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【精准提分】专题10 分式及其基本性质（浙教2024）
【11个基础题型+3个压轴题型】
【基础题型一】判断代数式是否为分式 1
【基础题型二】分式有（无）意义的条件 2
【基础题型三】分式的值为零的条件 3
【基础题型四】已知分式的值正（负）求参数的取值范围 4
【基础题型五】使分式的值为整数时未知数的值 4
【基础题型六】判断是否为最简分式 5
【基础题型七】判断分式的变形是否正确 6
【基础题型八】分式中未知数扩大或缩小后分式的值的变化 8
【基础题型九】将分式的分子分母的最高化为正数或系数化为整数 9
【基础题型十】通分和约分（计算题） 11
【基础题型十一】已知等式求代数式的值（包含设k法） 12
【压轴题型十二】分式类的规律性问题（选填压轴） 14
【压轴题型十三】分式中规律探索类问题（解答压轴） 16
【压轴题型十四】分式求值中解答题压轴 18
【基础题型一】判断代数式是否为分式
例题1（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在，π，，，，中，分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中：，，，，分式的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式1-2】（24-25八年级下·广东佛山·期中）代数式，，，中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（24-25七年级上·上海青浦·期末）在下列式子：，，，，中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-4】（24-25八年级上·山东东营·期末）在，，，，，中，分式的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-5】（24-25八年级下·重庆·期中）在式子，，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-6】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）在代数式，，，中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【基础题型二】分式有（无）意义的条件
例题2（24-25八年级下·山西临汾·期中）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（24-25八年级下·四川成都·期中）如果分式有意义，则x的范围是（ ）
A．一切实数 B． C． D．
【变式2-2】（24-25七年级上·上海·期末）要使分式有意义，则应满足（ ）
A． B． C． D．且
【变式2-3】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．，且 B．，且
C． D．
【变式2-4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）当 时，分式有意义．
【变式2-5】（24-25八年级下·山西临汾·期中）分式，当 时，分式有意义．
【变式2-6】（2025·山东济南·二模）要使分式有意义，则x的值可以是 （写出一个符合要求的x的值）．
【变式2-7】（24-25八年级下·全国·期中）当 时，分式有意义；当 时，分式的值为零．
【基础题型三】分式的值为零的条件
例题3（2025·云南楚雄·一模）若分式的值为，则的值为（ ）
A．7 B． C．7或 D．0
【变式3-1】（24-25八年级下·重庆·期中）若的值为0，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（24-25八年级下·重庆·期中）已知分式的值为，那么的值为（ ）
A．且 B．或 C． D．
【变式3-3】（24-25八年级上·山东淄博·期末）关于分式，下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式有意义 B．当时，分式的值为
C．当时，分式没有意义 D．当时，分式的值为
【变式3-4】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）若分式的值为，则的取值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-5】（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为，则 ．
【基础题型四】已知分式的值正（负）求参数的取值范围
例题4（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【变式4-1】（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（23-24八年级上·全国·期末）使分式的值为正数的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（24-25七年级上·上海浦东新·期末）分式的值为负数，求x的取值范围 ．
【变式4-4】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）已知分式的值为正数，则a的取值范围 ．
【变式4-5】（24-25八年级上·四川凉山·期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ．
【基础题型五】使分式的值为整数时未知数的值
例题5（24-25八年级下·陕西西安·期中）对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-2】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若取整数，则使分式的值为整数的值有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【变式5-3】（23-24八年级下·河南驻马店·期末）已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-4】（2024七年级下·浙江·期末）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（ ）
A． B． C． D．
【变式5-5】（2024七年级·全国·期末）若为整数，则整数可取的值有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【变式5-6】（2024九年级上·浙江宁波·期末）使得为整数的自然数的个数为 个．
【变式5-7】（24-25七年级上·上海·期中）已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值是 ．
【变式5-8】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）当正整数 时，分式的值也是正整数．
【基础题型六】判断是否为最简分式
例题6（24-25八年级下·全国·期中）下列各式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（24-25七年级上·上海虹口·期末）分式，，，，中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6-3】（24-25七年级上·上海·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-4】（24-25八年级下·全国·期中）分式中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6-5】（24-25七年级上·上海青浦·期末）下列各式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-6】（24-25八年级下·山西临汾·期中）下列代数式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-7】（23-24八年级下·广东佛山·期末）下列各分式中，最简分式是（　　）
A． B． C． D．
【变式6-8】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在分式，，，中，最简分式有 个
【变式6-9】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）下列分式中，最简分式的个数是 个．
【变式6-10】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）给出下列3个分式：①，②，③．其中的最简分式有 （填写出所有符合要求的分式的序号）
【基础题型七】判断分式的变形是否正确
例题7（24-25八年级上·云南临沧·期末）下列分式从左到右变形一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列等式中，从左向右的变形不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）下列分式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-4】（24-25八年级上·山东烟台·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-5】（24-25八年级上·北京东城·期末）下列分式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-6】（24-25八年级上·天津滨海新·期末）下列分式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式7-7】（24-25八年级上·天津和平·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-8】（24-25八年级上·天津河东·期末）下列等式中，不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-9】（24-25八年级上·北京·期中）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【基础题型八】分式中未知数扩大或缩小后分式的值的变化
例题8（24-25八年级上·北京昌平·期中）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的
C．缩小为原来的 D．不改变
【变式8-1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）把分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值（　 ）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．缩小为原来的
【变式8-2】（24-25八年级下·山东济南·期中）对于分式，当a，b都扩大到原来的2倍时，分式的值是（ ）．
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大6倍 D．扩大12倍
【变式8-3】（24-25八年级上·江西赣州·期末）分式中，x和y都扩大到原来的5倍，分式的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的
【变式8-4】（24-25八年级上·四川泸州·期末）若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．不能确定
【变式8-5】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）把分式中的x，y都扩大两倍，那么分式的值（ ）
A．扩大两倍 B．缩小两倍 C．不变 D．缩小三倍
【变式8-6】（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）将下列各式中x，y（，）的值均扩大2倍后，分式值一定不变的有（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-7】（23-24八年级下·广东佛山·期末）将x克蔗糖完全溶于y克水配置成蔗糖水，蔗糖水的浓度为，若x、y同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水浓度的值（ ）
A．不改变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
【基础题型九】将分式的分子分母的最高化为正数或系数化为整数
例题9（24-25八年级下·全国·期中）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号：
(1)；
(2)．
【变式9-1】（23-24八年级上·全国·期末）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数．
(1)；
(2)
(3)．
【变式9-2】（24-25八年级下·全国·期中）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数都化为整数：
(1)；
(2)．
【变式9-3】（2025七年级下·全国·期中）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数．
(1)；
(2)．
【变式9-4】（24-25八年级上·江西宜春·期中）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数．
(1)；
(2)．
【变式9-5】（23-24八年级下·全国·期末）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数．
(1)；
(2)．
【基础题型十】通分和约分（计算题）
例题10（24-25八年级下·全国·期中）通分：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式10-1】（2025七年级下·浙江·期中）用分式表示下列各式的商，并约分
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式10-2】（2025八年级下·全国·期中）约分：
(1)；
(2)．
【变式10-3】（24-25八年级下·全国·期中）通分：
(1)；
(2)．
【变式10-4】（24-25八年级下·全国·期中）约分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式10-5】（24-25八年级下·全国·期中）约分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式10-6】（24-25八年级下·全国·期中）约分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【基础题型十一】已知等式求代数式的值（包含设k法）
例题11（24-25八年级上·河北石家庄·期末）（1）已知，求分式的值；
（2）已知，求分式的值
【变式11-1】（23-24八年级上·全国·期末）已知，求分式的值．
【变式11-2】（24-25九年级上·全国·期末）已知求的值．
【变式11-3】（2025七年级下·全国·期中）已知，且满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
【变式11-4】（24-25九年级下·北京·期末）已知，求代数式的值．
【变式11-5】（2025八年级下·全国·期中）已知，求的值．
【变式11-6】（24-25八年级上·浙江温州·期末）已知都是非零实数，且，求证：．
【变式11-7】（24-25八年级上·山东泰安·期末）已知，求的值．
【变式11-8】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知，求的值．
【变式11-9】（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知，求的值．
【变式11-10】（23-24八年级上·全国·期末）已知，求分式的值．
【变式11-12】（23-24八年级上·全国·期末）已知，求的值．
【压轴题型十二】分式类的规律性问题（选填压轴）
例题12（24-25七年级下·广东茂名·期中）一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】（24-25八年级上·四川眉山·期末）对于正数，规定，例如．则（ ）
A．2022 B．2021 C． D．
【变式12-2】（23-24八年级上·山东东营·期中）已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A． B．3 C． D．
【变式12-3】（24-25八年级上·重庆江津·期末）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（ ）
①；
②若，则；
③若，则；
④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式12-4】（24-25八年级上·云南文山·期末）一组按规律排列的式子：，，，，…（，n为正整数），第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-5】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）设是实数，不大于的最大整数记作，如，令，则的值为（ ）
A．29 B．30 C．31 D．32
【变式12-6】（23-24八年级下·云南文山·期末）给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-7】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，…．第n次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（ ）
A．升 B．升 C．0升 D．升
【变式12-8】（24-25八年级上·全国·期末）对于正数x，规定，例如：，则的值为（　　）
A．2021 B．2020 C．2019.5 D．2020.5
【变式12-9】（24-25八年级下·四川成都·期中）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ．
【压轴题型十三】分式中规律探索类问题（解答压轴）
例题13（24-25八年级上·北京·期末）已知，，，，，，
当为大于的奇数时，；
当为大于的偶数时，；
(1)求；（用含的式子表示）
(2)_____；（用含的式子表示）
(3)计算．
【变式13-1】（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明．
【变式13-2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第4个等式：______；
(2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明；
(3)运用规律计算：．
【变式13-3】（2023·山东青岛·期末）阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题．
设n是正整数，
材料1：
．．．
问题：（1）用含n的代数式表示=___________________（写最简结果）
材料2：
=
问题：（2）用含n的代数式表示=_______（写最简结果）．
（3）当n无限增大时，接近于一个常数，这个常数是________．
【变式13-4】（23-24八年级上·广东江门·期末）观察下列式子：，，，……
(1)请你写出第五个式子：____________
(2)请你用字母n写出第n个式子____________，并加以证明。
(3)利用上面知识解决下列问题：
一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第n次倒出的水量是L的…按照这种倒水的方法，求倒n次倒出的总水量有多少L？
【变式13-4】（2023·安徽合肥·一模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【压轴题型十四】分式求值中解答题压轴
例题14（24-25八年级下·吉林长春·期中）阅读理解：
著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料1：已知，求分式的值．
解：，
，
．
解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法．
材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：．
解析：这种方法可以称为分离常数法．
根据材料，解答下面问题：
(1)已知，则分式的值为______，分式的值为______；
(2)若分式的值为整数，求整数b的值；
(3)已知，则分式的值为______．
【变式14-1】（24-25八年级下·河南周口·期中）阅读下列材料，并解答问题．
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：因为分母是，可设，
则．
对于任意的值上述等式都成立，解得
．
这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式．
(1)若将分式拆分成（为整数），则______，______．
(2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
(3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值．
【变式14-2】（2024八年级上·黑龙江·期末）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程．
已知，求的值．
解：由，知，
，即，
，
的值为．
【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题
已知，求的值；
【拓展延伸】已知，，，求的值．
【变式14-3】（23-24七年级下·浙江金华·期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：∵，∴4即
∴，∴
根据材料回答问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求x的值．
(3)若，，，，且，求的值．
【变式14-4】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，，，，这样的分式就是假分式；
再如：这样的分式就是真分式．
类似的，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式．
如：；，
再如：．
解决下列问题：
(1)分式是 分式填“真”或“假”；
(2)先将假分式化为带分式 ，再当的值为整数，求的整数值．写出过程
(3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值．
【变式14-5】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程：
已知，求的值.
解：由，知，，即.
，.
以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，，，求的值；
(2)已知，求的值．
【变式14-6】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，所以，即，
∴，
∴的值为的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）若使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·安徽六安·期末）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若正整数，满足，则的最大值为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
5．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）对下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·河南郑州·一模）已知为整式，若计算的结果为，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八年级上·全国·期末）若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）已知，则的值（ ）
A． B．2 C．1 D．3
9．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个．
10．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为 ．
11．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）已知实数满足并且，则 ．
12．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）已知，则代数式的值为 ．
13．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ．
14．（24-25八年级下·全国·期中）求下列分式的值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
15．（24-25八年级下·全国·期中）已知，求的值．
16．（2025八年级下·全国·期中）给定下列分式：，，，，…．
(1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？
(2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？
(3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式．
17．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是________（填写序号即可）；
(2)若a为整数，且为“和谐分式”，请写出a的值________；
(3)在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果________．
；；．
18．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：
，
，
则和都是“和谐分式”．
(1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）；
①；②；③；④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______．
(3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值．中小学教育资源及组卷应用平台
【精准提分】专题10 分式及其基本性质（浙教2024）
【11个基础题型+3个压轴题型】
【基础题型一】判断代数式是否为分式 1
【基础题型二】分式有（无）意义的条件 4
【基础题型三】分式的值为零的条件 6
【基础题型四】已知分式的值正（负）求参数的取值范围 8
【基础题型五】使分式的值为整数时未知数的值 11
【基础题型六】判断是否为最简分式 16
【基础题型七】判断分式的变形是否正确 20
【基础题型八】分式中未知数扩大或缩小后分式的值的变化 25
【基础题型九】将分式的分子分母的最高化为正数或系数化为整数 28
【基础题型十】通分和约分（计算题） 32
【基础题型十一】已知等式求代数式的值（包含设k法） 37
【压轴题型十二】分式类的规律性问题（选填压轴） 42
【压轴题型十三】分式中规律探索类问题（解答压轴） 50
【压轴题型十四】分式求值中解答题压轴 58
【基础题型一】判断代数式是否为分式
例题1（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在，π，，，，中，分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】解：在，π，，，，中，式子，，中都含有字母是分式，共有3个分式．
故选：B．
【变式1-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中：，，，，分式的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了分式的定义，观察分母，看是否有字母，有字母则是分式，没有字母则不是分式，熟练掌握分式的定义是解此题的关键．
【详解】解：和是分式，共2个，
故选：D．
【变式1-2】（24-25八年级下·广东佛山·期中）代数式，，，中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的识别，若为两个整式，且中含有字母，那么就叫做分式，据此求解即可．
【详解】解：代数式，，，中，分式有，，共2个，
故选：B．
【变式1-3】（24-25七年级上·上海青浦·期末）在下列式子：，，，，中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：，的分母中含有字母，属于分式，其它的属于整式．
故选：B．
【变式1-4】（24-25八年级上·山东东营·期末）在，，，，，中，分式的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．
【详解】解：在所列代数式中，分式有，，，，共4个．
故选：D．
【变式1-5】（24-25八年级下·重庆·期中）在式子，，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式A、B，且B中含有字母，则形如的式子叫做分式，据此逐一判断即可．
【详解】解：在式子，，，，，，中，分式为、、，共3个，
故选：A．
【变式1-6】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）在代数式，，，中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题考查分式的定义：形如的式子，其中A，B是整式，且B中含有字母，这样的式子是分式，根据定义解答即可．
【详解】解：在代数式，，，中，分式有，，共3个，
故选：C
【基础题型二】分式有（无）意义的条件
例题2（24-25八年级下·山西临汾·期中）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由分式的分母不能为0得：，
解得，
故选：B．
【变式2-1】（24-25八年级下·四川成都·期中）如果分式有意义，则x的范围是（ ）
A．一切实数 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．
【详解】解：由分式有意义，得，
解得，
故选：B．
【变式2-2】（24-25七年级上·上海·期末）要使分式有意义，则应满足（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，据此判断即可， 当分母不为0时，分式有意义．
【详解】解：由题意可得，
且，
且．
故选：D．
【变式2-3】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．，且 B．，且
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查分式有意义的条件，根据分母不等于零，列出不等式，即可得出答案．根据题意列出不等式是解题的关键．
【详解】解：，
解得：．
故选：D．
【变式2-4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）当 时，分式有意义．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不为0，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵有意义．
∴，
解得，
故答案为：
【变式2-5】（24-25八年级下·山西临汾·期中）分式，当 时，分式有意义．
【答案】不等于1或
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义，则分母不为0，是解题的关键．
根据分式有意义的条件，分母不为0，得到，即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故答案为：不等于1或．
【变式2-6】（2025·山东济南·二模）要使分式有意义，则x的值可以是 （写出一个符合要求的x的值）．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查了分式有意义的条件，代数式求值，理解分式有意义的条件是解答关键．
根据分式有意义的条件求出的取值范围，再取值范围内选一个的值代入进行计算求解．
【详解】解：要使分式有意义，
则，
，
当时，．
故答案为：1（答案不唯一）．
【变式2-7】（24-25八年级下·全国·期中）当 时，分式有意义；当 时，分式的值为零．
【答案】
【分析】本题主要考查分式有意义的条件，分式的值为零的计算，理解以上知识，正确列式求解是关键．
分式有意义是指分式的分母不为零，分式的值为零是指分式的分子为零，分母不为零，由此列式求解即可．
【详解】解：分式有意义，则，
解得，，
分式的值为零，则，且，
解得，，
故答案为：①；②．
【基础题型三】分式的值为零的条件
例题3（2025·云南楚雄·一模）若分式的值为，则的值为（ ）
A．7 B． C．7或 D．0
【答案】B
【详解】解：分式的值为，
∴，且，
解得，，且，
∴，
故选：B ．
【变式3-1】（24-25八年级下·重庆·期中）若的值为0，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求出x的值即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：A．
【变式3-2】（24-25八年级下·重庆·期中）已知分式的值为，那么的值为（ ）
A．且 B．或 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的值为的条件，根据分式的值为，分子的值为且分母的值不等于解答即可求解，掌握分式的值为 的条件是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值为，
∴且，
∴，
故选：．
【变式3-3】（24-25八年级上·山东淄博·期末）关于分式，下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式有意义 B．当时，分式的值为
C．当时，分式没有意义 D．当时，分式的值为
【答案】B
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为的条件，根据分式有意义，分母的值不等于，分式的值为，分子的值为，分母的值不等于，据此逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：、当时，，分式有意义，该选项说法正确，不合题意；
、当时，，有可能等于，故分式可能无意义，该选项说法错误，符合题意；
、 当时，，分式没有意义，该选项说法正确，不合题意；
、当时，，，分式的值为，该选项说法正确，不合题意；
故选：．
【变式3-4】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）若分式的值为，则的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的值为的条件．根据分式的值为的条件，可得进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：且，
∴；
故选：C．
【变式3-5】（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件，熟练掌握“分式的值为零，必须同时具备两个条件，即分子为零，分母不为零”是解题关键．
根据题意，由分式的值为零的条件即可求出的值．
【详解】解：根据题意，得：，
，
解得：或，
，
且，
．
故答案为：．
【基础题型四】已知分式的值正（负）求参数的取值范围
例题4（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】C
【详解】解：∵分式的值为正数，
∴分子分母同正或同负，
∴或
解得或，
故选：C
【变式4-1】（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可．
【详解】解：∵分式的值为负数，而分母，
∴，
解得．
故选：D．
【变式4-2】（23-24八年级上·全国·期末）使分式的值为正数的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，进而即可求解．
【详解】解：∵分式的值为正数
∴，
∴，
故选：D．
【变式4-3】（24-25七年级上·上海浦东新·期末）分式的值为负数，求x的取值范围 ．
【答案】且
【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向．
根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式．
【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0，
∴，
∴
∴
∵分式的值为负数，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
【变式4-4】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）已知分式的值为正数，则a的取值范围 ．
【答案】且
【分析】根据分式的值为正数，那么分子与分母的符号相同，结合分子大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为正数，，
∴，
∴且，
故答案为：且．
【变式4-5】（24-25八年级上·四川凉山·期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】由分式的值为正数，得到，，即可得到x的取值范围．
【详解】解：∵分式的值为正数，
∴，，
解得且，
即x的取值范围是且．
故答案为：且
【基础题型五】使分式的值为整数时未知数的值
例题5（24-25八年级下·陕西西安·期中）对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
分式的值是一个整数，
是整数，
或或，
、、、、、，
又为正整数，
或，
可能取值的个数是.
故选：B．
【变式5-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考．
先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解．
【详解】解：，
∵的值为整数，为整数，
∴为整数，
∴或，
∴或2或5或1，
故选：D．
【变式5-2】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若取整数，则使分式的值为整数的值有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，分离假分式是解题的关键．先将假分式分离可得出，根据题意可知是6的整数约数，求解即可获得答案．
【详解】解：，
由题意可知，是6的整数约数，
∴，，，，1，2，3，6，
解得，，，0，1，，2，，
其中的值为整数为，0，1，2，共4个．
故选：B．
【变式5-3】（23-24八年级下·河南驻马店·期末）已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了分式的加减，先根据分式的加减运算法则将原式化简为，结合题意得出或或，求解即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
∵为整数，且为正整数，
∴或或，
解得：或或，
∴则满足条件的的值有个，
故选：C．
【变式5-4】（2024七年级下·浙江·期末）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解．
【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数，
必为正整数．
为的正因数，可能为，，，，
为非负整数，
可能为，，．
又为正整数，
或或均符合题意，共种可能．
故选：A．
【变式5-5】（2024七年级·全国·期末）若为整数，则整数可取的值有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【答案】C
【分析】本题考查了分式为整数时求未知数的整数值，熟练掌握整数的性质，找到使分式为整数时的所有可能情况，是解答本题的关键．
根据题意，得到可取的值有：，，，，共八种情况，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：，为整数，
可取的值有：，，，，共八种情况，
整数可取的值有个，
故选：．
【变式5-6】（2024九年级上·浙江宁波·期末）使得为整数的自然数的个数为 个．
【答案】6
【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可．
【详解】解：
，
∵分式的值为整数且x为自然数，
∴或2或3或4或6或12，
∴或1或2或3或5或11，
共6个，
故答案为：6．
【变式5-7】（24-25七年级上·上海·期中）已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值是 ．
【答案】1或3或5
【分析】本题考查了分式的值，先化简得到原式，再根据为整数，从而得到x的值．
【详解】解：∵，
∴为，时，的值为整数，
∴解得或3或5或，
∵，
∴，，
∴x可取的值是1，3，5．
故答案为：1或3或5．
【变式5-8】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）当正整数 时，分式的值也是正整数．
【答案】2或8
【分析】本题考查了分式的值，因式分解，将分式变形为，其值为正整数，由此求得或2或8，再代入验证即可求解．
【详解】解：
，
∵分式的值是正整数，
∴或，
解得：或2或或8，
∵为正整数，
∴或2或8，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
综上，当或8时，分式的值也是正整数．
故答案为：2或8．
【基础题型六】判断是否为最简分式
例题6（24-25八年级下·全国·期中）下列各式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A. 是最简公式，故此选项符合题意；
B. 还有公因式，故此选项不符合题意；
C. 还有公因式，故此选项不符合题意；
D. 还有公因式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式6-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式”，逐个进行判断即可．本题考查了最简分式，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：A、，选项不是最简分式，故不符合题意；
B、是最简分式，故符合题意；
C、，选项不是最简分式，故不符合题意；
D、，选项不是最简分式，故不符合题意．
故选：B．
【变式6-2】（24-25七年级上·上海虹口·期末）分式，，，，中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了分式的性质，约分的计算，掌握分式的性质是关键．
如果一个分式中没有可约的因式，则为最简分式，结合分式的性质即可求解．
【详解】解：是最简分式，
，原分式不是最简分式，
是最简分式，
是最简分式，
∴最简分式的有3个，
故选：C ．
【变式6-3】（24-25七年级上·上海·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解及最简分式的判断，掌握因式分解的方法以及最简分式的判断依据是解题的关键，把每个分式分子分母分解因式，再根据最简分式的定义“分子分母中不含有公因式，不能再约分”，进行判断即可．
【详解】解：A. ，能约分，不是最简分式；
B. ，能约分，不是最简分式；
C. ，能约分，不是最简分式；
D. ，不能约分，是最简分式；
故选：D．
【变式6-4】（24-25八年级下·全国·期中）分式中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握等式的性质是解题的关键．
直接利用分式的性质性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案．
【详解】解：∵，∴不是最简分式；
∵，∴是最简分式；
∵，∴不是最简分式；
∵，∴不是最简分式．
∴最简分式有1个．
故选：Ａ．
【变式6-5】（24-25七年级上·上海青浦·期末）下列各式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简分式的判断，分式的分子分母中再没有公因式，则是最简分式，据此判断即可．
【详解】解：，，，
只有不能约分，它是最简分式；
故选：A．
【变式6-6】（24-25八年级下·山西临汾·期中）下列代数式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了最简分式．直接利用最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式，进而分析得出答案．
【详解】解：A、，则不是最简分式，故此选项不合题意；
B、，则不是最简分式，故此选项不合题意；
C、是最简分式，故此选项符合题意；
D、，则不是最简分式，故此选项不合题意．
故选：C．
【变式6-7】（23-24八年级下·广东佛山·期末）下列各分式中，最简分式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查最简分式定义，化简分式，掌握方法将分式的化简是解题的关键．分式的分子和分母没有公因式的分式即为最简分式，根据定义解答．
【详解】解：A．，故A不符合题意；
B． 为最简分式，故B符合题意；
C．，故C不符合题意；
D．，故D不符合题意．
故选：B．
【变式6-8】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在分式，，，中，最简分式有 个
【答案】2
【分析】本题考查最简最简分式，最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答．
【详解】解：，故不是最简分式；
，故不是最简分式；
，不能继续化简，是最简分式．
∴最简分式有2个．
故答案为：2．
【变式6-9】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）下列分式中，最简分式的个数是 个．
【答案】1
【分析】本题考查了最简分式的定义；
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，据此判断即可．
【详解】解：，，，，均不是最简分式；
是最简分式，最简分式的个数是1，
故答案为：1．
【变式6-10】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）给出下列3个分式：①，②，③．其中的最简分式有 （填写出所有符合要求的分式的序号）
【答案】①②/②①
【分析】根据最简分式的定义即可求出答案．
【详解】解：∵ ，∴③不是最简分式，
∴其中的最简分式有：①，②．
故答案为：①②．
【基础题型七】判断分式的变形是否正确
例题7（24-25八年级上·云南临沧·期末）下列分式从左到右变形一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A. ，原式错误；
B. ，原式正确；
C. ，原式错误；
D. ，原式错误；
故选：B．
【变式7-1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列等式中，从左向右的变形不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，
根据判断A；再根据可判断B；然后根据，再约分可判断C；最后根据判断D．
【详解】解：因为，所以A正确；
因为，所以B正确；
因为，所以C正确；
因为，不能化简，所以D不正确．
故选：D．
【变式7-2】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）下列分式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变逐项判断即可．
【详解】解：A．，故原变形错误；
B．当b不为0时， ，故原变形错误；
C．，故原变形正确；
D．，故原变形错误；
故选：C．
【变式7-3】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项判断即可求解．
【详解】解：A、等号右边分子分母同时乘以，得左边，故A错误，不合题意；
B、分式的分子分母同时加一个非零的数，得到的分式值与原分式不一定相等，故B错误，不合题意；
C、，故C错误，不合题意；
D、分子分母同时乘以，即，故D正确，符合题意．
故选：D
【变式7-4】（24-25八年级上·山东烟台·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题关键．分式的基本性质：分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变． 据此即可求解．
【详解】解：A．分子、分母同时减，不符合分式的性质，故A错误，不符合题意；
B．，故B错误，不符合题意；
C．分子乘了，分母乘了，不符合分式的性质，故C错误，不符合题意；
D．分子、分母同时乘了一个不为零的数，分式的值不变，故D正确，符合题意．
故选：D．
【变式7-5】（24-25八年级上·北京东城·期末）下列分式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可．
本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
【详解】解：，则A不符合题意；
无法进行约分，则B不符合题意；
，则C不符合题意；
，则D符合题意；
故选：D．
【变式7-6】（24-25八年级上·天津滨海新·期末）下列分式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
利用分式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：，则A不符合题意；
，则B不符合题意；
无法约分，则C不符合题意；
，则D符合题意；
故选：D．
【变式7-7】（24-25八年级上·天津和平·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】杠题主要考查分式的运算，分别根据分式的运算法则进行判断即可．
【详解】解：A．，故选项A计算错误，不符合题意；
B．，故选项B计算错误，不符合题意；
C．，故选项C计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意；
故选：D．
【变式7-8】（24-25八年级上·天津河东·期末）下列等式中，不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的基本性质，分式的运算，根据分式的基本性质和分式的运算逐一即可求出答案，解题的关键是熟练运用分式的基本性质和掌握分式运算法则．
【详解】解：、，原选项成立，不符合题意；
、，原选项成立，不符合题意；
、，原选项不成立，符合题意；
、，原选项成立，不符合题意；
故选：．
【变式7-9】（24-25八年级上·北京·期中）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了利用分式的基本性质对分式进行变形，解题关键是熟练掌握分式的基本性质．根据分式的基本性质进行变形，再进行判断即可．
【详解】A．，故A错误，不符合题意；
B．，故B正确，符合题意；
C．，故C错误，不符合题意；
D．，故D错误，不符合题意．
故选：B．
【基础题型八】分式中未知数扩大或缩小后分式的值的变化
例题8（24-25八年级上·北京昌平·期中）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的
C．缩小为原来的 D．不改变
【答案】D
【详解】解：将分式中的x，y都扩大10倍，得
∴分式中的x，y都扩大10倍，则这个分式的值不变，
故选：D．
【变式8-1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）把分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值（　 ）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．缩小为原来的
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想．把原分式中的、换成、，进行计算，再与原分式比较即可．
【详解】解：把原分式中的、换成、，则
，
所以缩小为原来的
故选：B．
【变式8-2】（24-25八年级下·山东济南·期中）对于分式，当a，b都扩大到原来的2倍时，分式的值是（ ）．
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大6倍 D．扩大12倍
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时扩大或者缩小相同的倍数，分式的值不变．
把、替换原来的、，然后进行分式的化简计算，从而与原式进行比较得出结论．
【详解】解：把、替换原来的、可得，
由此可知分式的值扩大2倍，
故选：B．
【变式8-3】（24-25八年级上·江西赣州·期末）分式中，x和y都扩大到原来的5倍，分式的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的
【答案】D
【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，把握分子与分母的代数式的次数，分子与分母同次，不变，分子次数比分母次数高变大，分子的次数比分母点，变小是解题的关键．
根据分式的基本性质可把，都扩大到原来的2倍代入原式得进行求解．
【详解】解：把，都扩大到原来的5倍代入原式得，
∴分式的值缩小到原来的．
故选：D．
【变式8-4】（24-25八年级上·四川泸州·期末）若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，
将x，y分别扩大2倍，再约分可得答案．
【详解】解：根据题意，得，
所以分式的值扩大为原来的2倍．
故选：B．
【变式8-5】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）把分式中的x，y都扩大两倍，那么分式的值（ ）
A．扩大两倍 B．缩小两倍 C．不变 D．缩小三倍
【答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】解：∵，
∴把分式中的都扩大两倍，那么分式的值不变，
故选：C．
【变式8-6】（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）将下列各式中x，y（，）的值均扩大2倍后，分式值一定不变的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项判定求解．
【详解】解：∵分式中x，y（，）的值都扩大为原来的2倍，
A、，分式值变为原来的，故本选项不符合题意；
B、，分式值改变了，故本选项不符合题意；
C、，分式值没有改变，本选项符合题意；
D、，分式值改变了，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式8-7】（23-24八年级下·广东佛山·期末）将x克蔗糖完全溶于y克水配置成蔗糖水，蔗糖水的浓度为，若x、y同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水浓度的值（ ）
A．不改变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式的性质，先根据题意将原式变为，再约分得出答案．
【详解】根据题意，得，
所以浓度不变．
故选：A．
【基础题型九】将分式的分子分母的最高化为正数或系数化为整数
例题9（24-25八年级下·全国·期中）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【变式9-1】（23-24八年级上·全国·期末）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数．
(1)；
(2)
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（2）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（3）利用分式的基本性质解答，即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【变式9-2】（24-25八年级下·全国·期中）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数都化为整数：
(1)；
(2)．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
（1）分子与分母同乘以10即可得；
（2）分子与分母同乘以12即可得．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式9-3】（2025七年级下·全国·期中）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数．
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
（1）将分式的分子分母同乘以即可得；
（2）将分式的分子分母同乘以即可得．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式9-4】（24-25八年级上·江西宜春·期中）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数．
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键．
（1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可；
（2）分子、分母的最小公倍数都为6，分式的分子分母都乘6即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式9-5】（23-24八年级下·全国·期末）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数．
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键；
（1）根据分式的基本性质变形即可；
（2）根据分式的基本性质变形即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【基础题型十】通分和约分（计算题）
例题10（24-25八年级下·全国·期中）通分：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)， (2)， (3)，，
【详解】（1）∵，的最简公分母是，
∴；
（2）∵ ，的最简公分母是，
∴；
（3）∵的最简公分母是，
∴．
【变式10-1】（2025七年级下·浙江·期中）用分式表示下列各式的商，并约分
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)(2)(3)4)
【分析】本题考查了分式的约分，解题的关键是找出公因式而约去．
（1）写成分式的形式，再约分即可；
（2）写成分式的形式，再约分即可；
（3）写成分式的形式，再对分子、分母因式分解，约分即可；
（4）写成分式的形式，再对分子、分母因式分解，约分即可；
【详解】（1）解∶原式
；
（2）解∶
；
（3）解∶ 原式
；
（4）解∶原式
．
【变式10-2】（2025八年级下·全国·期中）约分：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】此题考查了分式的约分，根据分式的基本性质进行约分即可．
（1）找到分子和分母的最大公因式，利用分式的基本性质约分即可；
（2）把分母和分子因式分解，找到分子和分母的最大公因式，利用分式的基本性质约分即可；
【详解】（1）解：；
（2）．
【变式10-3】（24-25八年级下·全国·期中）通分：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质．
（1）根据通分的定义把分式变形即可；
（2）根据通分的定义把分式变形即可．
【详解】（1）解：，，；
（2）解：，，．
【变式10-4】（24-25八年级下·全国·期中）约分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查分式化简，涉及因式分解、约分等知识，熟练掌握分式运算法则是解决问题的关键．
（1）直接约分即可得到答案；
（2）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案；
（3）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案；
（4）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【变式10-5】（24-25八年级下·全国·期中）约分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题主要考查了分式的约分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键．
（1）分子分母同时约去公因式即可得到答案；
（2）分子分母同时约去公因式即可得到答案；
（3）先提取公因式，再约分即可得到答案；
（4）先提取公因式，再约分即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式10-6】（24-25八年级下·全国·期中）约分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)4)
【分析】本题主要考查了约分，正确将原式分解因式找出公因式是解题关键．
（1）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案；
（2）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案；
（3）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案；
（4）首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【基础题型十一】已知等式求代数式的值（包含设k法）
例题11（24-25八年级上·河北石家庄·期末）（1）已知，求分式的值；
（2）已知，求分式的值
【答案】（1）；（2）7
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
【变式11-1】（23-24八年级上·全国·期末）已知，求分式的值．
【答案】
【分析】本题考查了求分式的值，转化所求问题后将已知条件整体代入，正确的化简和已知条件转化是解答此题的关键．由已知可得，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．
【详解】解：，
，
，
．
【变式11-2】（24-25九年级上·全国·期末）已知求的值．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点，利用设k法是解题的关键．
设，代入化简计算即可．
【详解】解：∵
设，
则
【变式11-3】（2025七年级下·全国·期中）已知，且满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)17(2)7
【分析】本题考查代数式求值，分式的求值：
（1）根据，得到，整体代入法进行求解即可；
（2）等式两边同时除以，得到，利用完全平方公式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴
；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式11-4】（24-25九年级下·北京·期末）已知，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，将分式进行约分化简后，整体代入法求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
【变式11-5】（2025八年级下·全国·期中）已知，求的值．
【答案】1
【分析】本题考查了求分式的值，掌握整体代入法是解题的关键．将代入求解即可．
【详解】解：，
．
【变式11-6】（24-25八年级上·浙江温州·期末）已知都是非零实数，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查完全平方公式，分式的等式证明，难度不算大，关键是根据题意得出，利用非负性进行解答．
由题意得，然后利用配方及完全平方的非负性即可得出答案．
【详解】证明：由题意得．
∴．
．
．
【变式11-7】（24-25八年级上·山东泰安·期末）已知，求的值．
【答案】
【分析】题目主要考查分式的化简求值，根据题意得出是解题关键．
根据题意得出，然后利用完全平方公式代入求解即可．
【详解】解：将两边同时除以x，得，
∴
．
【变式11-8】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知，求的值．
【答案】0或
【分析】本题考查了求分式的值，二次二次方程的解法，先求出或，分两种情况，分别代入进行计算即可得出答案，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：，
，
或，
或，
当时，，
当时，，
综上所述，的值为0或．
【变式11-9】（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了分式的运用，比例的性质，熟练掌握比例的性质，分式的化简求值是解题的关键．根据比例的性质，设，进而得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：设，则，
∴．
【变式11-10】（23-24八年级上·全国·期末）已知，求分式的值．
【答案】
【分析】本题考查了求分式的值，设，则，，，代入原式进行计算即可；或由题意得出，．将，代入，进行计算即可得出答案，熟练掌握运算法则，准确进行计算是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
设，则，，，
∴原式；
另解：∵，
∴，．
将，代入，
得
．
【变式11-12】（23-24八年级上·全国·期末）已知，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查的是求分式的值，先设，则，，，然后再代入所求代数式进行计算即可．
【详解】解：设，则，，，
∴．
【压轴题型十二】分式类的规律性问题（选填压轴）
例题12（24-25七年级下·广东茂名·期中）一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设第1个数为x，第3个数为y，第5个数为z，
由题意，得：，
∴，
∴这组数据为，……，
即这组数以，6个为一组，进行循环，
∵，
∴第2024个数是；第2027个数是，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式12-1】（24-25八年级上·四川眉山·期末）对于正数，规定，例如．则（ ）
A．2022 B．2021 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查以实数运算为背景的新定义题型．确定是解题关键．
根据可得，故，据此即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
∴原式
．
故选：C．
【变式12-2】（23-24八年级上·山东东营·期中）已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数字规律的探索，分别求前几个数，得到以三个数为一组，不断循环，然后运用规律求解即可，通过计算找到规律是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，，
发现规律：以三个数为一组，不断循环，
，
．
故选：D．
【变式12-3】（24-25八年级上·重庆江津·期末）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（ ）
①；
②若，则；
③若，则；
④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了数学式子的规律，分式的整数解，因式分解，约分，分式的化简求值，熟练掌握规律的发现，分式的化简求值，求分式的整数解是解题的关键．根据，，得到，，，，，，发现是6个数为一个周期，循环出现，依次规律，计算解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴发现是6个数为一个周期，循环出现，
∵，
∴,
故①错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③错误；
∵，，
∴，，
∴，
∵的值为整数，
∴，，，，
∴满足条件的整数共有8个．
故④错误，
故选：A．
【变式12-4】（24-25八年级上·云南文山·期末）一组按规律排列的式子：，，，，…（，n为正整数），第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了探索规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变化得出规律是解题的关键．根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母的变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变化规律得出分数符号的变化规律，即可得到该组式子的变化规律．
【详解】解：分子为，其指数为2，5，8，11，…其规律为，
分母为，其指数为1，2，3，4，…其规律为，
分数符号为，，，，，其规律为，
所以第个式子．
故选：C．
【变式12-5】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）设是实数，不大于的最大整数记作，如，令，则的值为（ ）
A．29 B．30 C．31 D．32
【答案】A
【分析】本题考查了实数的运算，数字规律的探究．先找到规律，利用裂项相消法求得，再计算得到，据此求解即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴，
故选：A．
【变式12-6】（23-24八年级下·云南文山·期末）给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．分别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案．
【详解】解：第一个分式为：，
第二个分式为：，
第三个分式为：，
第四个分式为：，
第五个分式为：，
，
按此规律，那么这列分式中的第n个分式为，
故选：C．
【变式12-7】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，…．第n次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（ ）
A．升 B．升 C．0升 D．升
【答案】A
【分析】考查了规律型：数字的变化，此题属于规律性题目，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律，按照此规律再进行计算即可．注意．根据题目中第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的…，第n次倒出的水量是升的…，可知按照这种倒水的方法，第n次倒出水后，还剩下水升水．
【详解】解：∵
．
故按此按照这种倒水的方法，这1升水经n次后还有升水．
故选：A．
【变式12-8】（24-25八年级上·全国·期末）对于正数x，规定，例如：，则的值为（　　）
A．2021 B．2020 C．2019.5 D．2020.5
【答案】C
【分析】根据已知规定，可得；进而可以解决问题．
【详解】∵，，
∴；
∵，，
∴；
，
∴；
则
．
故选：C．
【变式12-9】（24-25八年级下·四川成都·期中）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了伴随分式的定义，规律问题，读懂题意得到规律是解题的关键．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定．
【详解】解：根据题意，
，
，
，
，
，
，
，……，
即每4个为一循环，
，
，
故答案为：．
【压轴题型十三】分式中规律探索类问题（解答压轴）
例题13（24-25八年级上·北京·期末）已知，，，，，，
当为大于的奇数时，；
当为大于的偶数时，；
(1)求；（用含的式子表示）
(2)_____；（用含的式子表示）
(3)计算．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
每个一循环，
，
，
故答案为：；
（3）
，
．
【变式13-1】（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)(2)，证明见解析
【详解】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：，
即；
故答案为：；
（2）解：第n个等式： ；
．
【变式13-2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第4个等式：______；
(2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明；
(3)运用规律计算：．
【答案】(1)(2)；证明见解析(3)
【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键．
（1）观察题中的式子求解即可；
（2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解；
（3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可．
【详解】（1）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：；
（2）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
第n个等式：；
左边，
右边
，
∴左边右边；
（3）解：
．
【变式13-3】（2023·山东青岛·期末）阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题．
设n是正整数，
材料1：
．．．
问题：（1）用含n的代数式表示=___________________（写最简结果）
材料2：
=
问题：（2）用含n的代数式表示=_______（写最简结果）．
（3）当n无限增大时，接近于一个常数，这个常数是________．
【答案】（1）；（2）；（3）2．
【分析】本题考查了代数式的运算过程中的规律问题，
（1）根据表达式中分母上两个乘数和前面的下标数之间的关系，可得出的表达式．
（2）根据所给示例，找出规律（括号中的数，消完后，就只剩下首和尾），进而得出结果．
（3）对（2）中求出的代数式，进行变形处理，便可得出这个常数．
【详解】解：（1）由题知，．
即．
故答案为：；
（2）由题知，
．
故答案为：；
（3）由（2）知：，
将变形得：．
则当无限大时，无限接近于0．
所以无限接近于2，即这个常数是2．
【变式13-4】（23-24八年级上·广东江门·期末）观察下列式子：，，，……
(1)请你写出第五个式子：____________
(2)请你用字母n写出第n个式子____________，并加以证明。
(3)利用上面知识解决下列问题：
一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第n次倒出的水量是L的…按照这种倒水的方法，求倒n次倒出的总水量有多少L？
【答案】(1)(2)，证明见解析(3)
【分析】（1）观察各等式，根据每个等式中的分数的分子都是1，分母分别是序号数、序号数加1，求解即可；
（2）根据探究出的式子存在的规律写出第n个等式并证明，即可；
（3）先列出式子，再根据材料中的运算规律，直接计算和化简．
本题主要考查了数字变化规律的问题，观察、分析、归纳并发现分母与序号的关系的规律，熟练掌握发现的规律，列出代数式，裂项求和，是解决本题的关键．
【详解】（1）∵第一个式子是，，
第二个式子是，，
第三个式子是，，
∴第四个式子是， ，
第五个式子是，；
故答案为：
（2）由（1）中归纳的规律知，第n个式子是，
，
证明：
∵左边，
右边
∴左边=右边，
∴原式成立；
故答案为：；
（3）
（L）．
故倒n次倒出的总水量有L．
【变式13-4】（2023·安徽合肥·一模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)第个等式：；证明见解析
【分析】（1）根据题意推导即可；
（2）根据题意推导出一般性规律即可．
【详解】（1）解：由题意知，第6个等式：，
故答案为：；
（2）解：第个等式：；证明如下：
第1个等式：，即，
第2个等式：，即，
第3个等式：，即，
第4个等式：，即，
第5个等式：，即
……
∴可推导一般性规律为：第个等式：，
∵，
∴第个等式：．
【压轴题型十四】分式求值中解答题压轴
例题14（24-25八年级下·吉林长春·期中）阅读理解：
著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料1：已知，求分式的值．
解：，
，
．
解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法．
材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：．
解析：这种方法可以称为分离常数法．
根据材料，解答下面问题：
(1)已知，则分式的值为______，分式的值为______；
(2)若分式的值为整数，求整数b的值；
(3)已知，则分式的值为______．
【答案】(1)，(2)或(3)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
∴
，
∴；
（2）解：
，
∵分式的值为整数，
∴为整数，即为整数，
又∵
∴或，
∴或；
（3）解：∵
∴
，
∴．
【变式14-1】（24-25八年级下·河南周口·期中）阅读下列材料，并解答问题．
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：因为分母是，可设，
则．
对于任意的值上述等式都成立，解得
．
这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式．
(1)若将分式拆分成（为整数），则______，______．
(2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
(3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值．
【答案】(1)3；4(2)(3)3或
【分析】本题考查分式的化简求值；
（1）根据求解即可；
（2）参考材料中的过程求解即可；
（3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可．
【详解】（1）∵，
∴若将分式拆分成（为整数），则，，
故答案为：3；4．
（2）解：因为分母是，可设，
则．
对于任意的值上述等式都成立，
，
解得，
．
（3）解：因为分母是，可设，
则．
对于任意的值上述等式都成立，
，
解得，
．
∵分式的值为负整数，
∴是整数，
∴或，
当时，，，不合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，不合题意；
当时，，，符合题意；
综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或．
【变式14-2】（2024八年级上·黑龙江·期末）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程．
已知，求的值．
解：由，知，
，即，
，
的值为．
【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题
已知，求的值；
【拓展延伸】已知，，，求的值．
【答案】类比探究：；拓展延伸：
【分析】本题考查了求分式的值，采用倒数法是解此题的关键．
类比探究：由题意可得，从而得出，即，再求出，即可得解；
拓展延伸：由题意可得，且，从而得出．再由倒数法求解即可．
【详解】解：类比探究：由，知，
，即，
，
，
．
拓展延伸：∵，，，
，且，
．
，
．
【变式14-3】（23-24七年级下·浙江金华·期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：∵，∴4即
∴，∴
根据材料回答问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求x的值．
(3)若，，，，且，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，灵活的运用倒数法是解本题的关键．
（1）由，可得，从而可得答案；
（2）由，可得，再进一步可得答案；
（3）由条件结合题干信息可得，，再代入，可得，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
代入，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
【变式14-4】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，，，，这样的分式就是假分式；
再如：这样的分式就是真分式．
类似的，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式．
如：；，
再如：．
解决下列问题：
(1)分式是 分式填“真”或“假”；
(2)先将假分式化为带分式 ，再当的值为整数，求的整数值．写出过程
(3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值．
【答案】(1)真(2)，的值为或或或；(3)最小值为
【分析】（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可；
（3）先化为带分式，然后根据题意求解即可．
本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型．
【详解】（1）由题意可得，分式是真分式；
故答案为：真；
（2），
的值为整数，且为整数，
的值为或或或，
的值为或或或；
（3）
，
当时，这两个式子的和有最小值．最小值为，
则的最小值为．
【变式14-5】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程：
已知，求的值.
解：由，知，，即.
，.
以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，，，求的值；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)1(2)
【分析】本题考查了倒数法解题，正确理解方法的内涵是解题的关键．
(1)把已知，求式都分别取倒数，后计算，最后结果再取倒数即可．
(2)把已知，求式都分别取倒数，后计算，最后结果再取倒数即可．
【详解】（1）∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵取倒数得：，
∴．
（2）∵，知，
，
即．
∴，
∴．
【变式14-6】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，所以，即，
∴，
∴的值为的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
（2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
【详解】（1）由，知，
∴，即．
∴．
∴的值为2的倒数，即．
（2）由，
∴，即，
则 ；
1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）若使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，即分母等于0．
根据分式无意义的条件，对每个式子进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、由，得，故A不符合题意；
B、由，得，故B符合题意；
C、由，得，故C不符合题意；
D、由，得，故D不符合题意；
故选：B．
2．（23-24八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式．
【详解】解：第1个分式的分子是，
第2个分式的分子是，
第3个分式的分子是，
；
第n个分式的分子是；
第1个分式的分母是，
第2个分式的分母是，
第3个分式的分母是，
；
第n个分式的分母是，
第n个分式是，
故选：B．
3．（23-24七年级下·安徽六安·期末）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式的值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．当分母不为零时，分式有意义；当当分母为零时，分式无意义；当分母不为零且分子为零时，分式的值为零．当时，根据分母为零可求得，当时，根据分母不为零，分子为零，可求得，由此即可求的答案．
【详解】当时，分式无意义，
，
解得，
当时，分式的值为0，
，
解得，
．
故选：D．
4．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若正整数，满足，则的最大值为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】C
【分析】本题考查的是分式的值为整数的情况，以及数的整除性问题，把用含的代数式表示，并分离其整数部分（简称分离整系数法）．再结合整除的知识，即可求出的最大值．
【详解】解：，
，
，为正整数，
当时，有最大值，最大值为，
故选：C．
5．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）对下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式性质：分子和分母同时除以或乘上同一个数（不为0），分式的值不变，据此逐项分析，即可作答．
【详解】A. ，不正确；
B. ，不正确；
C. ，不正确；
D. ，正确．
故选：D．
6．（2025·河南郑州·一模）已知为整式，若计算的结果为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式混合运算，分式的基本性质，先根据题意列出即可，掌握分式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得：
故选：．
7．（2024八年级上·全国·期末）若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴不能说明，原选项不正确，符合题意；
、∵，
∴，原选项正确，不符合题意；
、∵，
∴
∴，
∴，
∴，原选项正确，不符合题意；
、∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）已知，则的值（ ）
A． B．2 C．1 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根非负性的应用，根据算术平方根有意义的条件得出，进而得出，得出代入代数式，即可求解．
【详解】解：依题意，
∴
∴
∴原式可化为：
∴
即
∴，
故选：C．
9．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个．
【答案】4
【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可．
【详解】解：
由题意可知，是6的整数约数，
∴，2，3，6，，，，，
解得：，，1，，，，，，
其中x的值为整数有：，1，，共4个．
故答案为：4．
10．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查分式有意义和分式的值为零的条件，熟练掌握是解题的关键．
根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得，从而得到a，b的值，代入即可得到答案．
【详解】解：∵分式，当时，分式没有意义，
∴，
∴；
∵当时，分式的值为零，
∴，
∴，
∴．
11．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）已知实数满足并且，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是已知条件式求解分式的值，由条件可得，，，可得，结合，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）已知，则代数式的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握运算法则，整体代入思想解题是关键．
根据分式加法运算，可得，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
13．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ．
【答案】6或
【分析】本题主要考查了分式的约分，因式分解，读懂题意是关键．根据题意对分母分解因式，从而可以求出相对应的a的值．
【详解】解：由题意可得可以分解因式，且a为整数，
∴，或，
∴
当时，，符合题意；
当时，，可以约分，不符合题意；
当时，，不可以约分，符合题意；
当时，，不可以约分，符合题意；
由以上可得：的值是6或．
故答案为：6或．
14．（24-25八年级下·全国·期中）求下列分式的值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）把字母的值代入计算即可求出值．
（2）把字母的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：当时，；
（2）解：当时，．
15．（24-25八年级下·全国·期中）已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，利用整体代入法是解题关键．由已知条件可得，再整体代入分式化简求值即可．
【详解】解：，
，
，
．
16．（2025八年级下·全国·期中）给定下列分式：，，，，…．
(1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？
(2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？
(3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】本题考查分式规律型：数字的变化类，关键是善于观察发现规律．
（1）由分式的特点，即可发现分式的分子、分母和符号分别具有特征；
（2）计算任意一个分式除以它前面的一个分式，即可发现规律；
（3）由分式的特点，即可写出给定的这列分式中的第10个分式．
【详解】（1）解：这列分式的分子是幂的形式，底数x的指数是从3开始的奇数，分母是幂的形式，底数y的指数是从1开始的自然数，第奇数个分式的符号为正，第偶数个分式的符号为负．
（2）解：∵，， ，
∴从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，所得结果都是；
（3）解：第10个分式是．
17．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是________（填写序号即可）；
(2)若a为整数，且为“和谐分式”，请写出a的值________；
(3)在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果________．
；；．
【答案】(1)②(2)4，，(3)或
【分析】本题考查因式分解，分式约分，“和谐分式”概念，解题的关键在于正确理解“和谐分式”概念．
（1）根据“和谐分式”概念，逐个进行分析判断，即可解题；
（2）根据“和谐分式”得到可以因式分解，进而得到的取值，再结合“和谐分式”不可约分进行分析，即可解题；
（3）先将与因式分解，再结合“和谐分式”概念进行求解，即可解题．
【详解】（1）解：①，分子分母不可因式分解，不是“和谐分式”；
②分母可以因式分解，且这个分式不可约分，是“和谐分式”；③分母可以因式分解，且这个分式可约分，不是“和谐分式”；
④分子与分母可以因式分解，且这个分式可约分，不是“和谐分式”．
综上所述，是“和谐分式”的是②，
故答案为：②．
（2）解：a为整数，且为“和谐分式”，
可因式分解，
则可以为：
，但其作为分母时，分式可约分，不是“和谐分式”，
，
，
，
当或或时，分解后，分式不可约分，是“和谐分式”，
故答案为：4，，；
（3）解：由题知；；
“和谐分式”不可约分，
构造的分式是“和谐分式”的有或，
故答案为：或．
18．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：
，
，
则和都是“和谐分式”．
(1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）；
①；②；③；④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______．
(3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值．
【答案】(1)①③④(2)(3)或
【分析】（）根据“和谐分式”的定义判断即可；
（）根据题例解答即可；
（）解方程组，并把解表示成“和谐分式”，再根据方程组有正整数解解答即可；
本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：①，故是和谐分式；
②，故不是和谐分式；
③，故是和谐分式；
④，故是和谐分式；
故答案为：①③④；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：解方程组，得，
∵方程组有正整数解，
∴且能被整除，
解得或．

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