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2024-2025年人教版八年级下册数学期末专题训练：一次函数解答题
1．一次函数和的图象如图所示，且，．
(1)关于的不等式的解集为______；
(2)若不等式的解集是，求点的坐标．
2．如图，一次函数图象与y轴交于点A，一次函数图象与x轴交于点，两函数图象交于点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)计算四边形的面积．
(3)下列说法正确的有______（填序号）；
①关于x的不等式的解集是；②关于x的方程的解是；
③关于x的不等式的解集是．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点．
(1)求和的值；
(2)若直线与轴相交于点，动点从点开始，以每秒2个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒：
①点的坐标为___________，点D的坐标为___________；
②若点在线段上，且的面积为10时，求的值；
③直接写出为何值时，为等腰三角形．
4．如图，直线与直线相交于点．
(1)确定直线的函数表达式．
(2)直线与直线与轴分别相交与、两点，求的面积．
(3)直接写出关于的不等式 的解集．
5．定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、．
(1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______．
(2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
①求出点坐标；
②求出的面积．
6．如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、．
(1)分别求出点、、的坐标；
(2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、为常数且）的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求的值及一次函数的表达式；
(2)关于的不等式的解集为 ；
(3)直线上存在点，满足的面积是的面积倍，则点的坐标为 ．
8．如图，直角坐标系中，一次函数的图象l1分别与x、y轴交于A、B两点，正比例函数的图象与l1交于点．
(1)求m的值及的解析式；
(2)求的值；
(3)一次函数的图象为，且不能围成三角形，请你直接写出k的值．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点A，点A的横坐标为，点A与点B关于y轴对称．
(1)求点的坐标；
(2)将直线沿轴向下平移得到直线，与轴交于点，若的面积为，求平移后的直线的函数表达式．
10．如图，直线与直线交于点，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点C．
(1)求m和b的值；
(2)已知点D在x轴上，且的面积为4，求直线的解析式；
(3)在x轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，一次函数的图像与正比例函数的图像交于点，与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，且．
(1)求点的坐标及一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)点为直线上一点，若面积为面积的一半，求点坐标．
12．已知：如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，平面内有一点，直线与x轴交于点．直线的解析式记作，直线BE解析式记作．
(1)求直线，的解析式；
(2)当______时，；
(3)在轴正半轴上有一动点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出的坐标．
13．如图，过点A的两条直线，分别与y轴交于点B，C，已知，．
(1)求点A的坐标；
(2)若的面积为，求直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点M，使得的面积是的面积的2倍 若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，直线分别交轴和轴于点，，，．
(1)求点的坐标；
(2)若点在轴的负半轴上，的面积为4，求直线的解析式．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的另一直线交轴正半轴于，且面积为15．
(1)求点的坐标；
(2)若为线段上一点，且的面积等于的面积，求的坐标；
(3)在（2）的条件下，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．已知直线l：，O是坐标原点
(1)画出l的图象；
(2)直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积；
(3)标出直线l上横坐标为的点D，并求点D的纵坐标；
(4)标出直线l上和x轴距离是1的点E，并求点E坐标
17．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与直线交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．
(1)填空：_________________________________；
(2)求的面积；
(3)当点E落在y轴上时，求点E的坐标；
(4)若为直角三角形，求点D的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，．
(1)求直线的解析式；
(2)将直线向下平移4个单位后得到直线l，直线l与y轴交于点M，求的面积．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点．
(1)点A的坐标是___________，点B的坐标是________；
(2)点D在直线上（D不与B重合），当的面积等于的面积时，求出点D的坐标；
(3)点E是y轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点B恰好落在x轴上，请直接写出满足条件的E点坐标．
20．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点C，分别与x轴交于A，B两点．已知点，，，观察图象并回答下列问题：
(1)关于x的方程的解是________；
(2)求关于x的不等式的解集；
(3)求的面积．
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第12页，共13页
第13页，共13页
《2024-2025年人教版八年级下册数学期末专题训练：一次函数解答题》参考答案
1．(1)
(2)
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）根据观察函数图象，即可求解；
（2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解．
【详解】（1）解；∵在中，，
∴随x增大而增大，
∵的函数图象经过，
∴∴不等式的解集为；
（2）解：把点代入，得：
，解得，
∴，
∵不等式的解集是，
∴点的横坐标为，
∴在中，当时，，
∴点的坐标为．
2．(1)
(2)
(3)②③
【分析】本题考查了一次函数综合，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，三角形面积公式，是解题的关键．
（1）先求得，再利用待定系数法求解即可；
（2）设交y轴于点D，求出，得，由求出，得，根据，，得；
（3）观察图象，利用数形结合，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数图象经过点，
∴，
∴，
∵一次函数图象经过点和，
∴，
解得，
∴一次函数；
（2）解：设交y轴于点D，
当时，，
∴，
∴，
∵中，时，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：观察图象，
①关于x的不等式的解集是，
说法不正确；
②关于x的方程的解是，
说法正确；
③关于x的不等式的解集是，
说法正确．
综上，正确的说法是②③；
故答案为：②③
3．(1)，；
(2)，；；或或或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）将点代入，求出m的值，再代入中求出b即可；
（2）把代入直线解析式，即可求得；
利用面积公式列出方程进行求解即可；
分三种情况： ，和分别求t的值即可．
【详解】（1）解：在中，
当时，，
当时，，
，，
点在直线上，
，
，
又点也在直线上，
，
解得，，
，；
（2）解：直线与轴相交于点，
由（1）得，
，
解得，
点的坐标为，
由（1）得点的坐标为；
故答案为：，；
过点作于点，即为的高，如图所示，
，，
，
的面积为，
，，
，，
，
设，则，
，
解得；
为等腰三角形有三种情况：
过作于，如图1所示，
则，，
，
，
第一种情况：当时，，
，
此时，解得；
第二种情况：当时，和分别在点两侧，如图2所示，
则，
，
，
或，解得或；
第三种情况：当时，如图3所示，
设，则，
，
，
解得，，
与重合，，
，
，解得；
答：为等腰三角形时，的值为或或或．
4．(1)
(2)9
(3)
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够根据题意确定直线的解析式，再结合图象解不等式．
（1）将代入，得出，即，再代入即可求解．
（2）分别求得的坐标，然后根据三角形的面积公式，即可求解；
（3）根据函数的图象确定不等式的解集即可．
【详解】（1）将代入，
∴
∴，
∴，
将代入得
解得；，
∴；
（2）解：在中，当时，，则
在中，当时，，则
∴
又∵
∴的面积为．
（3）根据函数图象可得不等式 的解集为．
5．(1)，
(2)①；②
【分析】本题考查的是一次函数新定义，熟练掌握新定义，一次函数的图象和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键．
（1）由新定义求出函数表达式，代入即可求解；
（2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，联立的，解析式即可求解；②求出A，C的坐标，可得线段的长，由，即可．
【详解】（1）解： 由新定义知，的解析式 ，
把点C的坐标代入上式，
得，
解得，
故答案为：，；
（2）解：①∵一次函数图像上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
∴点D是两个函数的交点，
联立解析式，
得，
解得，
即点；
②由，
得；
由，
得；
∴、，
∴，
∴．
6．(1)，，
(2)
(3)或或或
【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有∶一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数图象的交点，一次函数图象与性质，菱形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解答本题的关键．
（1）联立两直线解析式求出点的坐标，分别令和，带入直线解析式求出点、的坐标；
（2）根据在直线上，设，表示出面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可；
（3）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分四种情况考虑∶①当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时；④当四边形为菱形时，分别求出Q坐标即可．
【详解】（1）解：根据，解方程组得，得，
分别令和，带入直线解析式得点、的坐标，．
（2）解：设，
且，
，
，
，
令直线解析式为，
把，代入得：
，
，
，
直线的函数表达式为．
（3）解：①当四边形为菱形时，如图，
，得四边形为正方形；
，
即．
②当四边形为菱形时，如图
得，带入直线的解析式，得
解得，
∴，
∵四边形为菱形，
∴、关于对称，即、关于y轴对称，
．
③当四边形为菱形时，如图，
，
设，
则，
解得（负值舍去），
∴，
，
④当四边形为菱形时，如图，
同③可求，，
综上得点的坐标为或或或．
7．(1)，；
(2)；
(3)或．
【分析】本题考出来一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法、三角形面积公式及数形结合思想是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解；
（2）根据数形结合思想求解；
（3）根据三角形的面积公式求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
，
解得：
一次函数的表达式为：；
（2）解：由图象得，当时，，
故答案为；
（3）解：设，
由题意得：，
解得：或，
或，
或，
故答案为：或．
8．(1)，
(2)12
(3)或或
【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论思想．
（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到的解析式；
（2）过C作于D，于E，则再根据可得进而得出的值；
（3）分三种情况：当经过点时，当，当计算k值即可
【详解】（1）把代入一次函数，可得
，
解得：，
设的解析式为，则
，
解得：，
∴的解析式为，
（2）过C作于D，于E，则
，令，则；令，则，
（3）一次函数的图象为，且不能围成三角形，分三种情况：
当经过点时，，解得：；
当时，，
当时，，
故k的值为或或
9．(1)点的坐标为
(2)或
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，轴对称的性质，三角形的面积，正确把握变换规律是解题关键．
（1）把代入直线的解析式求得A的坐标，然后根据轴对称的性质求得点B的坐标；
（2）由的面积为3，求得，从而求得点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式．
【详解】（1）解：把代入直线l：
得：，
点，
A与点B关于y轴对称，
点 B 的坐标为；
（2）由，可知 ，
如图，设与y轴的交点为D，得．
，
，
，
，
直线是由直线l平移得到，
可设直线的函数表达式为，
①当点C在上方时，点C的坐标为，
将代入，得，
直线的函数表达式为；
②当点C在下方时，点的坐标为，
将代入，得，
直线的函数表达式为．
综上，平移后的直线的函数表达式为：或．
10．(1)m的值为4，b的值为5
(2)或
(3)存在，P的坐标为或或或
【分析】（1）把代入，求得，代入求得；
（2）根据的面积为4，求得，根据，求得，得到或，设直线解析式为，当时，求得直线的解析式为；当时，求得直线的解析式为；
（3）设，求出，①当时，根据，得到轴，根据，得到；当时，根据勾股定理得到，，解得或，得到，；当时，根据点与C关于对称，求出，得到．
【详解】（1）解：把代入得：
，
∴，
把代入得：
，
解得;
∴m的值为4，b的值为5；
（2）解：∵的面积为4，
，
即，
∴，
在中，令，则，
解得，，
∴，
∴或
设直线解析式为，
，
当时，，
解得，，
∴直线的解析式为：；
当时，，
解得，，
∴直线的解析式为：；
故直线的解析式为：或；
（3）解：存在点P，使为等腰三角形，理由如下：
设，
在中，
令，则，
解得，，
∴，
①当时，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∵，
∴；
②当时，
∵，，
∴，
解得，，或，
∴，；
③当时，
点与C关于对称，
∴，
∴，
∴；
故P的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，等腰三角形判断和性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键．
11．(1)，
(2)6
(3)，
【分析】本题主要考查了一次函数综合应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）结合点在上，即可确定点的坐标；再确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）首先确定点坐标，进而确定，然后计算的面积；
（3）结合题意确定点的横坐标，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线解析式为，
将点，代入，
得，解得，
∴该一次函数的解析式为；
（2）对于一次函数，
令，可得，解得，
∴，
∴，
∴；
（3）∵面积为面积的一半
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴或，
又∵点在直线上，
∴，．
12．(1)直线的解析式为；直线的解析式为
(2)
(3)点的坐标为，或
【分析】（1）根据待定系数法即可求出直线、的解析式；
（2）当直线在直线上方时，有．结合图象即可得出结论；
（3）设点的坐标为，用两点间的距离公式找出、、的长度，结合为等腰三角形的三种情况，即可求出的值．
【详解】（1）解：观察函数图象可知：
点，点，点，
将、点坐标代入直线的解析式中，
得，
解得：．
直线的解析式为．
将点，代入到直线的解析式中，得，
解得：．
直线的解析式为．
（2）解：结合函数图象可知：
当时，；
故答案为：；
（3）解：设点的坐标为．
点，点，
，，．
为等腰三角形分三种情况：
①当时，即，
解得：，
此时点的坐标为，（舍去）或，；
②当时，即．
解得：（舍去），或．
此时点的坐标为；
综上可知：点的坐标为，或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式、结合函数图象解决不等式、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）结合函数图象解不等式组；（3）分等腰三角形的三种情况考虑．
13．(1)
(2)直线的解析式为
(3)存在，点M的坐标为或
【分析】本题考查了勾股定理，求一次函数解析式，涉及方程思想，数形结合思想；
（1）由勾股定理求出的长，即可得点A的坐标；
（2）设点C的坐标为，由面积关系可求得点C的坐标，用待定系数法即可求解；
（3）求出的解析式，设点M的坐标，利用面积关系建立方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
由勾股定理得：，
∴，
∴点A的坐标为；
（2）解：设点C的坐标为，其中，则，
由题意得：，
解得：，
即；
设的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为；
（3）解：存在
设解析式为，把点A坐标代入得：，
解得：，
即；
设，
∵，
∴，
由题意得，
即，
解得：；
∴点M的坐标为或．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键．
（1）由点A的坐标得，在中由勾股定理可求得的长，即可得点B的坐标；
（2）由面积求出点C的坐标，再用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图，设，则，
∵，
∴，
即，
∴；
设直线解析式为，把B、C两点坐标分别代入得：，
解得：，
∴，
即直线的解析式．
15．(1)
(2)
(3)或或．
【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据三角形的面积求出C；
（2）求出直线的表达式，根据求解即可；
（3）求出直线的表达式，然后分三种情况：①当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时；②当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时；③当为平行四边形的对角线时，讨论求解即可．
【详解】（1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴，
即，
∵面积为15，
∴，
∴，
∴
（2）设直线的表达式为，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：
解得：
∴直线的表达式为：；
∵，
∴，解得：，
∴
解得：，
∴；
（3）∵，
设直线的表达式为，
将点A、M的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：
∴直线的表达式为：．
①当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，如图：
∵，，
∴点E的纵坐标是5，
∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：．
∴，解得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，如图：过点E作轴于F，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点E的纵坐标是，
∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：．
∴，解得：，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
③当为平行四边形的对角线时，
∵，，
∴点E的纵坐标是5，
∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：．．
∴，解得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
综上，存在，满足条件的点D的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
16．(1)见解析
(2)；
(3)图见解析，；
(4)图见解析，或
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）分别求出直线直线l与x轴交于点，与y轴交于点，描点连线即可；
（2）由（1）可知，点A的坐标为，点B的坐标为，即可求出面积即可；
（3）求出点D的纵坐标，标出点D；
（4）求点E坐标，并标出点E即可
【详解】（1）解：当时，，
当时，，解得，
∴直线直线l与x轴交于点，与y轴交于点，
如图，过点和作直线即为所求，
（2）由（1）可知，点A的坐标为，点B的坐标为，
∴的面积；
（3）如图点D即为所求，
当，
∴点D的纵坐标为
∴点D的坐标为；
（4）当时，，解得，
当时，，解得，
∴点E的坐标为或
如图点即为所求，
17．(1)，4，8；
(2)20；
(3)
(4)或
【分析】此题考查一次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用三角形面积公式直接计算即可；
（3）过点作轴于，轴于，则，，由折叠得，利用勾股定理列得，代入计算即可得到的长，由此得到答案；
（4）分两种情况：①当时，过作x轴于，得到，从而得到答案；当时，由折叠得，，设，则，利用勾股定理得到，求出m，再求即可得到答案．
【详解】（1）解：将代入直线中，得
，
解得，
∴直线的解析式为，
将点的坐标代入，得，
∴，
将点的坐标代入直线中，得，
解得，
故答案为：，4，8；
（2）∵直线的解析式为：，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的面积；
（3）过点作轴于，轴于，则，，
由折叠得，
∴，
∴，
解得（负值已舍去），
又在轴负半轴，
∴；
（4）分两种情况：
①当时，如图，
由折叠得，
∴，
过作轴于，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当时，如图，
由折叠得，，
∴，
由、两点坐标可得：，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
综上，或．
18．(1)；
(2)6
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得，根据的面积，求解即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式的解析式为，
将点，代入得，
解得，
∴直线的解析式的解析式为；
（2）解：记直线与y轴的交点，
∵将直线向下平移4个单位后得到直线l，直线l与y轴交于点M，
∴，
∴的面积．
19．(1)；
(2)
(3)或
【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理，用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
（1）令，求B点坐标，令，求A点坐标；
（2），由题意可得，求出t的值即可求D点坐标；
（3）设，当B点的对称点在x轴负半轴上时，在中，，可求；当B点的对称点在x轴正半轴上时，在中，，可求．
【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点，
令，则；令，则，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：设，
∴，
∵的面积等于的面积，
∴，
解得（舍）或，
∴；
（3）设，
如图1，当B点的对称点在x轴负半轴上时，
∵，，
∴，，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
在中，，
解得，
∴；
如图2，当B点的对称点在x轴正半轴上时，
由折叠可知，，，
∴，
在中，，
解得，
∴，
综上，或．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式．
（1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案；
（2）根据图象找到图象在图象上方所对应的的范围．
（3）利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象，与轴交于点，
∴关于的方程的解是，
故答案为：；
（2）解：∵点的坐标为，
∴由图象可知，不等式的解集是．
（3）解：，
，
．
答案第2页，共6页
答案第1页，共6页

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