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2024-2025年人教版八年级下册数学期末专题训练：勾股定理解答题
1．如图，在中，，，．
(1)尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求的长．
2．如图，在中，．以点B为圆心，以任意长为半径作弧交，于点M，N，以点M，N为圆心，以大于的长为半径分别作弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D．
(1)判断：与的数量关系是 ；
(2)若，求的长．
3．如图，在中，为边上的高，垂足为，为上一点，且，，延长交于点.
(1)求证：；
(2)若，，求的长.
4．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了、和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米．
(1)求四边形的面积；
(2)小明和小林以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度．
5．如图，中，，，于，于．
(1)求证：，
(2)若，，求的长．
6．如图，在中，于点，点在上，连接交于点，，．
(1)求的长；
(2)若，求的长．
7．如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数．
8．已知：如图，四边形中，，，，，，
(1)判断△ACD的形状，并说明理由；
(2)求四边形的面积．
9．如图，在四边形中，已知，点在上，且．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
10．如图，在四边形中，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求四边形的面积．
11．如图所示，在四边形中，，，，．
(1)求的度数；
(2)四边形的面积．
12．如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上．
(1)求的长；
(2)求的周长．
13．如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．

(1)求证：；
(2)若，时，求的面积．
14．如图，在中，．点是延长线上的点，连接．
(1)若，，．求的长；
(2)若平分，，，直接写出的长．
15．如图，是等边的中线，交的延长线于点，垂足为点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长度．
16．如图，在四边形中，，相交于点为边上一点，且．
(1)求证：；
(2)求的度数（用含的代数式表示）；
(3)若，，求的长．
17．已知：如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接．
(1)求证：；
(2)连接，与之间有怎样的位置和数量关系？请说明理由．
18．已知：如图，在中，，平分交边于点，，，垂足为为中点，与、分别交于点、．
(1)求证：；
(2)求证：．
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第8页，共9页
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《2024-2025年人教版八年级下册数学期末专题训练：勾股定理解答题》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质和勾股定理及全等三角形的判定与性质．
（1）根据角平分线作图完成即可；
（2）过点作于点，先求出，证明，得出，再根据勾股定理求出结论．
【详解】（1）解：尺规作图如图所示．
（2）解：过点作于点．
在中，，，，
由勾股定理得．
，
，
∴，
∴，
∴．
在中，，
即，
解得．
2．(1)
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）根据作图得到平分，即可得出结果；
（2）过点作于点，证明，得出．根据勾股定理求出．设，则．根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：由作图可知：平分，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
．
，
又，
，
．
在中，
由勾股定理得．
设，则．
在中，
，
，
解得，
的长为．
3．(1)见解析
(2)14
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法.
（1）根据即可证明；
（2）由勾股定理求出，再根据线段的和差即可求解.
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
∴；
（2）解：在中，，
，
.
4．(1)平方米
(2)线段的长度为米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理得出，再根据三角形的面积公式，即可求解；
（2）根据题意得出米，设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵米，米
∴米
∵
∴
∴是直角三角形，且
∴四边形的面积为平方米
（2）解：依题意，米，
设米，则米
在中，
∴
解得：，即线段的长度为米．
5．(1)见解析
(2)13
【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理，解答时证明三角形全等是关键；
（1）根据条件可以得出，进而得出；
（2）根据全等三角形的性质得出，，根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：，，
，
．
∵，
，
．
在和中，
，
；
（2）解：，
，，
，，
，
∵，
．
6．(1)5；
(2)．
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定，解一元一次方程，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；
（1）根据勾股定理可得答案；
（2）根据题意可得 ，再设，可表示，然后根据得出方程，求出解即可．
【详解】（1）解：由题意，，
在中，；
（2）解：在中，，
．
设，则，
，
，
解得：，
．
7．
【分析】根据，，可以得到为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，从而可以求得，进而可求得的度数．本题考查勾股定理的逆定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出和的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵， ，
∴ 为等边三角形，
∴，，
又∵， ，，
∴， ， ，
∴
∴为直角三角形，
∴ ，
∴．
8．(1)是直角三角形.
(2)
【分析】本题考查了四边形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及逆定理的应用，属于中考常考题型．
（1）利用勾股定理可得，再利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）把四边形的面积转化为两个三角形的面积和求解即可．
【详解】（1）是直角三角形，
理由：在中，，，，
．
，，，
，，
，
是直角三角形，；
（2）解：；
，
，
四边形的面积为84．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质：
（1）等边对等角，结合角的和差关系推出，进而得到，证明即可；
（2）过点作于点，设，易得，，根据，求出的值即可．
【详解】（1）证明：在四边形中，，，
，，
∵，
，
．
在与中，
，
（）．
（2）当时，由（1）知，
∴，
过点作于点，如图．
设，则，
∵，
∴，
，
，
．
10．(1)直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）由勾股定理求出，再勾股定了逆定理可得，据此即可求得答案；
（2）由，代入即可得出结论．
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得：
是直角三角形
（2）解：在中，
在中，
．
11．(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
（1）先通过勾股定理求得，再根据勾股定理逆定理的知识即可求解；
（2）根据，进行作答，即可求解；
【详解】（1）解：∵，，，
在中，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
，
∴；
（2）解：
；
12．(1)4
(2)
【分析】本题考查了轴对称性质，直角三角形的性质，勾股定理定理，利用勾股定理求出线段是解题的关键．
（1）先根据勾股定理求出线段，根据轴对称的性质，最后求得的长；
（2）由翻折知，在中，利用勾股定理求出，在中，求出，即可求得的周长．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
由折叠得：
，
的长为4；
（2）由翻折得，
，
在中，，
设，则，
，
解得，
，
在中，，
的周长．
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论；
（2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点E作于F，
由（1）知，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质等；
（1）由勾股定理得，，即可求解；
（2）过作交于，由角平分线的性质得，由勾股定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解；
掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：过作交于，
，
，，
，
平分，，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
解得：．
故的长为．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，结合，可推出，然后根据对顶角相等得到，即可证明；
（2）根据等边三角形的性质和中线的性质得到，，然后根据直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半求得，再得到，最后利用勾股定理先求得，即可再求得．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，，
，
又，
，
．
（2）解：是等边三角形，，
，，
是等边的中线，由（1）可知，
，
，
，由（1）可知，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，等腰三角形的判定，中线性质，直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）首先得到垂直平分线段，然后结合，即可得到；
（2）首先得到，然后利用三角形内角和定理求解即可；
（3）如图，连接、过点作于点，首先证明出，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：，
垂直平分线段，
，
又，
；
（2）解：垂直平分线段，
∴，
又，
∴，
，
，
，
∵，
∴，
，，
∴，
∵，
，
，
；
（3）解：如图，连接、过点作于点，
垂直平分线段，
，
又，
∴，
∴，
∴
设，则，
，
∴，
又，
，
，
，
又，
∵，
，
，
在和中，由勾股定理得，
，
，
∵，
，
解得：，（舍去），
，
，
又，
在中，．
【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等角对等边，勾股定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
17．(1)见解析
(2)，，见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角，三角形的内角和定理等可求出，然后根据角平分线的性质即可得证；
（2）根据含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的定义等可得，根据三线合一的性质，在中，根据含角的直角三角形的性质得出，在中，由勾股定理得，，证明为等边三角形，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：，，
理由：∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用．
18．(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
【分析】（1）根据题意可得，是等腰直角三角形，则，，再证，得到，即可求解；
（2）如图所示，连接，运用等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质得到，，在中由勾股定理得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵,平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，则，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵点是的中点，，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
在中，，
∴ ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的运用，掌握等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的运用是关键．
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