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【精准提分】专题12 分式方程及其应用（浙教2024）
【11个基础题型+3个压轴题型】
【基础题型一】判断是否为分式方程 1
【基础题型二】解分式方程（计算题） 4
【基础题型三】分式方程的增根与无解问题 11
【基础题型四】根据分式方程根的情况求参数的取值范围 16
【基础题型五】判断去分母过程是否正确 23
【基础题型六】分式方程中新定义类题型 25
【基础题型七】列分式方程（选填） 28
【基础题型八】分式方程实际应用之行程问题 31
【基础题型九】分式方程实际应用之工程问题 37
【基础题型十】分式方程实际应用之经济问题 42
【基础题型十一】分式方程实际应用之其他问题 49
【压轴题型十二】分式方程与一元一次不等式组结合 57
【压轴题型十三】分式方程中新定义类题型 63
【压轴题型十四】分式方程中实际应用压轴题 73
【基础题型一】判断是否为分式方程
例题1（24-25八年级下·上海崇明·期中）在下列方程中，分式方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、它不是分式方程；
B、它不是分式方程；
C、它是分式方程；
D、它不是分式方程．
故选：C
【变式1-1】（24-25八年级下·全国·期中）下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、不含有分式，不是分式方程，不符合题意；
B、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意；
C、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意；
D、分母中含有x，是关于x的分式方程，符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此求解即可．
【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中只有A选项中的方程是分式方程，
故选：A．
【变式1-3】（24-25八年级下·上海·期末）下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可．
【详解】解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程；
关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程；
关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程；
关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程；
故选：C．
【变式1-4】（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中是否含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案．
【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程，
故选：A．
【变式1-5】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）下列各式中，是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式方程的识别，解题的关键是掌握分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程，注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．据此解答即可
【详解】解：A．是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B．是分式方程，故此选项符合题意；
C．是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D．是代数式，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-6】（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可．
【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程；
故选：C．
【基础题型二】解分式方程（计算题）
例题2（2025·青海海东·二模）解方程：．
【答案】
【详解】解：方程两边同乘
得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴原分式方程的解为．
【变式2-1】（2025七年级下·全国·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点．
（1）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答；
（2）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
检验，当时，，
所以该分式方程的解为：；
（2）解：，
，
，
检验，当时，，
所以该分式方程无解
【变式2-2】（2025七年级下·全国·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)分式方程无解
【分析】本题考查了解分式方程，熟知分式方程需检验是解题的关键．
（1）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解；
（2）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：，
∴，
解得：，
经检验，是增根，
∴原分式方程无解．
【变式2-3】（2025八年级下·全国·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
（1）根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
（2）根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
【详解】（1）解：去分母，得：，
解得：；
经检验，是原方程的解；
故原方程的解为：；
（2）去分母，得：，
解得：，
检验：当时，
∴是原方程的增根，舍去；
∴原方程无解．
【变式2-4】（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)无解(2)
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题的关键．
（1）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即可解题；
（2）解题方法与（1）类似．
【详解】（1）解：
化为整式方程得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验：把代入，
∴是原方程的增根，原方程无解；
（2）解：
化为整式方程得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
检验：把代入，
∴是原方程的解．
【变式2-5】（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点．
（1）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答；
（2）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答．
【详解】（1）解：，
∴，
去分母得：，
∴，
解得：，
检验，当时，，
所以该分式方程的解为：；
（2）解：，
去分母得：，
∴
解得：，
检验，当时，，
所以该分式方程无解．
【变式2-6】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）解下列方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)或(2)无解
【分析】本题主要考查了根据平方根的定义解方程以及解分式方程，熟练掌握相关知识及求解方法是解题的关键．
（1）根据平方根的定义解方程即可．
（2）把分式方程化成一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：
，
解得：或；
（2）解：
经检验，时，，
∴原分式方程无解．
【变式2-7】（24-25八年级下·陕西西安·期中）解分式方程：
(1)；
(2)；
【答案】(1)(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法，是解题的关键．
（1）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
（2）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的增根，
即原方程无解．
【变式2-8】（2025八年级下·江苏扬州·期中）解方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)(2)方程无解
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．
（1）去分母化为整式方程并解整式方程，经检验即可得到答案；
（2）去分母化为整式方程并解整式方程，经检验即可得到答案．
【详解】（1）解：，
去分母得到，，
解得：，
经检验，是分式方程的解；
（2）解：，
去分母得到，，
解得：，
当时，，
∴是增根，分式方程无解．
【变式2-9】（24-25八年级下·江苏南京·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)所以原方程无解．
【分析】本题考查解分式方程，找准最简公分母并注意检验结果是解题关键．
（1）在方程左右同乘进行去分母，求解并检验即可；
（2）在方程左右同乘进行去分母，求解并检验即可．
【详解】（1）在方程左右同乘得：
经检验，时，，
是原分式方程的解；
（2）在方程左右同乘得：
经检验，时，，为分式方程的增根，
原分式方程无解．
【基础题型三】分式方程的增根与无解问题
例题3（24-25七年级上·上海闵行·期末）已知关于的方程：，若方程有增根，求的值．
【答案】或6
【详解】解：，
去分母，得：，
整理得：；
∵方程有增根，
∴或，
∴或；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上：或6．
【变式3-1】（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知关于的分式方程．
(1)当时，求方程的解．
(2)若该分式方程无解，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是理解分式方程无解和有增根的含义．
（1）将代入分式方程，再解方程即可；
（2）先解分式方程可得，再根据分式方程无解得：，从而可得，然后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：当时，分式方程为，
去分母，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解；
（2）解：，
去分母，得，
整理，得，
∵原分式方程无解，
∴分式方程产生增根，增根为，
∴，
∴．
【变式3-2】（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若关于的分式方程有增根，求的值．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的知识，根据分式方程有增根，则该方程无解，解出，即可求出．
【详解】解：
去分母得，，
移项，合并同类项得，，
∵有增根，
∴该方程无解，即，
解得：，
∴
∴．
【变式3-3】（2024八年级·全国·期末）关于的方程．
(1)若，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求的值．
【答案】(1)(2)或4
【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的增根问题，
（1）代入后解关于x的分式方程并检验即可的答案；
（2）分式方程去分母化为整式方程，再把增根代入求出k的值即可；
读懂题意，正确计算是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，原方程为，
方程两边同时乘以得：，
解这个方程得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解.
（2）
方程两边同时乘以得：，
原方程有增根，则或，
即或，代入整式方程得或
解得或4.
【变式3-4】（24-25八年级下·重庆·期中）已知关于x的分式方程．
(1)若分式方程的根是，求a的值；
(2)若分式方程无解，求a的值．
【答案】(1)(2)或
【分析】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．
（1）把代入方程计算，即可求出a的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求a的值即可．
【详解】（1）解：∵分式方程的根是，
∴，
解得
（2）解：去分母，并化简得，
当，即时，方程无解，则分式方程也无解，
当，即时，
∵分式方程无解，
∴，
∴或，
当时，，不符合题意，舍去，
当时，，
解得，
综上，当或时，分式方程无解．
【变式3-5】（24-25八年级上·湖南永州·期中）若关于x的分式方程．
(1)若，求分式方程的解；
(2)若分式方程无解，求k的值．
【答案】(1)(2)或2
【分析】本题考查了分式方程的解法，以及根据分式方程无解求参数．
（1）把代入，然后按照解分式方程的解答方法求解即可；
（2）先去分母，然后分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解即可．
【详解】（1）解：当时，原方程可化为，
去分母，得，
解得：．
经检验：是原分式方程的解．
（2）解：，
去分母得，即，
当，即时，无解；
当，即时，，
∵关于x的分式方程无解，
，解得：；
综上所述，当关于x的分式方程无解，k的值为或2．
【变式3-6】（2025七年级下·全国·期中）已知关于的分式方程．
(1)若方程的根为，求的值；
(2)若方程有增根，求的值；
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根；
（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，结合题意，通过求解一元一次方程，即可得到答案；
（2）根据分式方程增根的性质，首先得方程的增根为 或 ，再通过计算即可得到答案．
【详解】（1）解：去分母得：＋＋
整理，得．
当方程的根为，则．得；
（2）若原分式方程有增根，则＋．所以 或 ．
当 时，．得．
当 时，．得．
所以若原分式方程有增根，则．
【变式3-7】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）已知关于x的分式方程．
(1)若分式方程的根是，求a的值；
(2)若分式方程有增根，求a的值；
(3)若分式方程无解，求a的值．
【答案】(1)1(2)3)3或
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值，
（1）将分式方程转化为整式方程，把代入，求解即可；
（2）将分式方程转化为整式方程，求出最简公分母为0时的的值，代入，求解即可；
（3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，增加整式方程无解，求解即可；
【详解】（1）解：方程去分母，得：，
整理，得：，
∵分式方程的根是，
∴，
∴；
（2）由（1）将分式化为整式方程为：，
∵分式方程有增根，
∴或，
∴或，
当时，，解得：；
当时，无解，舍去；
∴；
（3）由（1）将分式化为整式方程为：，
由（2）知，当时，分式方程有增根，无解；
当无解时，即时，分式方程也无解，
∴；
综上：或．
【变式3-8】（23-24八年级上·全国·期末）当m为何值时，解关于x的分式方程会出现增根？
【答案】当时，分式方程有增根．
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将或代入计算，即可求出的值．
【详解】∵关于x的分式方程有增根，
∴或，
∴或．
方程两边同乘，得，
整理得，
当时，；
当时，．
当时，方程为，此时方程无解，
∴当时，分式方程有增根．
【基础题型四】根据分式方程根的情况求参数的取值范围
例题4（2025年四川省南充市名校联测中考二模数学试卷）关于的方程一定有根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
方程两边同乘，得，
解得：，
关于的方程一定有根，
，
，
将代入，得，
，
故选：A．
【变式4-1】（2025·山东济宁·二模）若关于x的方程的解为正数，则m的值可以为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键．
先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可．
【详解】解：由，
去分母得：，
解得：且，
∵关于的方程的解是正数，
∴且，解得：且，
∴m的值可以为3，
故选：C．
【变式4-2】（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的方程有解，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查解分式方程．根据分式的求解步骤求解，再根据解的结果求值即可．
【详解】解：，
方程两边同乘得，
去括号、移项、合并同类项得，
∵关于的方程有解，
∴且且，解得且，
故选：C．
【变式4-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出方程的解，根据解为非负数，结合分式有意义的条件，得到关于的不等式组，进行求解即可．
【详解】解：解，得：，
∵分式方程的解为非负数，且，
∴且，
∴且；
故选D．
【变式4-4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键．先将分式方程化为整式方程，再解出方程的解，然后根据“解为正数”列出不等式求解即可．
【详解】解：，
两边都乘以，得，
解得，
∵解为正数，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴且．
故答案为：且．
【变式4-5】（24-25八年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程有整数解，则整数的值的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
先求出分式方程的解，再根据有整数解即可求得整数的值，计算即可得到答案．
【详解】解：
方程有解，则，则，
，
方程有整数解，
，，
或或或，
当时，，此时方程无解，
的值的和为，
故答案为：．
【变式4-6】（24-25八年级下·上海·期中）若关于的方程有无数多个解，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，将分式方程变为，根据分式为0的条件得出，化简得出，根据有无数多个解，得出，求出k的值即可．
【详解】解：，
，
，
∴，
整理得：，
∵方程有无数多个解，
∴，
解得：．
故答案为：．
【变式4-7】（24-25八年级上·全国·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ．
【答案】且/且
【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解．再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可．
【详解】解：原分式方程可化为：
去分母得：
解得
又分式方程的解是非负数
且
的取值范围是：且
【变式4-8】（24-25八年级下·吉林长春·期中）已知关于的分式方程
(1)若该方程有增根，求的值；
(2)若该方程的解为非负数，求的取值范围．
【答案】(1)(2)且
【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，通过解方程求出方程的根是解题的关键．
（1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可；
（2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：
去分母得：，
解得，
∵关于的分式方程有增根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
解得，
又∵原方程不能有增根，
∴，即，
∴，
∴且．
【变式4-9】（2025八年级下·全国·期末）已知关于x的分式方程．
(1)若分式方程有增根，求a的值；
(2)若分式方程的解为非负数，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)且
【分析】（1）先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，表示出x，再根据分式方程有增根时分母为0，从而求出x的值，再列出关于a的方程，解方程即可；
（2）根据分式方程的解是非负数和分式的分母不能为0，列出关于a的不等式组，解不等式组，求出答案即可．
本题主要考查了分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
∵分式方程有增根，
∴，
解得：，
∴，
，
，
；
（2）解：∵分式方程的解为非负数，
∴，
由①得：，
，
，
由②得：，
，
，
∴a的取值范围是：且．
【基础题型五】判断去分母过程是否正确
例题5（2025·新疆喀什·二模）解分式方程时，去分母后变形正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：方程两边同时乘以，得：；
故选：D．
【变式5-1】（2025·贵州遵义·三模）解分式方程时，去分母的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了解分式方程，根据去分母的过程进行解答即可，熟练掌握解分式方程方法步骤是解题关键．
【详解】解：，
去分母得， ，
故选：D．
【变式5-2】（2025·湖南娄底·三模）将关于的分式方程去分母可得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查解分式方程，将原分式方程两边同乘，即可求出结果．
【详解】解：原分式方程两边同乘，
得．
故选：B．
【变式5-3】（24-25八年级下·山西临汾·期中）解分式方程，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解分式方程的去分母的步骤，正确找到最简公分母，方程两边同时乘以最简公分母即可．
【详解】解：两个分母分别是和，最简公分母为，
方程两边同时乘以，得，
故选：C．
【变式5-4】（2025·辽宁盘锦·模拟预测）解分式方程，去分母得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的解法，两边都乘以即可求解．
【详解】解：，
两边都乘以，得
．
故选D．
【变式5-5】（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）解分式方程时，下列去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的解法，解题关键在于最简公分母的确定．先确定分式方程的最简公分母，然后左右两边同乘最简公分母即可确定去分母后的答案．
【详解】解：分式方程，
方程两边同时乘以去分母得：，
故选：B．
【基础题型六】分式方程中新定义类题型
例题6（24-25八年级下·河南·期中）对于非零实数a，b，规定，若，则x的值为 （　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根．
故选：C．
【变式6-1】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】C
【分析】本题考查了解分式方程以及新定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母，得，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
故选：C．
【变式6-2】（24-25八年级上·河北沧州·期末）定义一种新运算“※”为：，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了定义新运算、解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．根据定义新运算得到方程，再解分式方程求出的值即可．
【详解】解：由题意得，，
去分母，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
故选：B．
【变式6-3】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）定义运算“★”：．若，则x的值为（ ）
A．3 B．10 C．或10 D．或
【答案】C
【分析】本题考查新定义的应用，以及解分式方程．分和两种情况根据新定义得出方程，求解即可．
【详解】解：当时，，
解得，，
经检验，是原方程的根；
当时，，
解得，，
经检验，是原方程的根；
综上，的值为：或10
故选：C．
【变式6-4】（2025九年级下·河南商丘·期中）定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，满足．若，则x的值为 ．
【答案】3
【分析】此题考查了新定义运算，根据新定义得到分式方程是解题的关键．根据定义得到，由得到，解分式方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
经检验，是分式方程的根，
即x的值为3．
故答案为：3．
【变式6-5】（24-25八年级上·青海果洛·期末）定义两种新运算“Δ”和“※”，其运算规则为，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了新运算，解分式方程，根据新运算规则得，解出方程，即可求解；理解新运算规则，掌握解分式方程的解法是解题的关键．
【详解】解：∵，且，
∴，
去分母得：
，
整理得：，
解得：，
检验：当时，
，
原方程的解为，
故答案：．
【基础题型七】列分式方程（选填）
例题7（2025·广东广州·二模）赛龙舟是端午节的重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神，某地龙舟赛的赛程为500米，A，B两队在同一起点同时出发，已知A队的平均速度是B队的倍，结果A队比B队提前了25秒到达终点，若设B队的平均速度是x米/秒，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：设B队的平均速度是x米/秒，则A队的平均速度是米/秒，
由题意得，，
故选：A．
【变式7-1】（2025·山东淄博·二模）甲、乙两人同时从某地出发，步行5千米来到游乐园，已知甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到15分钟，问甲乙两人每小时各走多少千米，若设甲每小时走千米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
此题考查了分式方程应用．设甲每小时走x千米，则乙每小时走千米．根据比乙早到15分钟，据此列方程即可．
【详解】解：设甲每小时走千米，列方程为，
故选：A．
【变式7-2】（2025·贵州贵阳·一模）已知每个推车式灭火器（如图①）的价格比手提式灭火器（如图②）价格的6倍多20元．用1900元购买的推车式灭火器数量和用300元购买的手提式灭火器数量相同．设手提式灭火器的单价为x元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．设手提式灭火器的单价为x元，则推车式灭火器的单价为元，根据题意列出方程，即可解答．
【详解】解：设手提式灭火器的单价为x元，则推车式灭火器的单价为元，
根据题意可列方程为．
故选：C．
【变式7-3】（2025·辽宁大连·二模）用相同的时间，某次列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，若平均提速，提速前列车的平均速度为多少 设提速前这次列车的平均速度为，根据行驶时间的等量关系，可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程．根据“提速前路程提速前速度提速后路程提速后速度”列出方程即可．
【详解】解：设提速前这次列车的平均速度为，可列方程，
故选：B．
【变式7-4】（2025·广东广州·二模）为弘扬广府饮食文化，某校开展“广东点心制作”实践活动．已知甲组同学平均每小时比乙组多做个虾饺，甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同．求甲、乙两组同学平均每小时各做多少个虾饺．若设乙组每小时做个虾饺，可列出关于的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是找出题中的等量关系．
设乙组每小时做个虾饺，根据“甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同”列出方程．
【详解】解：设乙组每小时做个虾饺，则甲组同学平均每小时做个虾饺，
根据题意，得，
故选： A．
【变式7-5】（2025·山东聊城·二模）数学课上，甲乙丙丁四位同学对于题目“甲、乙两地相距360，张老师、王老师分别从甲地乘早7时出发的普通客车和8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达．已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是，两车的平均速度分别是多少？”列出了如下方程：
①设豪华客车的平均速度是，则甲列的方程为：；乙列的方程为：；
②设普通客车的平均速度是，则丙列的方程为：；丁列的方程为：；
则四位同学列出的方程正确的是（ ）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁
【答案】B
【分析】本题考查分式方程的应用，准确理解题意并根据题意正确列出分式方程是解题的关键．本题依据题目所给等量关系逐个分析四位同学的方程是否符合题意．
【详解】解：设豪华客车的平均速度是，则普通客车的平均速度是，
由题意可得：，故甲列的方程是正确的；
设普通客车的平均速度是，则豪华客车的平均速度是，
由题意可得：，故丁列的方程是正确的；
综上，则四位同学列出的方程正确的是甲、丁．
故选：B．
【变式7-6】（2025·广西南宁·模拟预测）马拉松不仅是一项体育赛事，更是融合历史、健康、文化等多维度的社会活动．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙30米，已知乙的平均配速为2.8米/秒，如果甲计划跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为米/秒，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，本题的关键是明确追及问题中，甲需要覆盖自身路程和弥补初始差距的总距离，通过时间相等建立方程．注意方程中各量的对应关系，避免混淆距离与时间的计算．根据甲跑300米用的时间等于乙跑270米用的时间相等列出方程即可．
【详解】解：设甲接下来的平均配速为米/秒，
根据题意列出方程：．
故选：A．
【基础题型八】分式方程实际应用之行程问题
例题8（2025·山东滨州·二模）为迎接全国第39届科技创新大赛，学校创客社团积极备战，一节社团课上，小明用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，两辆赛车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差．已知，“畅想号”的平均速度为．
(1)请根据以上背景，提出一个合理问题并解决．（不添加条件，题目中的数据全部用上）
(2)如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退，两车同时出发，两车能否同时达到终点？若能，求出两车到达终点时间；若不能，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点．
【答案】(1)见解析
(2)不能，将“畅想号”的平均速度降低两车能同时到达终点
【详解】（1）解：提出问题：求“和谐号”的平均速度？
设“和谐号”的平均速度，则
解得．
经检验是分式方程的解．
故“和谐号”的平均速度．
（2）解：“畅想号”到达终点的时间是，“和谐号”到达终点的时间是，
故两车不能同时到达终点，“畅想号”先到．
设“畅想号”的平均速度降低时能使两车同时到达终点，
则，
解得
经检验是分式方程的解．
故将“畅想号”的平均速度降低两车能同时到达终点．
【变式8-1】（重庆市铜梁区2024-2025学年九年级下学期学业质量监测数学试题）今年4月19日，全球首个人形机器人半程马拉松在北京亦庄开跑，这标志着我国人形机器人产业正在飞速发展．机器人甲参加了这次比赛，它先采用“跑步模式”以的速度跑完一段路程后，再采用“步行模式”匀速步行到达目的地（半程马拉松约为，本题按计算），共用时．此期间，已知机器人甲“跑步模式”的速度比“步行模式”的速度多．
(1)求机器人甲采用“跑步模式”所跑步的路程是多少？
(2)机器人乙也参加了本次比赛，当它速度为时，电池的续航时间为1h，每当速度提高，电池的续航时间将减少．实际比赛时，机器人乙满电量出发，当电量耗尽时就更换同规格满电量电池（更换电池时间忽略不计），并一直以的速度跑完比赛（）．已知机器人乙中途更换了3次电池，到达终点时，电量显示以这个速度还可以跑，求a的值．
【答案】(1)(2)9
【分析】本题考查了分式方程与一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
（1）设“跑步模式”所跑步的路程是，则“步行模式”路程为，由共用时建立分式方程求解；
（2）先求出满电状态可跑的路程，再根据路程、速度、时间的关系建立一元一次方程求解．
【详解】（1）解：设“跑步模式”所跑步的路程是，则“步行模式”路程为，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴原方程的解为，
答：机器人甲采用“跑步模式”所跑步的路程；
（2）解：，
由题意得：满电可跑，
则，
解得：，
答：a的值为9．
【变式8-2】（2025·广东广州·一模）如图是两张不同类型火车的车票（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）：
(1)已知A、B两地之间的距离为，高铁的平均速度是动车平均速度的倍，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，那么动车和高铁的平均速度分别是多少时？
(2)高铁出发前，两车在什么时刻相距？
【答案】(1)动车的平均速度为时，高铁的平均速度为时(2)
【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数除法的应用，理解题意是解题关键．
（1）设动车的平均速度为时，则设高铁的平均速度为时，根据题意列分式方程求解即可；
（2）根据动车的平均速度求出所需时间，即可求解．
【详解】（1）解：设动车的平均速度为时，则设高铁的平均速度为时．
由题意可得，
解得，
经检验，为方程的解，
∴，
答：动车的平均速度为时，高铁的平均速度为时；
（2）解：解：∵高铁出发前，动车的平均速度为h，
∴，
此时的时间为．
【变式8-3】（2025·广东汕头·一模）如图，某森林公园从山脚B到山顶A有一段12千米长的山路，已知小牧下山的平均速度是上山的平均速度的倍，他从山脚走到山顶、再从山顶走到山脚一共需要5小时．
(1)求小牧上山的平均速度；
(2)在此山路上有一处C，小牧从C处走到山顶A所用的时间等于从C处走到山脚B所用的时间，则C处离山顶A有多远？
【答案】(1)4千米/时(2)千米
【分析】本题考查一元一次方程和分式方程在行程问题中的应用；解题关键是根据路程、速度、时间关系，分别找出总时间和两段路程时间相等的等量关系，列出方程求解．
（1）设小牧上山平均速度为千米/时，根据路程千米、下山速度是上山速度倍及总时间小时，利用“时间 = 路程÷速度”，列出上山时间与下山时间之和为小时的分式方程，求解并检验得到上山平均速度．
（2）设C处离山顶A为a千米，依据第（1）问求出的速度，结合“小牧从处走到山顶所用时间等于从处走到山脚所用时间”这一条件，根据“时间 = 路程÷速度”列出方程，求解得出处离山顶的距离．
【详解】（1）解：设小牧上山的平均速度是x千米/时，根据题意，得
．
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：小牧上山的平均速度是4千米/时．
（2）设C处离山顶A为a千米．
根据题意，得．
解得．
答：C处离山顶A 4.8千米．
【变式8-4】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米．
(1)若水流速度为每小时5千米，这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，求该货轮在静水中的速度．
(2)若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，段河流水速为每小时a千米，段因受降水影响，水速变为每小时b千米．设货轮在段的逆水航行时间为，在段的逆水航行时间为，请判断与的大小关系，通过计算说明理由．
【答案】(1)该货轮在静水中的航行速度为千米/时．
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了分式方程与异分母分式的加减．解题的关键在于正确的列分式方程与分式的比较大小．
（1）设轮船在静水中的航行速度为千米/时，故可知顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，列分式方程，求解即可；
（2）由题意知，然后代入作减法比较即可．
【详解】（1）解：设货轮在静水中的航行速度为，
则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时；
故有，
解得，
经检验得是原方程的解，
∴该货轮在静水中的航行速度为千米/时．
（2）由题意知，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式8-5】（24-25九年级上·重庆·期末）如图所示，、、三地在同一直线上，已知、两地分别与地的距离为和，甲、乙两人分别从、两地同时匀速前往地．
(1)若甲、乙的速度之和为，且甲出发40分钟后追上乙，求甲的速度；
(2)若甲、乙的速度之和为，当甲到达地后立即折返与乙相遇，求甲、乙的速度．
【答案】(1)甲得速度为
(2)甲的速度为，乙的速度为
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．
（1）先求出A、B两地的距离，设甲的速度为，乙的速度为，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设甲的速度为，则乙的速度为，根据甲当甲到达C地后立即折返与乙相遇，即可列出分式方程求解．
【详解】（1）解：、两地分别与地的距离为和，
、两地相距，
设甲的速度为，乙的速度为，
根据题意得：，
解得：，
甲得速度为；
（2）解：设甲的速度为，则乙的速度为，
当甲到达地后立即折返与乙相遇，
甲和乙在相同的时间内分别走了和，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：甲的速度为，乙的速度为．
【基础题型九】分式方程实际应用之工程问题
例题9（2025年安徽省淮北市5月三模数学试题）在社会主义新农村建设中，某县准备修建一条千米长的乡村公路．甲工程队每月比乙工程队能多完成2千米，但甲工程队每月需要的经费比乙工程队多．已知这两个工程队单独完成这项工程所需经费相同．求甲工程队单独修建这条公路所需要的时间．
【答案】3个月
【详解】解：设甲工程队每月修建千米，则乙工程队每月能修建（）千米，甲单独完成该项工程量为千米，乙单独完成该项工程量为千米．设乙工程队每月需要经费为，则甲工程队每月需要的经费为
由题意得，，解得．
经检验，是原方程的根，（月）．
答：甲工程队单独修建这条公路需要3个月．
【变式9-1】（2025·重庆·二模）列方程（组）解应用题：重庆某动漫玩具创意企业计划委托供货商生产自己设计的甲、乙两种动漫玩具共7800个投放市场，甲玩具的数量比乙玩具数量的一半少300个．
(1)甲、乙两种动漫玩具的数量分别是多少个？
(2)若供货商安排20人同时生产这两种动漫玩具，每人每天能生产甲玩具20个或乙玩具30个，应分别安排多少人生产甲、乙玩具，才能确保同时完成两种玩具的生产任务？
【答案】(1)2400,5400
(2)安排8人生产甲种玩具，安排12人生产乙种玩具
【分析】（1）设乙种动漫玩具的数量为个，则甲种动漫玩具的数量为个，根据题意，得，解方程即可．
（2）设安排m人生产甲种玩具，安排人生产乙种玩具，根据题意，得，解方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设乙种动漫玩具的数量为个，则甲种动漫玩具的数量为个，根据题意，得，
解方程，得
故．
答：甲种动漫玩具的数量为2400个，乙种动漫玩具的数量为5400个．
（2）解：设安排m人生产甲种玩具，安排人生产乙种玩具，根据题意，得，
解方程，得．
经检验，是原方程的根，
故，
答：安排8人生产甲种玩具，安排12人生产乙种玩具．
【变式9-2】（24-25九年级下·重庆·期中）近年来，城市更新行动速度在加快，某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．
(1)第一期的改造工程面积为880平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成100平方米乙每天可完成80平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天？
(2)由于居民对第一期文化改造工程反映很好，引来了不少市民打卡参观，社区计划在A处建造400平方米文化宣传墙，由丙工程队负责，在B处建造160平方米的文化宣传墙由丁工程队负责，若丙每天可完成的工作量比丁每天可完成的工作量多5平方米，丙完成的时间是丁完成时间的2倍，求丙、丁每天可完成的工作量分别是多少平方米？
【答案】(1)甲、乙两人分别工作了天和天
(2)丙、丁每天可完成的工作量分别是25平方米和20平方米
【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的实际应用，正确的列出方程和方程组是解题的关键：
（1）设甲、乙两人分别工作了天和天，根据第一期的改造工程面积为880平方米，共用10天完成，列出方程组，进行求解即可；
（2）设丙每天可完成的工作量为平方米，根据丙每天可完成的工作量比丁每天可完成的工作量多5平方米，丙完成的时间是丁完成时间的2倍，列出分式方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两人分别工作了天和天，由题意，得：
，解得：；
答：甲、乙两人分别工作了天和天；
（2）解：设丙每天可完成的工作量为平方米，由题意，得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，符合题意；
∴；
答：丙、丁每天可完成的工作量分别是25平方米和20平方米．
【变式9-3】（2025·云南·模拟预测）从2025年春晚到两会，具身智能逐步进入大众视野，具身机器人在提高效率，降低成本等方面潜力巨大．仓储物流是当前具身机器人商业化最前沿的领域之一，某智慧物流园快递分拣车间计划采用，两种型号的具身机器人分拣快递，已知型具身机器人比型具身机器人每小时多分拣30件快递，型具身机器人分拣600件快递所用时间与型具身机器人分拣480件快递所用时间相等，则两种具身机器人每小时分别分拣多少件快递？
【答案】型具身机器人每小时分拣150件快递，型具身机器人每小时分拣120件快递
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据型具身机器人比型具身机器人每小时多分拣30件快递，得型具身机器人每小时分拣件快递，再结合题条件列式进行解方程，即可作答．
【详解】解：设型具身机器人每小时分拣件快递，则型具身机器人每小时分拣件快递，
依题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：型具身机器人每小时分拣150件快递，型具身机器人每小时分拣120件快递．
【变式9-4】（2025·重庆九龙坡·二模）为了助力乡村振兴，某乡镇政府计划对一条长3000米的乡村道路进行改造．
(1)该工程原计划由甲队单独施工，工期为160天．刚开始每天施工16米，施工一段时后，甲队改进技术，施工效率提高了25％，刚好按时完工，则技术改造前甲队施工了多少天．
(2)由于工期需要，该工程决定由甲、乙两队共同完成，通过工程招标，甲队获得了1800米的改造工程，乙队获得了1200米的改造工程．甲、乙两队同时开始施工，甲队每天比乙队多施工20％，结果甲队比乙队晚20天完成任务．求乙队平均每天施工的米数．
【答案】(1)50天(2)15米/天
【分析】本题考查了一元一次方程与分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设技术改造前甲队施工了x天，则技术改造后的施工时间为天，根据技术改造前施工的长度与技术改造后施工的长度的和为3000米，列出一元一次方程，求解即可；
（2）设乙队平均每天施工y米，则甲队平均每天施工米/天，根据甲队施工的时间减乙队施工的时间为20，列出分式方程，并求解即可，注意检验．
【详解】（1）解：设技术改造前甲队施工了x天，则技术改造后的施工时间为天，
由题意得：，
解得：；
答：技术改造前甲队施工了50天；
（2）解：设乙队平均每天施工y米，则甲队平均每天施工米/天，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
答：乙队平均每天施工15米．
【变式9-5】（2025·山东济南·二模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用，两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了420件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．
(1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？
(2)“五一”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要参与分拣，那么两种机器人分别安排多少台才能分拣完成？
【答案】(1)A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递
(2)见解析
【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用．
（1）设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣件快递，利用工作时间工作总量工作效率，结合A，B型数控机器人接力9小时完成分拣任务，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B型数控机器人每小时分拣快递的数量），再将其代入中，即可求出A型数控机器人每小时分拣快递的数量；
（2）设应安排m台A型数控机器人，n台B型数控机器人分拣快递，根据刚好分拣完成5760件快递，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各安排方案．
【详解】（1）解：设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣件快递，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递；
（2）解：设应安排m台A型数控机器人，n台B型数控机器人分拣快递，
根据题意得：，
∴，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种安排方案，
方案1：安排2台A型数控机器人，9台B型数控机器人；
方案2：安排4台A型数控机器人，6台B型数控机器人；
方案3：安排6台A型数控机器人，3台B型数控机器人．
【变式9-6】（2025·广东清远·二模）某县积极响应国家优先发展教育事业的重大部署，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面，铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务．
(1)原计划每天铺设路面多少米？
(2)若承包商原来每天支付工人工资为1200元，提高工作效率后每天支付给工人的工资为1500元，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
【答案】(1)80米(2)18000元
【分析】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列式求解．
（1）设原计划每天铺设路面x米，则提高工作效率后每天铺设路面米，根据工作时间工作总量工作效率结合共用天完成道路改造任务．即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据总工资每天支付的工资工作天数，即可求出结论．
【详解】（1）解：设原计划每天铺设路面x米，则提高工作效率后每天铺设路面米．
依题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设路面80米．
（2）解：（元）．
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资18000元．
【基础题型十】分式方程实际应用之经济问题
例题10（24-25八年级下·重庆万州·期中）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小文在网上开设相关周边专卖店，一次，小文发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶少5元，花500元购进款哪吒玩偶的数量与花750元购进款哪吒玩偶的数量相同．
(1)求、两款的进货单价分别是多少元？
(2)小文决定将款玩偶的销售单价定为12元，将款玩偶的销售单价定为20元，小文打算购进、两款玩偶共75个，款的数量不小于款的一半，且款的数量不少于45个．请你根据计算说明，当、两款各购进多少时，小文获得的总利润最高？最高总利润为多少？
【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元
(2)购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为元
【详解】（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
经检验，是该方程的解，
∴，
答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元；
（2）解：设购进B款个，则购进A款个，
又款的数量不小于款的一半，且款的数量不少于45个，
，
解得：，
设总利润为，则，
，
∴随的增大而大，
当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为，
此时，则购进A款数量为：（个），
答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为元．
【变式10-1】（2025八年级下·全国·期中）某水果店第一次用540元购进一批杨梅，由于销售状况良好，该店又用1710元购进一批杨梅，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价多了1元．
(1)第一次所购杨梅的进货价是多少？
(2)该店以30元/销售这些杨梅，在销售中，第一次购进的杨梅有的损耗，第二次购进的杨梅有的损耗．问：该水果店售完这两批杨梅共可获利多少元？
【答案】(1)18元/(2)855元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用．
（1）设第一次所购杨梅的进货价是x元/．根据题意列出分式方程求解即可得出答案．
（2）先分别求出两次分别进货的数量，再根据总销售价减去进货价即可得出答案．
【详解】（1）解：设第一次所购杨梅的进货价是x元/．
由题意得：．
解得：．
经检验，是原方程的解．
所以第一次所购杨梅的进货价是18元/
（2）解：（千克），
（千克）
（元）．
所以，该水果店售完这两批杨梅共可获利855元．
【变式10-2】（2025·重庆·二模）列方程解应用题：某冷饮店购进椰子水和柠檬茶这两种夏季饮品共60箱．已知每箱椰子水占0.3立方米的存储空间，每箱柠檬茶占0.2立方米的存储空间，椰子水和柠檬茶两种饮品共占用16立方米的存储空间．
(1)请问该冷饮店采购了多少箱椰子水和多少箱柠檬茶？
(2)经市场调查，每箱椰子水的进价比每箱柠檬茶的进价多15元．如果用4500元采购椰子水的箱数与用3600元采购柠檬茶的箱数相同，那么采购这两种夏季饮品总共需要花费多少元？
【答案】(1)椰子水采购了40箱，柠檬茶20箱
(2)4200元
【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
（1）设椰子水采购了x箱，柠檬茶y箱，根据“两种夏季饮品共60箱，每箱椰子水占0.3立方米的存储空间，每箱柠檬茶占0.2立方米的存储空间，椰子水和柠檬茶两种饮品共占用16立方米的存储空间”建立方程组求解；
（2）设柠檬茶每箱进价为m元，则椰子水为元，根据“用4500元采购椰子水的箱数与用3600元采购柠檬茶的箱数相同”建立分式方程求解．
【详解】（1）解：设椰子水采购了x箱，柠檬茶y箱，
根据题意列方程组：
解得：
答：椰子水采购了40箱，柠檬茶20箱；
（2）解：设柠檬茶每箱进价为m元，则椰子水进价为元，
由题意得：
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴，
∴柠檬茶60元/箱，椰子75元/箱，
∴总费用为：元，
答：总共需要花费4200元．
【变式10-3】（2025·重庆·一模）合川桃片有香甜味和椒盐味两种类型，五一将至，小新打算购买若干袋香甜味桃片和椒盐味桃片．
(1)小新花费4300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元？
(2)由于市场供不应求，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋香甜味桃片的售价是每袋椒盐味桃片售价的1.2倍，小新分别花费了2400元、3600元购买香甜味桃片和椒盐味桃片，一共购买了100袋，求每袋椒盐味桃片的售价．
【答案】(1)每袋香甜口味桃片45元，每袋椒盐口味桃片50元
(2)56元
【分析】本题考查了二元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据两种桃片的总价、单价关系以及购买的总袋数列出分式方程．
（1）设每袋香甜口味桃片元，每袋椒盐口味桃片元，根据题意列出二元一次方程；
（2）设每袋椒盐口味桃片元，根据题意列出分式方程，解分式方程并检验，得到每袋椒盐味桃片的售价．
【详解】（1）设每袋香甜口味桃片元，每袋椒盐口味桃片元，
根据题意得：，
解得．
答：每袋香甜口味桃片45元，每袋椒盐口味桃片50元；
（2）解：设每袋椒盐口味桃片元，
根据题意得：
解方程得：，
经检验：为原方程的解．
答：每袋椒盐口味桃片56元．
【变式10-4】（24-25九年级下·重庆·期中）某花店在售两种花束，郁金香和牡丹的进货成本分别为每束30元和40元，已知郁金香每束的售价是牡丹每束的售价的，已知用600元购买郁金香的束数比用1080元购买牡丹的束数少6束．
(1)求郁金香和牡丹每束的售价分别为多少元？
(2)随着春季花卉市场的火热，该花店在4月份对郁金香和牡丹的售价进行了调整，每束郁金香的售价上调了，每束牡丹的售价上调了，月底经统计4月郁金香的销售总量为400束，牡丹的销售总量为300束，若要保证4月的总利润为23000元，求a的值．
【答案】(1)郁金香每束售价为 50 元，牡丹每束售价为 60 元
(2)的值为 50
【分析】本题主要考查分式方程，一元一次方程的实际运用，理解数量关系，正确列分式方程，一元一次方程是解题的关键．
（1）设牡丹每束售价为元，则郁金香每束售价为元，根据数量关系列分式方程求解即可；
（2）表示出调整后郁金香和牡丹每束售价，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：设牡丹每束售价为元，则郁金香每束售价为元．
根据题意，，
解得：．
经检验，是原方程的解．
元，
因此，郁金香售价为 50 元，牡丹售价为 60 元．
（2）解：调整后售价：郁金香：元，
牡丹：元，
则，
解得：．
【变式10-4】（24-25八年级下·重庆·期中）蓝莓是一种营养丰富的浆果，因富含维生素受大众的喜爱．某水果批发商共花费14400元采购了“高丛”蓝莓和“矮丛”蓝莓进行批发销售．已知两种蓝莓的采购费用相同，每箱“高丛”蓝莓的采购价比每箱“矮丛”蓝莓的采购价高8元，且购进“高丛”蓝莓的箱数是购进“矮丛”蓝莓的箱数的
(1)求“高丛”蓝莓和“矮丛”蓝莓每箱的采购价；
(2)已知当前两款蓝莓市场批发价均为每箱50元，因节假日即将到来，两款蓝莓的批发价均有上涨趋势，于是该水果批发商立即将本批蓝莓全部存放于冷库．据市场调研分析，存入冷库后，每箱“高丛”蓝莓的批发价每天上涨2元，每箱“矮丛”蓝莓的批发价每天上涨3元，但平均每天“高丛”蓝莓和“矮丛”蓝莓都有1箱坏掉，同时冷库的使用成本为每天40元（储藏时间不超过15天）．若该批发商想通过这批蓝莓获得8600元的利润，需将该批蓝莓存入冷库多少天后一次性售出？
【答案】(1)“高丛”蓝莓的采购价为48元，“矮丛”蓝莓的采购价为40元
(2)该批发商想通过这批蓝莓获得8600元的利润，需将该批蓝莓存入冷库9天后一次性售出
【分析】本题主要考查分式方程的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设“矮丛”蓝莓的采购价为x元，则“高丛”蓝莓的采购价为元，然后根据题意可得方程，进而求解即可；
（2）由（1）可得“高丛”蓝莓的采购的箱数为箱，“矮丛”蓝莓的采购的箱数为180箱，设需将该批蓝莓存入冷库y天后一次性售出，然后根据题意可得方程，进而求解即可．
【详解】（1）解：设“矮丛”蓝莓的采购价为x元，则“高丛”蓝莓的采购价为元，由题意得：
，
解得：，
经检验：当时，是原方程的解，
∴；
答：“高丛”蓝莓的采购价为48元，“矮丛”蓝莓的采购价为40元．
（2）解：由（1）可知：“高丛”蓝莓的采购价为48元，“矮丛”蓝莓的采购价为40元，
∴“高丛”蓝莓的采购的箱数为（箱），“矮丛”蓝莓的采购的箱数为（箱），
设需将该批蓝莓存入冷库y天后一次性售出，由题意得：
，
解得：，
答：该批发商想通过这批蓝莓获得8600元的利润，需将该批蓝莓存入冷库9天后一次性售出．
【变式10-5】（2025·重庆·二模）“一年一端午，一岁一安康”！端午节，是我国首个入选《人类非物质文化遗产代表作名录》的节日人们在端午节．这一天有吃“粽子”的传统，也寓意“祈福高中”．某班家委会妈妈们准备提前给孩子们预定“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”两款粽子若干个．已知“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵5元，2个“牛肉霸王粽”和3个“蛋黄板栗粽”总售价85元．
(1)请计算出“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”单价分别是多少元？
(2)实际购买时，商家正在对这两款粽子进行促销活动，它们的单价都下降了，降价后的“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵3元（两款粽子的单价均不低于10元）．妈妈们450元购买的“牛肉霸王粽”数量恰好比240元购买的“蛋黄板栗粽”数量多了10个，那么实际购买“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”各多少个？
【答案】(1)“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”单价分别是元
(2)实际购买“牛肉霸王粽”个，购买“蛋黄板栗粽”个
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
（1）设每个“蛋黄板栗粽”的进价为x元，则每个“牛肉霸王粽”的进价为元，根据2个“牛肉霸王粽”和3个“蛋黄板栗粽”总售价85元，列方程即可解答；
（2）设“牛肉霸王粽”降价元，根据“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵3元，可得“蛋黄板栗粽”的单价，利用450元购买的“牛肉霸王粽”数量恰好比240元购买的“蛋黄板栗粽”数量多了10个，列分式方程即可解答．
【详解】（1）解：设每个“蛋黄板栗粽”的进价为x元，则每个“牛肉霸王粽”的进价为元，
则可得，
解得，
元，
答：“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”单价分别是元；
（2）解：设“牛肉霸王粽”降价元，则“牛肉霸王粽”的单价为元，
“蛋黄板栗粽”的单价为元，
故可得，
化简得，
解得，
经检验，是原方程的解，
两款粽子的单价均不低于10元，
，
实际购买“牛肉霸王粽”个，购买“蛋黄板栗粽”个，
答：实际购买“牛肉霸王粽”个，购买“蛋黄板栗粽”个．
【基础题型十一】分式方程实际应用之其他问题
例题11（24-25八年级下·江苏盐城·期中）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为．
(1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？
(2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值．
【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜(2)的值为或
【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，
由题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；
（2）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），由题意得：
，
解得：，
，为整数，且为正整数，
或，
的值为或．
【变式11-1】（2025·山西·模拟预测）建设宜居宜业和美乡村是全面推进乡村振兴的一项重大任务．太原市某乡村为提升村容村貌，计划修建一处小公园，需要栽植甲种花木2100棵，乙种花木1200棵．现计划安排26人同时种植这两种花木，已知每人每天能种植甲种花木30棵或乙种花木20棵，则应分别安排多少人种植这两种花木，才能确保同时完成各自的任务？
【答案】应安排14人种植甲种花木，安排12人种植乙种花木，才能确保同时完成各自的任务
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设安排人种植甲种花木，则安排人种植乙种花木，根据需要栽植甲种花木2100棵，乙种花木1200棵，每人每天能种植甲种花木30棵或乙种花木20棵，建立方程求解即可．
【详解】解：设安排人种植甲种花木，则安排人种植乙种花木，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
则，
答：应安排14人种植甲种花木，安排12人种植乙种花木，才能确保同时完成各自的任务．
【变式11-2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）小深家的新能源汽车，既可以纯油动行驶，也可以纯电动行驶．请你帮助小深完成下列问题：
动力源 纯油动 纯电动
行驶里程 a千米 a千米
总耗油(电)量 50升 70千瓦时
油(电)单价 7.6元/升 0.5元/千瓦时
每千米费用 ______元
(1)纯电动力时每千米费用为_______元；
(2)若每千米纯用油的费用比纯用电的费用多0.69元：
①求出a的值；
②若行驶这a 千米先后使用两种动力方式，总费用为242元，则汽车纯电动行驶了多少千米？
【答案】(1)(2)①；②汽车纯电动力行驶了200千米．
【分析】本题考查列代数式，理解题意、掌握分式方程和一元一次方程的解法是解题的关键．
（1）根据“总耗电量×电单价÷行驶里程”列式计算即可；
（2）①根据题意列关于a的分式方程并求解即可；
②分别求出纯油动和纯电动每千米费用，设汽车纯电动行驶了x千米，则纯油动行驶了千米，根据题意列关于x的一元一次方程并求解即可．
【详解】（1）解：纯电动力时每千米费用为（元）．
故答案为：；
（2）解：①根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
∴；
②纯电动每千米费用（元），
则纯油动每千米费用为（元），
设汽车纯电动行驶了x千米，则纯油动行驶了千米，
根据题意，得，
解得．
答：汽车纯电动行驶了200千米．
【变式11-3】（24-25九年级下·重庆万州·期中）重庆三峡移民纪念馆是为纪念三峡工程百万大移民而修建的专题性纪念馆，是国家一级博物馆、全国爱国主义教育示范基地，也是三峡库区重要的红色文化和移民文化保护、研究、展示中心．万州二中初2025届研学小组计划到三峡移民纪念馆参观学习．
(1)为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花260元租讲解员讲解移民工程和移民精神，后又临时增加2名同学，实际的讲解费虽然增加了10元，但实际的人均费用只为原来的人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数；
(2)三峡移民纪念馆的参观路线全长4.8千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体验”两个部分，他们参观“经典讲解”部分的平均速度是1米/秒，是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的4倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的30分钟，整个参观学习过程共2.5小时，求“经典讲解”部分参观路线的长度为多少千米？
【答案】(1)学习小组实际参观博物馆的同学人数为15人
(2)“经典讲解”部分参观路线的长度为4千米
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．
（1）设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为x人，则原计划参观人数为人，根据“实际的人均费用只为原来的人均费用的”列方程求解即可；
（2）设“经典讲解”部分参观路线的长度为y千米，则“特色数字化体验”分参观路线的长度为千米，根据参观“经典讲解”、 在“特色数字化体验”部分排队的时间、参观“特色数字化体验”的时间共2.5小时，即可列方程求解．
【详解】（1）解：设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为x人，则原计划参观人数为人，
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，
答：学习小组实际参观博物馆的同学人数为15人；
（2）解：1米/秒米/时，
设“经典讲解”部分参观路线的长度为y千米，则“特色数字化体验”分参观路线的长度为千米，
根据题意，得，
解得，
答：“经典讲解”部分参观路线的长度为4千米．
【变式11-4】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）武汉某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人每小时的工作效率相当于一名工人每小时工作效率的倍，若用一台机器人分拣件货物，比原先名工人分拣这些货物只多用小时．
(1)求一台机器人每小时可分拣多少件货物？
(2)此仓库“双十二”前夕收到货物万件，为了在小时内分拣完所有货物，公司调配了台机器人和名工人，工作小时后，又调配了台机器人进行增援，该公司能否在规定的时间内完成任务？请说明理由．
(3)公司技术部为了提速，对机器人“东东”的程序进行优化．若该仓库有万件货物待分拣，用相同的时间分拣，提速后的“东东”可比提速前多分拣万件，则机器人“东东”平均提速______件/小时（用含的式子表示）
【答案】(1)一台机器人每小时可以分拣件货物
(2)该公司能在规定的时间内完成任务，详见解析
(3)
【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出分式方程是解答本题的关键．
（1）设一名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物，利用工作时间工作总量工作效率，结合“用一台机器人分拣件货物，比原先名工人分拣这些货物只多用小时”可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值，再将其代入中，即可求出结论；
（2）利用工作总量工作效率工作时间，可求出小时内分拣货物的总件数，再将其与万件比较后，即可得出结论；
（3）设机器人“东东”平均提速件/小时，利用工作时间工作总量工作效率，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设一名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：一台机器人每小时可以分拣件货物；
（2）解：该公司能在规定的时间内完成任务，理由如下：
，
，
该公司能在规定的时间内完成任务；
（3）解：设机器人“东东”平均提速件/小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
机器人“东东”平均提速件/小时，
故答案为：．
【变式11-5】（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了千克．
(1)“丰收号”的单位面积产量________千克/米，“丰收号”的单位面积产量________千克/米；
(2)单位面积产量高的是________（填“丰收号”或“丰收号”）；
(3)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求“丰收号”小麦的试验田的边长．
【答案】(1)，(2)“丰收号”(3)米
【分析】（）根据单位面积产量等于产量除以面积即可求解；
（）根据（）的结论，作商比较大小即可求解；
（）根据题意列出方程，解方程即可求解．
本题考查了分式的除法以及分式方程的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，“丰收号”的单位面积产量千克/米，“丰收号”的单位面积产量千克/米，
故答案为：，；
（2）解：∵
∴，
∴“丰收号”单位面积产量高，
故答案为：“丰收号”；
（3）解：由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
∴“丰收号”小麦的试验田的边长米．
【变式11-6】（24-25八年级上·河北唐山·期末）某班生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下．
生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元，而每本硬面笔记本比软面笔记本贵元．” 学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本．”
(1)设每本软面笔记本x元，请你通过计算分析学习委员说得对不对；
(2)在购买两种笔记本的花费不变的情况下，若每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元，是否存在正整数a，使得两种笔记本的单价都是正整数，并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本？若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)学习委员说得对，见解析(2)3或9
【分析】（1）设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本元，根据买到相同数量的笔记本建立方程求出其解就可以得出结论；
（2）设每本软面笔记本m元（的整数），则每本硬面笔记本元，根据能买到相同数量的笔记本建立方程就可以得出m与a的关系，就可以求出结论．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，解答时求出根据两种笔记本购买的数量相等建立方程是关键．
【详解】（1）解：设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本元，
根据题意，得，
解得．
此时，不是整数，所以学习委员说得对．
（2）解：存在；
设每本软面笔记本m元（是整数），则每本硬面笔记本元，
根据题意，得．
解得．
∵a为正整数，
∴，
故，此时，，符合题意；
故，此时，，不符合题意；
故，此时，，符合题意；
∴a的值为3或9．
【压轴题型十二】分式方程与一元一次不等式组结合
例题12（24-25九年级下·重庆·期中）若整数既使得关于的分式方程有整数解，又使得关于的方程组 的解为正数，则符合条件的所有的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】，
两边同乘x-1得，，
整理得：，
∵整数使得关于的分式方程有整数解，
∴，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，（不合题意，舍去）；
解方程组可得，
∵方程组 的解为正数，
∴，解得，
∴符合条件的所有的为4和5，即个数为2.
故选B.
【变式12-1】（2025·重庆·模拟预测）若数a使关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且使关于y的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数a的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组的解集为x＜﹣2确定出a的范围，再由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出符合条件的a的个数．
【详解】解：解不等式组，得：，
由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，
解得：a≥﹣3；
分式方程去分母得：1﹣y﹣a＝﹣3（y+1），
解得：y＝，
由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件，得，
解得：a＜4且a≠2；
∴﹣3≤a＜4且a≠2，
∴a＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，
∴符合条件的所有整数a的个数为6个；
故选：C．
【变式12-2】（2020·山东烟台·二模）若实数a使得关于x的分式方程＝﹣2的解为负数，且使得关于y的不等式组，至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．1
【答案】B
【分析】先求出分式方程的解，然后根据解为负数得到a的取值范围，再由不等式组的解集，即可求出a的值，然后得到答案．
【详解】解：
解分式方程得：，
∵方程的解为负数，
∴＜0且≠﹣1，
解得a＜4且a≠1；
∵，
解不等式组得：﹣≤y＜a+1，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴a+1＞0，
解得：a＞﹣1，
综上，﹣1＜a＜4，且a≠1，
∴整数a的值为0、2、3，
则符合条件的所有整数a的和为0+2+3＝5，
故选：B．
【变式12-3】（24-25九年级下·重庆北碚·期中）若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出的取值范围，再由分式方程的解求出的范围，得到两个的范围必须同时满足，即求得可得到的整数的值．
【详解】解：解不等式：，得：，
解不等式：，得：，
∵不等式组的解集为，
∴，即：，
解关于的分式方程，
得，
∵分式方程的解为整数解，
∴为整数，且，，即，，
∴所有满足条件的整数的值有：2，，共2个，
故选：B．
【变式12-4】（24-25九年级·重庆涪陵·期中）从﹣2，﹣1，0，1，2，3这六个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程1有整数解，那么这6个数中所有满足条件的a的值之和是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】本题考查的是由不等式、方程的解的情况求参数的问题. 先将参数看成已知数，解出不等式和方程，结合解的条件，列出关于参数的不等式或等式，从而求出参数.
【详解】解 得，
又为不等式组无解，
，解得：
解1：
去分母得：；
解得：；
检验：将代入最简公分母中，得，解得；
方程有整数解，
是整数，可得=﹣1、0、2、3；
结合以上条件=0或2，所有满足条件的a的值之和2.
故选：D.
【变式12-5】（23-24九年级上·重庆·期中）若实数a使关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是 .
【答案】9
【分析】本题主要考查了分式方程的解、一元一次不等式组的解集等知识点，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法是解题的关键．
先解一元一次不等式组可得，再解分式方程可得，结合题意求出满足条件的a的值分别为或4或7，最后求和即可．
【详解】解：，
解不等式得：，
∵不等式组有解，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵方程有非负整数解，且由且a是整数，
∴或或或，
∴或1或4或7
∵，
∴，即
∴或4或7，
∴满足条件的所有整数a之和是，
故答案为9．
【变式12-6】（23-24八年级上·山东烟台·期中）关于x的一元一次不等式组的解集为，关于y的分式方程有负整数解，试求出符合条件的所有整数m的值．
【答案】或/或
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程是解题的关键．
先解关于x的一元一次不等式组的解集是,可得．再解关于y的分式方程可得，因为该分式方程有非负整数解，据此推断出整数m的值即可．
【详解】解：由，得，
∵关于x的一元一次不等式组的解集是,
∴，
分式方程，
∴,
∴，
又∵关于y的分式方程有负整数解且m为整数，
∴且，
∴且，
∴且，
∵为负整数，
∴符合条件的m的值为或．
【压轴题型十三】分式方程中新定义类题型
例题13（24-25八年级上·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”．
例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．
①（ ）；
②（ ）．
(2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由．
(3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小．
【答案】(1)×，√(2)有可能，(3)
【详解】（1）解：关于x的分式方程，
∵不是方程的解，
∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”；
∵是方程的解，
∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”；
故答案为：×，√；
（2）解：当时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，理由如下：
∵是方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴，
即时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”；
（3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”，
∴是关于x的分式方程的解，
∴，
∴，
即，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式13-1】（24-25八年级下·重庆石柱·期中）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．
例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，
①（______）；②（______）．若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”．
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值．
(3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
【答案】(1)①打√；②打“×”(2)4(3)或
【分析】（1）①根据题意，得分式方程的解为，
满足题意，打√；②根据题意，得分式方程的解为，
不满足题意，打“×”．
（2）根据数对是关于的分式方程的“关联数对”，得到关于x的分式方程的解为，根据方程同解，建立等式解答即可．
（3）根据数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，得的解为，继而得到，整理，得
，得，根据关于的方程有整数解，整理，得，得到，得到，根据方程有整数解，分类解答即可．
【详解】（1）①解：根据题意，得分式方程的解为，
又，
故满足关于的分式方程的解是成立，
满足题意，故打√；
故答案为：√；
②根据题意，得分式方程的解为，
不满足题意，打“×”．
故答案为：“×”．
（2）解：根据数对是关于的分式方程的“关联数对”，
∴关于x的分式方程的解为，
∵的解为，
∴，
解得，
∵，
故．
（3）解：∵数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，
∴的解为，
∴，
整理，得，
∴，
∵关于的方程有整数解，
整理，得，
∴，
∴，
∵方程有整数解，
∴即时，此时；
∴即时，此时；
∴即时，此时；
∴即时，此时；
∵，且，
∴或．
【变式13-2】（24-25八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”．
例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”．
(1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”．
(2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值．
(3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值．
【答案】(1)①③(2)(3)或
【分析】（1）根据定义，计算判断即可．
（2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求a的值即可．
（3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可．
本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故①正确；
当，时，使得关于的分式方程的解是，不是
成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故②错误；
当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故③正确；
故答案为：①③．
（2）解：根据定义，分式方程的解为，
故．
解得．
（3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，
整理，得，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∵方程的解为，
∴，
∵方程有整数解，
∴
当时，，（舍去）；
当时，，（舍去）；
故或．
【变式13-3】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．
例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．
①（ ）；②（ ）；③（ ）；
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值；
(3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
【答案】(1)①×；②√；③×(2)；(3)．
【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“方程数对”的定义是解题的关键．
（1）根据“方程数对”定义分别判断即可；
（2）根据“方程数对”定义计算即可；
（3）根据“方程数对”定义计算即可．
【详解】（1）解：当，时，分式方程为，
方程无解，
∴①不是关于的分式方程的“方程数对”；
当，时，分式方程为，
解得，
，
②是关于的分式方程的“方程数对”；
当，时，分式方程为，
解得，
，
③不是关于的分式方程的“方程数对”；
故①×；②√；③×；
（2）解：数对是关于的分式方程的“方程数对”，
，，
，
解得；
（3）解：数对，且，是关于的分式方程的“方程数对”，
，，
，
解得．
∵可化为
∴，
解得：．
方程有整数解，
整数，即
又，，
．．
【变式13-4】（23-24八年级上·北京延庆·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]．
(1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号）
(2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值；
(3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k．
【答案】(1)①(2)(3)
【分析】（1）根据题中运算方法计算判断即可；
（2）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入方程中求解即可；
（3）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入分式方程中求解即可．
【详解】（1）解：①当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
∴是关于的分式方程的“方程数对”；
②当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
故不是关于的分式方程的“方程数对”，
故答案为：①；
（2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
解得；
（3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
则，
∵，
∴．
【变式13-5】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）我们约定：若关于的整式与同时满足：，，则称整式A与整式互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题：
(1)若关于的整式与互为“美美与共”整式，求k，m，n的值．
(2)若关于x的整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，且是的一个因式，求的值；
(3)若，且关于的方程的解为正整数，求的“美美与共”整式，并求出的最小值．
【答案】(1)k的值为，m的值为3，n的值为2．(2)
(3)或，最小值为或
【分析】题目主要考查整式的乘法运算及因式分解，解分式方程等，熟练掌握因式分解是解题关键．
（1）根据题意得到即可解答；
（2）根据题意得出，再由是的一个因式，进行因式分解确定，即可求解；
（3）根据因式分解得出，再由分式方程的解确定或，即可分情况得出Q，然后配方确定最小值即可．
【详解】（1）解：由题意可知：，
∴．
答：k的值为，m的值为3，n的值为2．
（2），
∵整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，
∴，
∴，
∵是的一个因式，
∴，
∴，
∴；
（3）
，
∴，
得，
∵关于的方程的解为正整数，
∴或，
∴或，
∴，或
∴最小值为或．
【压轴题型十四】分式方程中实际应用压轴题
例题14（24-25八年级上·福建厦门·期末）某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题．
(1)若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，
①用含有的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量；
②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求的值；
(2)若型号轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，安装在后轮行驶万千米后报废，其中，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式：
【答案】(1)①该型号轮胎安装在前轮上每万千米的损耗量为，安装在后轮上每万千米的损耗量为；②
(2)在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废．理由见解析；该型号新轮胎应行驶万千米后，前后轮胎对调可使得前后轮胎同时报废．
【详解】（1）解：①该型号轮胎安装在前轮上每万千米的损耗量为，
安装在后轮上每万千米的损耗量为．
②根据题意，得，
解得，
经检验，是该方程的解，且符合题意．
（2）解：在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废．理由如下：
B型轮胎在前轮每万中小学教育资源及组卷应用平台
【精准提分】专题12 分式方程及其应用（浙教2024）
【11个基础题型+3个压轴题型】
【基础题型一】判断是否为分式方程 1
【基础题型二】解分式方程（计算题） 2
【基础题型三】分式方程的增根与无解问题 4
【基础题型四】根据分式方程根的情况求参数的取值范围 6
【基础题型五】判断去分母过程是否正确 7
【基础题型六】分式方程中新定义类题型 8
【基础题型七】列分式方程（选填） 9
【基础题型八】分式方程实际应用之行程问题 11
【基础题型九】分式方程实际应用之工程问题 13
【基础题型十】分式方程实际应用之经济问题 15
【基础题型十一】分式方程实际应用之其他问题 18
【压轴题型十二】分式方程与一元一次不等式组结合 21
【压轴题型十三】分式方程中新定义类题型 22
【压轴题型十四】分式方程中实际应用压轴题 25
【基础题型一】判断是否为分式方程
例题1（24-25八年级下·上海崇明·期中）在下列方程中，分式方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（24-25八年级下·全国·期中）下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（24-25八年级下·上海·期末）下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-4】（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-5】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）下列各式中，是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-6】（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④
【基础题型二】解分式方程（计算题）
例题2（2025·青海海东·二模）解方程：．
【变式2-1】（2025七年级下·全国·期中）解方程：
(1)
(2)
【变式2-2】（2025七年级下·全国·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【变式2-3】（2025八年级下·全国·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【变式2-4】（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程：
(1)；
(2)．
【变式2-5】（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程：
(1)
(2)
【变式2-6】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）解下列方程：
(1)；
(2)
【变式2-7】（24-25八年级下·陕西西安·期中）解分式方程：
(1)；
(2)；
【变式2-8】（2025八年级下·江苏扬州·期中）解方程：
(1)；
(2)
【变式2-9】（24-25八年级下·江苏南京·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【基础题型三】分式方程的增根与无解问题
例题3（24-25七年级上·上海闵行·期末）已知关于的方程：，若方程有增根，求的值．
【变式3-1】（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知关于的分式方程．
(1)当时，求方程的解．
(2)若该分式方程无解，求的值．
【变式3-2】（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若关于的分式方程有增根，求的值．
【变式3-3】（2024八年级·全国·期末）关于的方程．
(1)若，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求的值．
【变式3-4】（24-25八年级下·重庆·期中）已知关于x的分式方程．
(1)若分式方程的根是，求a的值；
(2)若分式方程无解，求a的值．
【变式3-5】（24-25八年级上·湖南永州·期中）若关于x的分式方程．
(1)若，求分式方程的解；
(2)若分式方程无解，求k的值．
【变式3-6】（2025七年级下·全国·期中）已知关于的分式方程．
(1)若方程的根为，求的值；
(2)若方程有增根，求的值；
【变式3-7】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）已知关于x的分式方程．
(1)若分式方程的根是，求a的值；
(2)若分式方程有增根，求a的值；
(3)若分式方程无解，求a的值．
【变式3-8】（23-24八年级上·全国·期末）当m为何值时，解关于x的分式方程会出现增根？
【基础题型四】根据分式方程根的情况求参数的取值范围
例题4（2025年四川省南充市名校联测中考二模数学试卷）关于的方程一定有根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2025·山东济宁·二模）若关于x的方程的解为正数，则m的值可以为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-2】（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的方程有解，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．且 D．且
【变式4-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【变式4-4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ．
【变式4-5】（24-25八年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程有整数解，则整数的值的和为 ．
【变式4-6】（24-25八年级下·上海·期中）若关于的方程有无数多个解，则 ．
【变式4-7】（24-25八年级上·全国·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ．
【变式4-8】（24-25八年级下·吉林长春·期中）已知关于的分式方程
(1)若该方程有增根，求的值；
(2)若该方程的解为非负数，求的取值范围．
【变式4-9】（2025八年级下·全国·期末）已知关于x的分式方程．
(1)若分式方程有增根，求a的值；
(2)若分式方程的解为非负数，求a的取值范围．
【基础题型五】判断去分母过程是否正确
例题5（2025·新疆喀什·二模）解分式方程时，去分母后变形正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2025·贵州遵义·三模）解分式方程时，去分母的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2025·湖南娄底·三模）将关于的分式方程去分母可得（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（24-25八年级下·山西临汾·期中）解分式方程，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-4】（2025·辽宁盘锦·模拟预测）解分式方程，去分母得（ ）
A． B． C． D．
【变式5-5】（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）解分式方程时，下列去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【基础题型六】分式方程中新定义类题型
例题6（24-25八年级下·河南·期中）对于非零实数a，b，规定，若，则x的值为 （　　）
A．3 B．2 C． D．
【变式6-1】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．无解
【变式6-2】（24-25八年级上·河北沧州·期末）定义一种新运算“※”为：，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）定义运算“★”：．若，则x的值为（ ）
A．3 B．10 C．或10 D．或
【变式6-4】（2025九年级下·河南商丘·期中）定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，满足．若，则x的值为 ．
【变式6-5】（24-25八年级上·青海果洛·期末）定义两种新运算“Δ”和“※”，其运算规则为，若，则 ．
【基础题型七】列分式方程（选填）
例题7（2025·广东广州·二模）赛龙舟是端午节的重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神，某地龙舟赛的赛程为500米，A，B两队在同一起点同时出发，已知A队的平均速度是B队的倍，结果A队比B队提前了25秒到达终点，若设B队的平均速度是x米/秒，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（2025·山东淄博·二模）甲、乙两人同时从某地出发，步行5千米来到游乐园，已知甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到15分钟，问甲乙两人每小时各走多少千米，若设甲每小时走千米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2025·贵州贵阳·一模）已知每个推车式灭火器（如图①）的价格比手提式灭火器（如图②）价格的6倍多20元．用1900元购买的推车式灭火器数量和用300元购买的手提式灭火器数量相同．设手提式灭火器的单价为x元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（2025·辽宁大连·二模）用相同的时间，某次列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，若平均提速，提速前列车的平均速度为多少 设提速前这次列车的平均速度为，根据行驶时间的等量关系，可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-4】（2025·广东广州·二模）为弘扬广府饮食文化，某校开展“广东点心制作”实践活动．已知甲组同学平均每小时比乙组多做个虾饺，甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同．求甲、乙两组同学平均每小时各做多少个虾饺．若设乙组每小时做个虾饺，可列出关于的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-5】（2025·山东聊城·二模）数学课上，甲乙丙丁四位同学对于题目“甲、乙两地相距360，张老师、王老师分别从甲地乘早7时出发的普通客车和8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达．已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是，两车的平均速度分别是多少？”列出了如下方程：
①设豪华客车的平均速度是，则甲列的方程为：；乙列的方程为：；
②设普通客车的平均速度是，则丙列的方程为：；丁列的方程为：；
则四位同学列出的方程正确的是（ ）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁
【变式7-6】（2025·广西南宁·模拟预测）马拉松不仅是一项体育赛事，更是融合历史、健康、文化等多维度的社会活动．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙30米，已知乙的平均配速为2.8米/秒，如果甲计划跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为米/秒，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【基础题型八】分式方程实际应用之行程问题
例题8（2025·山东滨州·二模）为迎接全国第39届科技创新大赛，学校创客社团积极备战，一节社团课上，小明用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，两辆赛车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差．已知，“畅想号”的平均速度为．
(1)请根据以上背景，提出一个合理问题并解决．（不添加条件，题目中的数据全部用上）
(2)如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退，两车同时出发，两车能否同时达到终点？若能，求出两车到达终点时间；若不能，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点．
【变式8-1】（重庆市铜梁区2024-2025学年九年级下学期学业质量监测数学试题）今年4月19日，全球首个人形机器人半程马拉松在北京亦庄开跑，这标志着我国人形机器人产业正在飞速发展．机器人甲参加了这次比赛，它先采用“跑步模式”以的速度跑完一段路程后，再采用“步行模式”匀速步行到达目的地（半程马拉松约为，本题按计算），共用时．此期间，已知机器人甲“跑步模式”的速度比“步行模式”的速度多．
(1)求机器人甲采用“跑步模式”所跑步的路程是多少？
(2)机器人乙也参加了本次比赛，当它速度为时，电池的续航时间为1h，每当速度提高，电池的续航时间将减少．实际比赛时，机器人乙满电量出发，当电量耗尽时就更换同规格满电量电池（更换电池时间忽略不计），并一直以的速度跑完比赛（）．已知机器人乙中途更换了3次电池，到达终点时，电量显示以这个速度还可以跑，求a的值．
【变式8-2】（2025·广东广州·一模）如图是两张不同类型火车的车票（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）：
(1)已知A、B两地之间的距离为，高铁的平均速度是动车平均速度的倍，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，那么动车和高铁的平均速度分别是多少时？
(2)高铁出发前，两车在什么时刻相距？
【变式8-3】（2025·广东汕头·一模）如图，某森林公园从山脚B到山顶A有一段12千米长的山路，已知小牧下山的平均速度是上山的平均速度的倍，他从山脚走到山顶、再从山顶走到山脚一共需要5小时．
(1)求小牧上山的平均速度；
(2)在此山路上有一处C，小牧从C处走到山顶A所用的时间等于从C处走到山脚B所用的时间，则C处离山顶A有多远？
【变式8-4】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米．
(1)若水流速度为每小时5千米，这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，求该货轮在静水中的速度．
(2)若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，段河流水速为每小时a千米，段因受降水影响，水速变为每小时b千米．设货轮在段的逆水航行时间为，在段的逆水航行时间为，请判断与的大小关系，通过计算说明理由．
【变式8-5】（24-25九年级上·重庆·期末）如图所示，、、三地在同一直线上，已知、两地分别与地的距离为和，甲、乙两人分别从、两地同时匀速前往地．
(1)若甲、乙的速度之和为，且甲出发40分钟后追上乙，求甲的速度；
(2)若甲、乙的速度之和为，当甲到达地后立即折返与乙相遇，求甲、乙的速度．
【基础题型九】分式方程实际应用之工程问题
例题9（2025年安徽省淮北市5月三模数学试题）在社会主义新农村建设中，某县准备修建一条千米长的乡村公路．甲工程队每月比乙工程队能多完成2千米，但甲工程队每月需要的经费比乙工程队多．已知这两个工程队单独完成这项工程所需经费相同．求甲工程队单独修建这条公路所需要的时间．
【变式9-1】（2025·重庆·二模）列方程（组）解应用题：重庆某动漫玩具创意企业计划委托供货商生产自己设计的甲、乙两种动漫玩具共7800个投放市场，甲玩具的数量比乙玩具数量的一半少300个．
(1)甲、乙两种动漫玩具的数量分别是多少个？
(2)若供货商安排20人同时生产这两种动漫玩具，每人每天能生产甲玩具20个或乙玩具30个，应分别安排多少人生产甲、乙玩具，才能确保同时完成两种玩具的生产任务？
【变式9-2】（24-25九年级下·重庆·期中）近年来，城市更新行动速度在加快，某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．
(1)第一期的改造工程面积为880平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成100平方米乙每天可完成80平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天？
(2)由于居民对第一期文化改造工程反映很好，引来了不少市民打卡参观，社区计划在A处建造400平方米文化宣传墙，由丙工程队负责，在B处建造160平方米的文化宣传墙由丁工程队负责，若丙每天可完成的工作量比丁每天可完成的工作量多5平方米，丙完成的时间是丁完成时间的2倍，求丙、丁每天可完成的工作量分别是多少平方米？
【变式9-3】（2025·云南·模拟预测）从2025年春晚到两会，具身智能逐步进入大众视野，具身机器人在提高效率，降低成本等方面潜力巨大．仓储物流是当前具身机器人商业化最前沿的领域之一，某智慧物流园快递分拣车间计划采用，两种型号的具身机器人分拣快递，已知型具身机器人比型具身机器人每小时多分拣30件快递，型具身机器人分拣600件快递所用时间与型具身机器人分拣480件快递所用时间相等，则两种具身机器人每小时分别分拣多少件快递？
【变式9-4】（2025·重庆九龙坡·二模）为了助力乡村振兴，某乡镇政府计划对一条长3000米的乡村道路进行改造．
(1)该工程原计划由甲队单独施工，工期为160天．刚开始每天施工16米，施工一段时后，甲队改进技术，施工效率提高了25％，刚好按时完工，则技术改造前甲队施工了多少天．
(2)由于工期需要，该工程决定由甲、乙两队共同完成，通过工程招标，甲队获得了1800米的改造工程，乙队获得了1200米的改造工程．甲、乙两队同时开始施工，甲队每天比乙队多施工20％，结果甲队比乙队晚20天完成任务．求乙队平均每天施工的米数．
【变式9-5】（2025·山东济南·二模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用，两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了420件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．
(1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？
(2)“五一”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要参与分拣，那么两种机器人分别安排多少台才能分拣完成？
【变式9-6】（2025·广东清远·二模）某县积极响应国家优先发展教育事业的重大部署，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面，铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务．
(1)原计划每天铺设路面多少米？
(2)若承包商原来每天支付工人工资为1200元，提高工作效率后每天支付给工人的工资为1500元，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
【基础题型十】分式方程实际应用之经济问题
例题10（24-25八年级下·重庆万州·期中）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小文在网上开设相关周边专卖店，一次，小文发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶少5元，花500元购进款哪吒玩偶的数量与花750元购进款哪吒玩偶的数量相同．
(1)求、两款的进货单价分别是多少元？
(2)小文决定将款玩偶的销售单价定为12元，将款玩偶的销售单价定为20元，小文打算购进、两款玩偶共75个，款的数量不小于款的一半，且款的数量不少于45个．请你根据计算说明，当、两款各购进多少时，小文获得的总利润最高？最高总利润为多少？
【变式10-1】（2025八年级下·全国·期中）某水果店第一次用540元购进一批杨梅，由于销售状况良好，该店又用1710元购进一批杨梅，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价多了1元．
(1)第一次所购杨梅的进货价是多少？
(2)该店以30元/销售这些杨梅，在销售中，第一次购进的杨梅有的损耗，第二次购进的杨梅有的损耗．问：该水果店售完这两批杨梅共可获利多少元？
【变式10-2】（2025·重庆·二模）列方程解应用题：某冷饮店购进椰子水和柠檬茶这两种夏季饮品共60箱．已知每箱椰子水占0.3立方米的存储空间，每箱柠檬茶占0.2立方米的存储空间，椰子水和柠檬茶两种饮品共占用16立方米的存储空间．
(1)请问该冷饮店采购了多少箱椰子水和多少箱柠檬茶？
(2)经市场调查，每箱椰子水的进价比每箱柠檬茶的进价多15元．如果用4500元采购椰子水的箱数与用3600元采购柠檬茶的箱数相同，那么采购这两种夏季饮品总共需要花费多少元？
【变式10-3】（2025·重庆·一模）合川桃片有香甜味和椒盐味两种类型，五一将至，小新打算购买若干袋香甜味桃片和椒盐味桃片．
(1)小新花费4300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元？
(2)由于市场供不应求，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋香甜味桃片的售价是每袋椒盐味桃片售价的1.2倍，小新分别花费了2400元、3600元购买香甜味桃片和椒盐味桃片，一共购买了100袋，求每袋椒盐味桃片的售价．
【变式10-4】（24-25九年级下·重庆·期中）某花店在售两种花束，郁金香和牡丹的进货成本分别为每束30元和40元，已知郁金香每束的售价是牡丹每束的售价的，已知用600元购买郁金香的束数比用1080元购买牡丹的束数少6束．
(1)求郁金香和牡丹每束的售价分别为多少元？
(2)随着春季花卉市场的火热，该花店在4月份对郁金香和牡丹的售价进行了调整，每束郁金香的售价上调了，每束牡丹的售价上调了，月底经统计4月郁金香的销售总量为400束，牡丹的销售总量为300束，若要保证4月的总利润为23000元，求a的值．
【变式10-4】（24-25八年级下·重庆·期中）蓝莓是一种营养丰富的浆果，因富含维生素受大众的喜爱．某水果批发商共花费14400元采购了“高丛”蓝莓和“矮丛”蓝莓进行批发销售．已知两种蓝莓的采购费用相同，每箱“高丛”蓝莓的采购价比每箱“矮丛”蓝莓的采购价高8元，且购进“高丛”蓝莓的箱数是购进“矮丛”蓝莓的箱数的
(1)求“高丛”蓝莓和“矮丛”蓝莓每箱的采购价；
(2)已知当前两款蓝莓市场批发价均为每箱50元，因节假日即将到来，两款蓝莓的批发价均有上涨趋势，于是该水果批发商立即将本批蓝莓全部存放于冷库．据市场调研分析，存入冷库后，每箱“高丛”蓝莓的批发价每天上涨2元，每箱“矮丛”蓝莓的批发价每天上涨3元，但平均每天“高丛”蓝莓和“矮丛”蓝莓都有1箱坏掉，同时冷库的使用成本为每天40元（储藏时间不超过15天）．若该批发商想通过这批蓝莓获得8600元的利润，需将该批蓝莓存入冷库多少天后一次性售出？
【变式10-5】（2025·重庆·二模）“一年一端午，一岁一安康”！端午节，是我国首个入选《人类非物质文化遗产代表作名录》的节日人们在端午节．这一天有吃“粽子”的传统，也寓意“祈福高中”．某班家委会妈妈们准备提前给孩子们预定“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”两款粽子若干个．已知“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵5元，2个“牛肉霸王粽”和3个“蛋黄板栗粽”总售价85元．
(1)请计算出“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”单价分别是多少元？
(2)实际购买时，商家正在对这两款粽子进行促销活动，它们的单价都下降了，降价后的“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵3元（两款粽子的单价均不低于10元）．妈妈们450元购买的“牛肉霸王粽”数量恰好比240元购买的“蛋黄板栗粽”数量多了10个，那么实际购买“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”各多少个？
【基础题型十一】分式方程实际应用之其他问题
例题11（24-25八年级下·江苏盐城·期中）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为．
(1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？
(2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值．
【变式11-1】（2025·山西·模拟预测）建设宜居宜业和美乡村是全面推进乡村振兴的一项重大任务．太原市某乡村为提升村容村貌，计划修建一处小公园，需要栽植甲种花木2100棵，乙种花木1200棵．现计划安排26人同时种植这两种花木，已知每人每天能种植甲种花木30棵或乙种花木20棵，则应分别安排多少人种植这两种花木，才能确保同时完成各自的任务？
【变式11-2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）小深家的新能源汽车，既可以纯油动行驶，也可以纯电动行驶．请你帮助小深完成下列问题：
动力源 纯油动 纯电动
行驶里程 a千米 a千米
总耗油(电)量 50升 70千瓦时
油(电)单价 7.6元/升 0.5元/千瓦时
每千米费用 ______元
(1)纯电动力时每千米费用为_______元；
(2)若每千米纯用油的费用比纯用电的费用多0.69元：
①求出a的值；
②若行驶这a 千米先后使用两种动力方式，总费用为242元，则汽车纯电动行驶了多少千米？
【变式11-3】（24-25九年级下·重庆万州·期中）重庆三峡移民纪念馆是为纪念三峡工程百万大移民而修建的专题性纪念馆，是国家一级博物馆、全国爱国主义教育示范基地，也是三峡库区重要的红色文化和移民文化保护、研究、展示中心．万州二中初2025届研学小组计划到三峡移民纪念馆参观学习．
(1)为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花260元租讲解员讲解移民工程和移民精神，后又临时增加2名同学，实际的讲解费虽然增加了10元，但实际的人均费用只为原来的人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数；
(2)三峡移民纪念馆的参观路线全长4.8千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体验”两个部分，他们参观“经典讲解”部分的平均速度是1米/秒，是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的4倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的30分钟，整个参观学习过程共2.5小时，求“经典讲解”部分参观路线的长度为多少千米？
【变式11-4】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）武汉某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人每小时的工作效率相当于一名工人每小时工作效率的倍，若用一台机器人分拣件货物，比原先名工人分拣这些货物只多用小时．
(1)求一台机器人每小时可分拣多少件货物？
(2)此仓库“双十二”前夕收到货物万件，为了在小时内分拣完所有货物，公司调配了台机器人和名工人，工作小时后，又调配了台机器人进行增援，该公司能否在规定的时间内完成任务？请说明理由．
(3)公司技术部为了提速，对机器人“东东”的程序进行优化．若该仓库有万件货物待分拣，用相同的时间分拣，提速后的“东东”可比提速前多分拣万件，则机器人“东东”平均提速______件/小时（用含的式子表示）
【变式11-5】（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了千克．
(1)“丰收号”的单位面积产量________千克/米，“丰收号”的单位面积产量________千克/米；
(2)单位面积产量高的是________（填“丰收号”或“丰收号”）；
(3)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求“丰收号”小麦的试验田的边长．
【变式11-6】（24-25八年级上·河北唐山·期末）某班生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下．
生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元，而每本硬面笔记本比软面笔记本贵元．” 学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本．”
(1)设每本软面笔记本x元，请你通过计算分析学习委员说得对不对；
(2)在购买两种笔记本的花费不变的情况下，若每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元，是否存在正整数a，使得两种笔记本的单价都是正整数，并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本？若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由．
【压轴题型十二】分式方程与一元一次不等式组结合
例题12（24-25九年级下·重庆·期中）若整数既使得关于的分式方程有整数解，又使得关于的方程组 的解为正数，则符合条件的所有的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式12-1】（2025·重庆·模拟预测）若数a使关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且使关于y的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数a的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式12-2】（2020·山东烟台·二模）若实数a使得关于x的分式方程＝﹣2的解为负数，且使得关于y的不等式组，至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．1
【变式12-3】（24-25九年级下·重庆北碚·期中）若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式12-4】（24-25九年级·重庆涪陵·期中）从﹣2，﹣1，0，1，2，3这六个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程1有整数解，那么这6个数中所有满足条件的a的值之和是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【变式12-5】（23-24九年级上·重庆·期中）若实数a使关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是 .
【变式12-6】（23-24八年级上·山东烟台·期中）关于x的一元一次不等式组的解集为，关于y的分式方程有负整数解，试求出符合条件的所有整数m的值．
【压轴题型十三】分式方程中新定义类题型
例题13（24-25八年级上·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”．
例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．
①（ ）；
②（ ）．
(2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由．
(3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小．
【变式13-1】（24-25八年级下·重庆石柱·期中）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．
例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，
①（______）；②（______）．若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”．
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值．
(3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
【变式13-2】（24-25八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”．
例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”．
(1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”．
(2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值．
(3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值．
【变式13-3】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．
例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．
①（ ）；②（ ）；③（ ）；
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值；
(3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
【变式13-4】（23-24八年级上·北京延庆·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]．
(1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号）
(2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值；
(3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k．
【变式13-5】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）我们约定：若关于的整式与同时满足：，，则称整式A与整式互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题：
(1)若关于的整式与互为“美美与共”整式，求k，m，n的值．
(2)若关于x的整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，且是的一个因式，求的值；
(3)若，且关于的方程的解为正整数，求的“美美与共”整式，并求出的最小值．
【压轴题型十四】分式方程中实际应用压轴题
例题14（24-25八年级上·福建厦门·期末）某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题．
(1)若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，
①用含有的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量；
②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求的值；
(2)若型号轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，安装在后轮行驶万千米后报废，其中，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式：
【变式14-1】（2024·江苏无锡·二模）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足．
(1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值；
(2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小 （在图中填写并证明）
(3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小 （在图中填写，无需证明）
(4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小 （在图中填写，无需证明）
【变式14-2】（23-24七年级下·浙江·期末）根据以下素材，探索完成任务
设计购买欲兑换方案
素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．”
素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数．
素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同
问题解决
任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价
任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式
【变式14-3】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同．
(1)问，款丝巾的进货单价分别是多少元？
(2)小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示：
日期 款丝巾（条） 款丝巾（条） 销售总额（元）
12月10日 4 6 2160
12月11日 6 8 3040
问：两款丝巾的销售单价分别是多少？
(3)根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高．
【变式14-4】（24-25九年级上·贵州安顺·期末）某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又购进第二批该款式的衬衫，已知进价每件比第一批降低了10元，若第二次购货款为2100元，则进货量是第一次的一半．
(1)这两次各购进这种衬衫多少件？
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，且不高于2250元，第二批衬衫的售价有哪几种方案？（售价是10的倍数）
(3)在（2）的条件下，服装店从第二批衬衫中拿出几件奖励员工，其余衬衫全部售出，销售这两批衬衫共获利1680元．直接写出奖励员工衬衫的件数．
1．（2025·广东肇庆·二模）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东淄博·二模）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递快件80件，若快递公司的快递员人数不变，则原来平均每人每周投递快件（ ）
A．200件 B．210件 C．250件 D．260件
3．（24-25八年级下·四川达州·期中）若方程有增根，则n的值为（ ）
A．0 B． C．5 D．以上都不对
4．（24-25八年级下·重庆·期中）2025年4月20日，美湖智造·2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松7：30鸣枪开跑！甲、乙两人参加了5千米的迷你跑比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达．设乙的速度为每分钟米，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025七年级下·浙江·期中）设，我们用符号表示两数中较小的一个，如，按照这个规定：方程的解为（　　）
A． B． C．或 D．
6．（24-25八年级下·全国·期中）若关于的方程的解与方程的解相同，则等于（ ）
A．3 B． C．2 D．
7．（2025·江苏常州·二模）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是 ．
8．（2025·青海西宁·二模）是关于的方程的解，则的值为 ．
9．（24-25九年级下·山东烟台·期中）若关于的方程有正数解，则的取值范围为 ．
10．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）一艘轮船顺流航行所用的时间与逆流航行所用的时间相同，水流的速度为．则轮船在静水中的速度为 ．
11．（2025八年级下·全国·期中）解方程：
(1)；
(2)．
12．（2025·云南昆明·二模）列方程解决实际问题：
2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知B款吉祥物的单价是A款吉祥物的单价的1.5倍．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量比花600元购买B款吉祥物的数量多20个，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？
13．（2025·安徽宿州·一模）某超市本周开展促销活动，将某种农产品降价出售，李叔叔本周用120元购买这种农产品，比上周用相同的钱购买这种农产品多买了6千克，设上周这种农产品的单价为元．
(1)根据上面提供的信息，请完成下列表格．
时间 单价（元/千克） 购买农产品的数量/千克
上周
本周
(2)与上周相比，这种农产品每千克便宜了多少元？
14．（24-25七年级上·上海·期末）关于的方程：．
(1)若方程有增根，求的取值；
(2)若方程无解，求的取值；
(3)若方程的解为整数，求整数的取值范围．
15．（24-25八年级下·山东济南·期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为．
(1)理解应用：方程的解为：_______，________；
(2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值；
(3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值

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