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2024-2025年人教版八年级下册数学期末专题训练：平行四边形证明题
1．如图，菱形的对角线与相交于点，点为中点，连接并延长至点，使得，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若菱形的周长为40，平行线与间的距离为7，求四边形的周长．
2．如图，已知：菱形的两条对角线，交于点，，．
(1)若，，求菱形的周长；
(2)求证：四边形为矩形．
3．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若四边形的周长为18，，求平行线与间的距离．
4．如图，在矩形中，点为对角线的中点，点是上一点，连接并延长交于点，连接、．
(1)求证：；
(2)当，且平分时，试判断四边形的形状，并说明理由．
5．如图，在中，交的延长线于点E，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)F为的中点，连接，．已知，，求的长．
6．如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
7．如图，在中，点，在对角线上，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，四边形的面积为2，则的面积为 ．
8． 如图，在平行四边形中，平分交边于点E，过E作交边于点F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平行四边形的周长为22，，，求的长．
9．如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，O为的中点，连接并延长交边于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平行四边形的周长为22，，求的长．
10．如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求四边形的周长．
11．如图，在中，，分别为，的中点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
12．四边形为正方形，点为对角线上一点，连接.过点作，交边于点．
(1)求证；
(2)以，为邻边作矩形，连接.若，，求的长度．
13．如图，在中，对角线、相交于点，．
(1)求证：．
(2)点在边上，满足，若，，求及的长．
14．如图，是的对角线，于点于点，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
15．如图，在平行四边形中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点．
(1)求证：四边形为平行四边形．
(2)若，请你判断四边形的形状，并证明．
16．如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C，D作，和交于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)当，时，求的值．
17．如图，将沿翻折，点落在点处，与相交于点．连接并延长，交的延长线于点．
(1)求证：．
(2)求证：四边形是平行四边形．
18．如图，在中，，于点，点在上，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点在线段的垂直平分线上，且，求证：四边形是矩形．
19．如图，在四边形中，，点E在的延长线上，，连接交边于点F，且，连接，且．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
20．已知：如图，的对角线、相交于点O，过点O的直线分别与、相交于点E、F．
(1)求证：；
(2)连接，若，，且，求的周长．
21．如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长度．
22．如图，在平行四边形中，是对角线上的两点（点在点左侧），且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求线段长．
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第10页，共11页
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《2024-2025年人教版八年级下册数学期末专题训练：平行四边形证明题》参考答案
1．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
（1）根据已知条件证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，即可得证；
（2）根据题意证明是直角三角形，设平行线与间的距离为，即，进而根据菱形的周长公式求得的长，即可求解．
【详解】（1）证明：点为中点，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：菱形的周长为40，，
，
，
是直角三角形，
，
设平行线与间的距离为，，
，
又，
，
，
，
四边形是矩形，
．
2．(1)菱形的周长为；
(2)证明见解析．
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据四边形是菱形，则，，，，由勾股定理得，然后求出菱形周长即可；
（）由，，则四边形是平行四边形，通过菱形的性质得出，所以，然后由矩形的判定方法即可求证．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴菱形的周长为；
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
3．(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先由菱形得到，，然后证明出四边形是平行四边形，然后结合即可得到四边形是矩形；
（2）首先得到，然后由菱形求出，然后勾股定理求出，然后利用完全平方公式的变形得到，然后利用菱形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：矩形的周长为18，
．
四边形是菱形，
，，，
，根据勾股定理得，
，
．
设平行线与间的距离为h，
，
．
【点睛】此题考查了矩形的判定，勾股定理，菱形的性质，完全平方公式的变形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
4．(1)见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定及性质，证明四边形是菱形，解题的关键是掌握相应的判定定理；
（1）利用直接证明三角形全等；
（2）先证明四边形为平行四边形，再利用全等证明，通过对角互相平分且垂直即可判断．
【详解】（1）证明：在矩形中，点为对角线的中点，
，
，
；
（2）解：，
，
又，
四边形为平行四边形，
，且平分时，
，，
，
，
，
，
四边形为菱形．
5．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答．
（2）因为四边形是矩形，则，因为为CD的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
又，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得四边形是矩形，，
，
为的中点，
，
∵
，
由勾股定理得．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)
【分析】（）由平行线的性质可得，又是的角平分线，则，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，又从而求证；
（）先证明是等边三角形，则，由平行四边形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，是中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定定理，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）连接交于O，由平行四边形的性质得到，再证明，进而证明，据此可证明结论；
（2）求出，则，据此可证明，同理可得，由此可得答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
8．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质得到，再证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形的判定证明即可；
（2）先证明四边形是平行四边形，求得，，再利用菱形的性质结合30度的直角三角形的性质求得，再根据勾股定理计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵平行四边形的周长为22，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
9．(1)证明见解析
(2)5
【分析】（1）证明得，结合得四边形是平行四边形，再由即可得四边形是菱形；
（2）先证明是等边三角形，得；再证明四边形是平行四边形，得，由周长关系即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵O是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些性质与判定是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理．解题关键在于通过证明三角形全等得出边平行关系以判定平行四边形；利用勾股定理结合已知线段长度求出平行四边形的边长，进而求出周长．
（1）由，通过，得到 ，再结合，利用“”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）定理证明 ．全等三角形对应角相等，得到 ，根据内错角相等两直线平行，推出 ，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，从而得证．
（2）先求出的长度为 ．在中，已知， ，根据勾股定理（其中为斜边，、为两直角边）求出的长度．因为，在中，再根据勾股定理求出的长度．由于四边形是平行四边形，平行四边形对边相等，得出， ，最后根据平行四边形周长公式求出周长．
【详解】（1）证明：，，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解： ，，
，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形的周长为．
11．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据三角形的中位线定理得，结合，即可求证；
（2）证明是等边三角形，，再由勾股定理求解，即可求解．
【详解】（1）证明：点，分别为边，的中点，
是的中位线，，
，.
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：如解图，连接，
，，
.
，
是等边三角形，
，，
∴，
∴，
∴，
，
.
是的中点，
，
即的长为．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，添加合适的辅助线构造三角形全等是解题的关键．
（1）连接，利用正方形的性质证明，推出，证明，得到，即可得出结论；
（2）根据矩形和正方形的性质可证明，推出，求出，根据，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图，
是正方形对角线，
，

，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：四边形为矩形，，
四边形为正方形，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
13．(1)详见解析
(2)，
【分析】此题重点考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质、勾股定理和等腰三角形的性质与判定，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）证明四边形是矩形，则；
（2）根据勾股定理求得，得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到的长；过点作于点，则，可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴；
（2））解：在中，，，
根据勾股定理得，
四边形是矩形，
，．
，
．
过点作于点，则，
，
在中，，
在中，．
14．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质；
（1）先证明，可得；
（2）先证明，，可得，再证明，可得，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，，
∴．
∴，
在和中，
∴．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
15．(1)证明见解析；
(2)四边形为菱形，证明见解析．
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）利用平行四边形性质以及全等三角形的判定和性质得出，即可证得四边形为平行四边形；
（2）先利用全等三角形的判定得出，进一步由（1）知四边形为平行四边形，得出即可判断四边形的形状．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，，且，
又点E、F、G、H分别是边、、、的中点，
，，
，
，
同理，
四边形为平行四边形；
（2）解：当时，四边形为菱形．证明如下：
，四边形是平行四边形，
，
又点E、F、G、H分别是边、、、的中点，
，，
，
，
由（1）知四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形得到，即可证明其为矩形；
（2）由含角的直角三角形的性质得，进而由勾股定理得，则，再由矩形的性质得，，然后由勾股定理求出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）已证：四边形是矩形，
∴，
则在中，，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可得，，，根据折叠可得，根据全等三角形的性质得出，，进而证明；
（2）由（1）得，，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而得出，即可证明，结合，及可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，．
沿翻折，点落在点处，
．
，．
，．
又．
．
（2）证明：由（1）得，，
，．
，．
，．
，．
即，．
又，
．
，
又．
四边形是平行四边形．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再证明．则．即可证明四边形是平行四边形；
（2）证明是直角三角形，．即可证明四边形是矩形．
【详解】（1）证明：，
．
，
．
，
．
．
四边形是平行四边形．
（2）点在线段的垂直平分线上，
．
，
．
是直角三角形，．
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，证明四边形是平行四边形是关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据可证，，再证，推出，等量代换可得，根据，证明四边形为平行四边形，再根据直角三角形斜边中线的性质推出，即可证明四边形为菱形；
（2）先求出菱形的边长，作于点，根据含度角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，即可求出菱形的面积．
【详解】（1）证明：，点E在的延长线上，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
；
，
四边形为平行四边形，
，，
是斜边的中线，
，
四边形为菱形；
（2）解：如图，作于点，
，，
，
四边形为菱形，
，
，，
，
，
，
菱形的面积．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；全等三角形对应边相等．
（1）根据平行四边形的性质得出，，则，证明，即可求证；
（2）连接，根据平行四边形的性质得出，由，得到，进而推出，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：连接
，
，
，
垂直平分，
，
，
又，，
．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等，掌握菱形的性质、矩形的判定和性质是解题的关键．
（）证明，可得，进而由得到，即可求证；
（）连接，由菱形的性质可得，即得，得到，再根据矩形的性质得，，最后利用勾股定理解答即可求解；
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
22．(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
（1）根据，可推出，再根据平行四边形的性质可得，，即可得出，，进而可证四边形是平行四边形．
（2）根据勾股定理可得，进而得出，根据全等三角形的性质和判定可得，．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
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