴,
∵点P在y轴正半轴上,
∴点P的坐标为;
如图所示,作点D关于x轴的对称点,连接交x轴于E,此时有最小值,最小值为的长,
∵,
∴,
∴,
∴的最小值为;
设直线解析式为,则,
解得,
∴直线解析式为,
在中,当时,,
∴;
(3)解:∵将直线向上平移3个单位得到直线,
∴直线的解析式;
如图所示,取,连接,
∵,
∴,.
,
∴,
∴,即是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴点M即为直线与直线的交点,
设直线解析式为,
∴,
∴,
∴直线解析式为,
联立,解得,
∴点M的坐标为;
如图所示,取,同理可证明是等腰直角三角形,且,
∴,
∴点M为直线与直线的交点,
同理可得直线解析式为,
联立,解得,
∴点M的坐标为;
综上所述,点M的坐标为或.
2.(1)
(2)①或;②或或或
【分析】本题考查一次函数的综合应用,涉及待定系数法求一次函数解析式,轴对称的性质,两点间距离公式,等腰三角形的定义以及性质等知识点,熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键.
(1)先求出的坐标,对称性求出点坐标,待定系数法求出的函数解析式即可;
(2)①设,则:、,过点B作于点D,利用,进行求解即可;
(3)先由两点间距离公式求出,然后分三种情况讨论,利用等腰三角形的性质进行求解即可.
【详解】(1)解:对于,
由得:,
∴,
由得:,解得,
∴,
∵点C与点A关于y轴对称
∴,
设直线的函数解析式为,则,
解得.
∴直线的函数解析式为;
(2)解:①设,
则、
如图1,过点B作于点D,
∴,,
∴,
解得,
或
∴或;
②∵,
∴,
当时,则或;
当时,如图:
设,则,
∴在中,由勾股定理得:,
解得:,
∴;
当时,
∵,
∴,
∵,
∴此时点M与点C重合,
∴,
综上所述:是等腰三角形时,点M的坐标为或或或.
3.(1);
(2)有可能,当P的坐标是时,点P落在直线l上,见解析;
(3)①点C的坐标是;②.
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移、求一次函数的解析式,解决本题的关键是待定系数法求一次函数的解析式,然后再利用一次函数的图象与性质求解.
(1)把点A的坐标代入,得到关于k的一次方程,解方程求出k的值即可;
(2)把代入,得到关于a的一元一次方程,解方程求出a的值,再根据a的值求出点P的坐标即可判断;
(3)①先根据一次函数的解析式求出点B的坐标,再根据平面直角坐标系中点平移时,左减右加,上加下减求出点C的坐标;
②根据点P的坐标可知:点P在直线上,用待定系数法求出直线的解析式为,因为点P在的内部(不包括边界),所以可得不等式组,解不等式组求出a的取值范围.
【详解】(1)解:∵点在直线上,
∴,
解得:,
∴直线l的解析式为;
(2)有可能,理由如下:
由条件可得:,
解得:,
∴,
∴当P的坐标是时,点P落在直线l上;
(3)①当时,可得:,
∴点B的坐标为,
∴把点向右平移6个单位长度,再向下平移6个单位长度可得:点C的坐标是;
②∵是平面直角坐标系中的一个动点,
∴点P在直线上,
设直线的解析式为,
把点,代入,
可得:,
解得:,
可得:直线的解析式为,
∵点的坐标满足:,
当时解得:;
当时解得:,
∴在的内部(不包括边界)的点的坐标满足:,
∵点P在的内部(不包括边界),
∴.
4.(1)见详解
(2)4
(3)
【分析】(1)通过正方形的性质证得,得到,推出,根据垂直的定义得到结论;
(2)过点作于,且交于点,则,证明四边形是矩形,运用勾股定理得,根据等面积法得,以及勾股定理得,,,即可得到结论;
(3)过点作,过点作,两直线交于点,则四边形是平行四边形,求得,,得到,要求的最小值,即求的最小值,连接,当,,三点共线时,的最小值为的长,根据平行线的性质得到,推出是等腰直角三角形,根据勾股定理即可得到结论.
【详解】(1)证明:∵四边形是正方形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴;
(2)解:过点作于,且交于点,则,
∴,
则四边形是矩形,
∴,
∵E是的中点,,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,.
在中,,
∴,
∵,
∴,
则,
∴,
则,
在中,,
∴,
在中,.
(3)解:过点作,过点作,两直线交于点,
则四边形是平行四边形,
∴,,
∴,
要求的最小值,即求的最小值;
连接,当,,三点共线时,的最小值为的长;
∵,
∴,
又,
∴,
∴;
由(1)得,
∴,
∵,,
∴,
∵四边形是正方形,
∴,
∴四边形是平行四边形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴的最小值是.
【点睛】本题考查了正方形的性质,矩形的性质与判定,全等三角形的判定与性质,三角形等面积法,等腰直角三角形的性质于判定,勾股定理等知识;熟练掌握以上知识是解题的关键.
5.(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质,平移的性质,勾股定理,等腰三角形的性质,一次函数的性质等知识点,解题的关键是熟练掌握以上性质,并灵活应用.
(1)利用平行四边形的性质和平移的性质即可求解;
(2)设,分情况进行讨论,当时,当时,当时,利用勾股定理求解即可;
(3)连接,交于,利用中点坐标公式求出中点,再利用待定系数法可表示出和的关系.
【详解】(1)解:点坐标是,,
∴,
∵四边形是平行四边形,
∴,,
∵点坐标是,
∴;
(2)解:∵点是线段上一个动点,
∴设,
①当时,三角形是等腰三角形,根据勾股定理得,
∴,
∴(负值舍去),
∴,
②当时,三角形是等腰三角形,
则点在的垂直平分线上,
∴,
③时,根据勾股定理得,
∴,
∴(不合题意舍去),(不合题意舍去),
综上所述,或;
(3)解:如图,连接,交于,
∵四边形是平行四边形,
∴,
∵点坐标是,点坐标是,
∴,
∵正好将平行四边形分成面积相等的两部分,
∴直线过,
∴
∴,
即与的函数关系式为.
6.(1)
(2)
(3)存在,
【分析】本题考查矩形的性质,勾股定理,一次函数与几何图形综合,待定系数法求解析式,等腰三角形的性质,数形结合是解题的关键;
(1)根据矩形的性质写出点的坐标,即可求解.
(2)根据勾股定理求得证明,得出,,,进而勾股定理建立方程求得,再根据三角形的面积公式,即可求解;
(3)设点.分类讨论:①当点在下方时,过点作,交轴于点,交于点,证明,得出此时点不合题意舍去; ②当点在的上方时,过点作,交轴于点,交的延长线于点同理,可证,得出的长,根据点,,待定系数法求解析即可求解.
【详解】(1)解:∵在矩形中,,.
∴,,,,
∴;
(2)过点作交于,如图:
,,
,
平分,
,
在和中,
,
,
,,,
,
,
,
解得,
;
(3)存在,理由如下:
设点.
①当点在下方时,过点作,交轴于点,交于点,如图:
是等腰直角三角形,
,,
,
,
,
,,
,
解得,此时点不合题意舍去;
②当点在的上方时,过点作,交轴于点,交的延长线于点,如图:
同理,可证,
,
,
解得,
,
点,,
设解析式为,将,代入得:
,解得,
直线的解析式为:.
7.(1)
(2)
(3)或
【分析】()利用勾股定理得,由折叠的性质得,,,即得,设,则,在中利用勾股定理解答即可求解;
()在上取一点,使得,连接,可证是等腰直角三角形,得到,即得,进而得,即得到,据此即可求解;
()分点在和点在延长上,分别画出图形,利用矩形和折叠的性质分别解答即可求解.
【详解】(1)解:∵四边形是矩形,
∴,
∴,
由折叠的性质可得,,
∴,
设,则,
在中,由勾股定理得,
∴,
解得,
∴;
(2)解:如图所示,在上取一点,使得,连接,
由折叠的性质可得,,
∵,
∴,
∴,
又∵,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴;
(3)解:如图所示,当点在上时,
∵四边形是矩形,
∴,,
∴,
由折叠的性质可得,,
∴,
∴,
∴,
在中,由勾股定理得,,
∴,
∴;
如图所示,当点在延长上时,
同理可证明,
∴,
在中,由勾股定理得,,
∴,
∴;
综上所述,的长为或.
【点睛】本题考查了矩形的性质,折叠的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质等,正确作出辅助线是解题的关键.
8.(1);;;
(2),理由见解析
(3)6
(4)的长为或
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理等知识,证明三角形全等是解题的关键;
(1)证明,,再结合等腰三角形的性质即可得解;
(2)证明,得,即可得解;
(3)证明,,再结合等腰三角形的性质即可得是直角三角形,则可求得其面积;
(4)分三种情况:当点D在线段上时,由(1)易得;设,则由勾股定理得;在中,由勾股定理得,即;
由,即可求解;当点D在线段的延长线上时,同理求得,由即可求解,但此时为负,不符合题意;当点D在线段的延长线上时,同理求得,由即可求解;最后综合即可.
【详解】(1)解:∵,,
∴,
∴;
∵,
∴,
∴;
∵,,
∴,
∴,
∴,
即;
∵,
∴;
故答案为:;;;
(2)解:;
理由如下:
∵,,
∴,
∴;
∵,
∴,
∴;
∵,
∴;
(3)解:∵,,
∴,
∴;
∵,
∴,
∴;
∵,,
∴,
∴,
∴,
即;
∵,
∴,
即;
∴;
故答案为:6;
(4)解:当点D在线段上时,如图1;
由(1)知,,;
∵,
∴,
∴;
设,在中,由勾股定理得;
在中,由勾股定理得;
在中,由勾股定理得:,
即,解得:,
即;
∵,
∴;
当点D在线段的延长线上时,如图2;
同理得;
∵,
∴;
但,即,此种情况不存在;
当点D在线段的延长线上时,如图3;
同理得;
∵,
∴;
综上,的长为或.
故答案为:的长为或.
9.(1)点、,直线的解析式为
(2)点的坐标为或
(3)点的坐标为或或
【分析】本题考查了一次函数综合应用,涉及待定系数法,三角形面积,等腰直角三角形,全等三角形的判定与性质等知识,解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用.
()由直线:得,当时,,当时,,则有点、,设直线的解析式为,然后把,代入即可求解;
()由直线的解析式为得,当时,,当时,,则点,,则,求出,设,,求出的值即可;
()当,时,当,时,当,时三种情况分析,再根据全等三角形的判定与性质即可求解.
【详解】(1)解:由直线:得,当时,,当时,,
∴点、,
设直线的解析式为,
把,代入得,
,解得:,
∴直线的解析式为;
(2)解:由直线的解析式为得,当时,,当时,,
∴点,,
∴,
∴,
∴,
∵为直线上一动点,
∴设,
∴,
∴,解得:,
∴点的坐标为或;
(3)解:如图,当,时,过作轴于点,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∵点,,
∴,,
∴,
∴点的坐标为;
如图,当,时,过作轴于点,
同理得:,
∵点,,
∴,,
∴,
∴点的坐标为;
如图,当,时,过作轴于点,过作交于点,
同理得:,
∴,,
∵点,,
∴,,
∴,即,,
∴,,
∴,,
∴点的坐标为;
综上可知:点的坐标为或或.
10.(1)
(2)
(3)点坐标为或或
【分析】本题考查了一次函数综合,一次函数点的坐标特征、等腰三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质,勾股定理等知识点,通过“一线三直角”模型构造全等三角形是解答本题的关键.
(1)解方程得到,,过点作轴于点,证明即可求解;
(2)过点作于,可得直线的表达式为,,,同理可得:,过点作轴于点,当点在射线上,由求解;当点在延长线上时,同理可求;
(3)是以为直角边的等腰直角三角形分为两种情况讨论:或,都通过“一线三直角”模型构造全等三角形,然后设出、两点的坐标,再根据全等三角形对应边相等建立方程求解出点的坐标即可.
【详解】(1)解: 为等腰直角三角形,,
,
如图,过点作轴于点,
,,
,
在和中,
,
,
,,
,
故点的坐标为;
(2)解:如图,过点作于,
设直线的表达式为:,
把代入可得,
解得:,
直线的表达式为,
,,
,
为等腰直角三角形,
,
,
如图,过点作轴于点,
①当点在射线上时,
,点的纵坐标为,
,
,
;
②当点在延长线上时,如图:
,点的纵坐标为,
,
,
;
综上:;
(3)解:设点的坐标为,点的坐标为,
以为直角边的是等腰直角三角形,分为两种情况:
①时,
如图.过点作轴的平行线交轴于点,交于点,
同(1)问可证得,
,,
,,
,
解得或,
当时,如图1,此时;
当时,如图2,此时,;
②当时,如图,过点、向轴分别作垂线,垂足为,,
同理可证得.
,,
,,,.
,
解得:或8,
当时,与重合,舍去,
当时,;
综上,点坐标为或或.
11.(1)6;4
(2)1;4;9
(3)
【分析】(1)根据题意,得,结合,计算得到,即可得出答案.
(2)根据题意,得,结合,计算得到,结合得到,继而得到运动时间为(秒),结合图像可确定a值,m的值;根据,判定点P运动在上,且速度为每秒2个单位,设运动了t秒,从而得到,计算可得到b.
(3)分三种情况:当时,点P在上,当时,点P在上,当时,点P在上,分别画出图形,根据三角形面积公式求出结果即可.
【详解】(1)解:根据题意,当点P在上时,三角形的面积保持不变,
且为,
∵,
∴,
根据长方形的性质可知:;
(2)解:根据题意,得,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴运动时间为(秒),
∴(秒),
∴(单位每秒);
根据图像,得,点P运动在上,且速度为每秒2个单位,设运动了t秒,
∴,
∴,
∴,
解得,
故.
(3)解:当时,点P在上,,
;
当时,点P在上,,
;
当时,点P在上,,
∴;
综上分析可知:.
【点睛】本题考查了运动问题,矩形的性质,图像信息综合题,正确读懂图像并获得信息是解题的关键.
12.(1)直线的函数解析式为
(2)点的坐标为或
(3)点的坐标为
【分析】(1)先求出的坐标,对称性求出点坐标,待定系数法求出的函数解析式即可;
(2)设,则、,过点作于点,利用,进行求解即可;
(3)方法一:作于点,利用等积法求得,再证明,利用相似三角形的性质求解即可.
方法二:作于点,利用等积法求得,过点作,延长交轴于,连接,如图所示,在中,由勾股定理求出,再利用等积法求得,在等腰中,设,则,即,建立方程解得,在中,由勾股定理求出,即可得到答案.
【详解】(1)解:对于,
由得,则,
由得,解得,则,
∵点与点关于轴对称,
∴,
设直线的函数解析式为,
则,解得.
∴直线的函数解析式为;
(2)解:设,
则、,
过点作于点,如图所示:
∴,,
∴,
解得,
∴点的坐标为或;
(3)解法一:∵,,
∴,,
∴,
作于点,如图所示:
∵是的角平分线,
∴,
∵,
即,
解得,
∵是的角平分线,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
∴,
∴点的坐标为.
解法二:∵,,
∴,,
∴,
作于点,如图所示:
∵是的角平分线,
∴,
∵,
即,
解得,
过点作,延长交轴于,连接,如图所示:
∵是的角平分线,
∴,
∵,
∴,
∴,,
,
,则,
,
在中,,,,则由勾股定理可得,
,
,解得,
在等腰中,设,则由勾股定理可知,
即,
,
解得,
在中,
.
∴点的坐标为.
【点睛】本题考查一次函数的综合应用,涉及相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理、等面积法求线段长等知识.正确引出辅助线解决问题是解题的关键.
13.(1)是
(2)或
(3)或或或
【分析】(1)根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得两个等腰三角形;
(2)设,①当,根据勾股定理列方程得:,解出x即可,②当时;可得;
(3)分情况进行讨论:先分是等腰三角形时,分三种情况讨论,当时可求出点;当时,可求出,当时,Q不在边上,舍去.再分是等腰三角形时,同理分三种情况讨论可出点Q的坐标为或;
【详解】(1)解:,O为中点,
在中,,
和是等腰三角形,
则直线是的等腰分割线;
故答案为:是.
(2)解: ①当时,,
设,
①当,
在中,,
,
解得:,
即:;
②时,;
即的长为或;
(3)解:,,,
,
,
,
,
①若为等腰三角形,
如图1,当时,,,
,
;
如图2,当时,Q为中点,,
,
,
当时,Q不在边上,舍去.
②若为等腰三角形.
如图3,当时,
,
;
如图4,当时,,
,
,
如图2,当时,Q为中点,,
此时;
综合以上可得点Q的坐标为或或或
故答案为:或或或
【点睛】本题是三角形的综合题,主要考查了等腰三角形的判定与性质,勾股定理,坐标与图形等知识,解决此类题目需要熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.解题的关键是正确理解题意,了解等腰分割线的意义.
14.(1)5
(2)
(3)或.
【分析】(1)先求出A、B的坐标,然后根据勾股定理求解即可;
(2)设,则,求出,根据四边形是平行四边形,可得出,求出x的值即可求解;
(3)分类讨论,当D在y轴的左侧和右侧,根据折叠的性质、等角对等边等可得出,构建方程求解即可.
【详解】(1)解∶对于,
当时,;
当时,,解得,
∴,,
∴,,
又,
∴,
故答案为:5;
(2)解:如图,
设,则,
∴,
∵四边形是平行四边形,
∴,
∴,
解得或(不符合题意,舍去),
∴的面积为;
(3)解:当D在轴左侧时,如图,
,
∵翻折,
∴,
∵轴,轴,
∴,
∴,
∴,
∴,
设,则,
∴,
解得或,
当时,;
当时,;
∴D的坐标为或;
当D在y轴的右侧,如图,
同理,
设,则,
∴,
解得或,均不符合题意,舍去,
综上,D的坐标为或.
【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征,折叠的性质,勾股定理,平行四边形的性质,等腰三角形的判定等知识,明确题意,合理分类讨论是解题的关键.
15.(1)①②;③;(答案不唯一,理由见解析)
(2)
【分析】本题考查等边三角形的性质,全等三角形的判定及性质,勾股定理,函数的图象,综合运用相关知识是解题的关键.
(1)当选择条件为②③,结论为①时,连接,先证明,证明得,由此得是等边三角形,再根据等边三角形的性质可得出结论;当选择条件为①③,结论为②时,连接,先证明,证明得,由此得是等边三角形,再根据等边三角形的性质可得出结论;当选择条件为①②,结论为③时,连接,证明是等边三角形得,,进而得,证明,再根据全等三角形的性质可得出结论;
(2)过点A作于点H,由图2的图象可得,根据等边三角形得到,,在中,根据勾股定理求得,进而在中,求得,从而由(1)可得.
【详解】(1)解:当选择条件为②③,结论为①时,
如图,连接,
∵是等边三角形,
∴,,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∵,
∴是等边三角形,
∴,
故命题正确;
当选择条件为①③,结论为②时,
如图,连接,
∵是等边三角形,
∴,,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
故命题正确;
当选择条件为①②,结论为③时,
如图,连接,
∵,,
∴是等边三角形,
∴,,
∵是等边三角形,
∴,,
∴,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
故命题正确;
故答案为:①②;③;(答案不唯一)
(2)解:过点A作于点H,
∴,
即,
由图2的图象可知当时,,
∴,
∴在等边中,,
∵,
∴,,
∴在中,
∵由(1)有,
∴
∴在中,,
∴由(1)可得.
16.(1)①见解析;②
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,勾股定理,熟练掌握以上知识是解题的关键;
(1)①根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质可得结论;
②证明,根据,即可求解;
(2)过点作,且,连接,证明,得出,设勾股定理求得,则,得出,进而根据,即可求解.
【详解】(1)①证明:,
,
,
,
,
,
.
②解:∵,,,
∴,
∵以为底,在的右侧作等腰直角,
∴,
∵
∴
∴
∴
∴,
又∵
∴
∴
(2)解:如图,过点作,且,连接,
∵,,
∴,
在中
∴,
∴,
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
在中,
∴
∴
∴
17.(1);
(2);
(3).
【分析】本题考查一次函数和几何的综合应用,涉及到求一次函数的解析式以及线段长度的最值问题以及菱形的存在性问题,熟练掌握求一次函数的解析式的方法以及轴对称的性质和菱形的性质是解题的关键.
(1)先得出,再利用三角函数得出即可用待定系数法求出直线的解析式;
(2)先利用,得出,然后过点作于点,交轴于点,利用含的直角三角形性质得出,进一步利用点到直线垂线段最短得出的最小值;
(3)分别以为对角线,利用邻边相等列方程进行求解即可.
【详解】(1)解:当时,,
∴,即,
∵,
∴,
∴,
设直线的解析式为:,
把分别代入解析式得:
,解得,
∴直线的解析式为:;
(2)解:当时,,解得,
,
,
,
在y轴负半轴上
过点作于点,交轴于点,
,
,
,
;
(3)解: 由题意设,,
①当为对角线时,,则,
,
化简得:,
解得:或;
当,即,,如图:
由菱形性质可知,
,,
;
当,即,,如图:
由菱形性质可知,
,,
;
②当为对角线时,,则,如图:
,
化简得:,解得:或(舍去),
,,
由菱形性质可知的横坐标,
;
③当为对角线时,,则,如图:
,
化简得:,解得:(舍去)或,
由菱形性质可知,
,,
.
综上.
18.(1),
(2)
(3)当或时,与全等
【分析】本题考查了一次函数的几何应用、全等三角形的性质,熟练掌握一次函数的性质是解题关键.
(1)分别求出当时,的值;当时,的值,由此即可得;
(2)先求出点的坐标,从而可得的长,再利用三角形的面积公式求解即可得;
(3)先判断出只能是,再根据全等三角形的性质可得,由此即可得.
【详解】(1)解:对于一次函数,
当时,,解得,
当时,,
则点的坐标为,点的坐标为.
(2)解:由(1)已得:点的坐标为,
∵动点从点出发以每秒1个单位的速度沿轴负方向移动,且点的移动时间为秒,
∴,
∴当时,,
∵,
∴,
∵轴轴,
∴的面积为,
所以关于的函数表达式为.
(3)解:由(2)已得:,
∴,
∵,,,轴轴,
∴,,,
∴与全等只有一种情况:,
∴,即,
解得或,
所以当或时,与全等.
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