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2024-2025年人教版八年级下册数学期末专题训练：一次函数解答题专题训练
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求出的面积．
2．如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数的图像与轴交于点，且经过点．
(1)求点的坐标和一次函数的解析式；
(2)根据图像，直接写出的解集．
3．如图，直线分别交轴和轴于点，，，．
(1)求点的坐标；
(2)若点在轴的负半轴上，的面积为4，求直线的解析式．
4．已知，直线与轴、轴分别交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)在直线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：分别与x轴、y轴交于点C、点D，直线与相交于点P．
(1)求点P的坐标；
(2)求的面积．
6．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．
(1)求的值；
(2)请根据图象直接写出时，的取值范围；
(3)求的面积．
7．如图所示，根据图中信息．
(1)求直线、的解析式及点的坐标；
(2)根据图象，直接写出时的取值范围；
(3)连接，求．
8．如图，直线与y轴交于点，直线分别与x轴交于点，与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接．
(1)求两直线交点D的坐标；
(2)根据图象，直接写出当时，自变量x的取值范围_______；
(3)求的面积．
9．如图，直线的表达式为，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点．
(1)求直线的表达式：
(2)求点的坐标；
(3)若在轴上存在一点，使得的面积是的面积的倍，请直接写出点的坐标．
10．如图，已知一次函数的图象经过，两点，一次函数的图象与直线交于点C．
(1)由图可知，不等式的解集是________；
(2)若不等式的解集是．
①求点C的坐标；
②求a的值．
11．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图像如图所示，已知A，B两点的坐标分别为，，观察图像回答下列问题：
(1)关于x的一元一次方程的解是____________；
(2)若C点的坐标为，则关于x的不等式的解集是____________；
(3)关于x的不等式组的解集是____________．
12．如图所示，已知正比例函数与一次函数的交点P的坐标为，其中，满足，且与轴交于点；

(1)求点的坐标；
(2)求直线与直线的函数解析式；
(3)求的面积．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
(1)求m和b的值；
(2)直线与轴交于点，动点在线段上从点开始以每秒1个单位的速度向点运动．设点的运动时间为秒．
①若的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
14．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上．
(1)求m，n的值；
(2)已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，求点M的坐标．
15．直线分别与x，y轴交于A，B两点、过点B的直线交x 轴正半轴于点C，且．

(1)直接写出点A、B、C 的坐标；
(2)在线段上存在点P， 使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标．
16．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点．
(1)填空：
①线段的长度为 ；
②方程组的解为 ；
(2)结合图形直接写出的解集；
(3)求的面积．
17．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)结合图象，求不等式的解集．
18．如图所示，已知正比例函数和一次函数，它们的图象都经过点，且一次函数图象与轴交于点．
(1)求、的值；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集________
19．如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点．
(1)求的值及的解析式；
(2)求的值；
(3)若点为直线上不与点、重合的一个动点．当的面积是5时，求点的坐标；
20．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线的函数解析式；
(2)设点M是x轴上的一个动点，如图2，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．
①若的面积为，求点P的坐标；
②连接，如图，若是等腰三角形，直接写出点M的坐标．
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第12页，共13页
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《人教版八年级下册数学第十九章 一次函数解答题专题训练》参考答案
1．(1)
(2)3
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、求两条直线的交点等知识，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键；
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先联立两个函数的解析式求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，与y轴交于点，
∴，解得，
∴此一次函数的解析式为；
（2）解：解方程组，
得，
∴点C的坐标是，
∴的面积．
2．(1)，
(2)
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象和性质等知识点，正确求出的值是解题关键．
（1）把点代入直线的解析式求出的值，根据点、的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据图像写出直线在直线上方时对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：∵点在一次函数的图像上，
∴，
解得：，
∴，
∵一次函数的图像与一次函数的图像交于点，的图像经过点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为．
（2）解：∵
∴由图像可知：的解集为：．
3．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键．
（1）由点A的坐标得，在中由勾股定理可求得的长，即可得点B的坐标；
（2）由面积求出点C的坐标，再用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图，设，则，
∵，
∴，
即，
∴；
设直线解析式为，把B、C两点坐标分别代入得：，
解得：，
∴，
即直线的解析式．
4．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）求出点D的坐标，利用计算解题；
（3）根据，列方程求出的值，即可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，把代入得：
，解得，
∴直线的解析式为；
（2）当时，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
解得或，
当时，，点P的坐标为；
当时，，点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
5．(1)；
(2)6．
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，三角形面积等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出直线的解析式为，联立两直线解析式得，求解即可；
（2）求出点B、D的坐标，得到，再利用三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵直线交x轴于点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立两直线解析式得，
解得：，
∴点P的坐标为；
（2）解：∵直线与y轴交于点B，
当时，，
∴点B的坐标为，
∵直线与y轴交于点D，
当时，，
∴点D的坐标为，
∴，
∴．
6．(1)
(2)
(3)4
【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式，面积问题等．掌握一次函数的图象和性质是解题关键．
（1）将代入求解即可；
（2）由（1）得，结合函数图象即可得出结果；
（3）根据题意确定，得出，结合图象根据求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
得，
∴；
（2）由（1）得，
根据图象得：当时，的图象在下方，即此时，
∴的取值范围是．
（3）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当时，；当时，；
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴．
7．(1)直线的解析式，直线的解析式，
(2)
(3)
【分析】（）利用待定系数法可求出直线、的解析式，再联立两函数解析式解方程组可求出点的坐标；
（）根据点坐标及函数图象解答即可；
（）设直线与轴的交点为，可得，即得，再根据计算即可求解；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题，一次函数的几何应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∴直线的解析式，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴直线的解析式，
由，解得，
∴；
（2）解：∵，
∴时的取值范围为；
（3）解：如图，设直线与轴的交点为，
把代入，得，
∴，
∴，
∴．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将代入，即可求出m的值，将代入即可求出k的值，联立求D的坐标；
（2）由图可直接得出时自变量x的取值范围；
（3）由可知，C点坐标为，分别求出和的面积，相加即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
∴；
将代入得，
解得：，
∴，
联立：，
解得：，
故D点坐标为；
（2）解：根据函数图象可知：当时，函数的图象在函数图象的下面，
∴当时，自变量x的取值范围为：；
（3）解：把代入得，
∴C点坐标为，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了两函数的交点问题，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
9．(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一次函数的表达式的求法、一次函数的图象与坐标轴的交点问题．
设直线的表达式为，把点，的坐标代入，利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
解方程组，即可求出点的坐标；
根据点，的坐标计算出的面积，根据的面积是的面积的倍，可知的面积是，根据三角形的面积公式可以求出的长度，分点在点的左侧或右侧两种情况求出点的坐标．
【详解】（1）解：设直线的表达式为，
把点，的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的表达式为；
（2）解：解方程组，
解得：，
点坐标为；
（3）解：点，的坐标分别为，，
，，
的面积为，
的面积是的面积的倍，
的面积为，
点坐标为，
，
解得：，
当点在点左侧时，点的横坐标是，
点的坐标是，
当点在点右侧时，点的横坐标是，
点的坐标是，
点坐标为或．
10．(1)；
(2)①；②．
【分析】本题是对一次函数的综合考查，熟练掌握一次函数求解析式，一次函数图像及不等式知识是解决本题的关键．
（1）根据即可得到答案；
（2）①根据题意求出，得到点C的横坐标，即可得到答案；
②点C在的图象上，得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：
故不等式的解集是；
故答案为：．
（2）解：①，在一次函数的图象上，
，
，
，
不等式的解集是，
点C的横坐标，
当时，，
点C的坐标为；
②点C在的图象上，
，
．
11．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）利用直线与x轴的交点即为时，对应的x的值为方程的解，据此即可解答；
（2）利用两直线与x轴的交点坐标，结合图象即可即可解答；
（3）利用图象求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数与x轴的交点为，
∴关于x的方程的解是，
故答案为：
（2）解：∵一次函数和一次函数的交点，
∴根据图象可得关于x的不等式解集为．
故答案为：
（3）解：∵一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知A、两点的坐标分别为，，
∴关于的不等式组的解集是．
故答案为：
12．(1)点P的坐标为
(2)的函数解析式为；的函数解析式为
(3)6
【分析】本题考查了待定系数法发求函数解析式，一次函数综合，算术平方根和偶次方的非负性，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）根据算术平方根和偶次方的非负性解答即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）过点P作，交于N，求出和长，利用三角形的面积公式计算解题．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得，
∴点P的坐标为
（2）解：设的函数解析式为，代入点P，
解得，
∴的函数解析式为；
设的函数解析式为，代入点P，点A得；
，解得
∴的函数解析式为；
（3）解：过点P作，交于N，

∵P，
∴，
点Q为与轴的交点，
∴Q，
∴，
．
13．(1)，
(2)①7秒；②当秒或秒或秒时，为等腰三角形．
【分析】（1）把点代入直线中得：，则点，直线过点，，；
（2）①由题意得：，，中，当时，，，，，即可求解；②分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：把点代入直线中得：，
点，
直线过点，
∴，
解得：．
（2）解：①由题意得：，
中，当时，，
，
，
中，当时，，
，
，
，
的面积为10，
，
，
则的值为7秒；
②设点，点、的坐标为：、，
当时，则点在的中垂线上，即，
解得：；
如图，当时，过点作轴于，则，
∵直线与轴，轴分别交于，两点，
∴当时，，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点与点重合时，故，
解得：；
当时，由勾股定理得：，
∴,
∴
故：当秒或秒或秒时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算及勾股定理等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
14．(1)，；
(2)或
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质以及勾股定理，分及两种情况，求出点M的坐标是解题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线l的解析式及点A，P的坐标，分及两种情况考虑：①当时，轴，结合点P的坐标可得出点M的坐标；②当时，设点M的坐标为，利用勾股定理，可求出a的值，进而可得出点M的坐标．
【详解】（1）解：∵直线交y轴于点，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为．
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为；
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为，
即，；
（2）分两种情况考虑：
①当时，轴，
∴点M的坐标为；
②当时，设点M的坐标为，
∴，，，
∵，
∴，
解得：，
∴点M的坐标为．
综上所述，点M的坐标为或．
15．(1)，，
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标，勾股定理，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）把代入求出x的值，即可得出点A的坐标； 把代入求出y的值，即可求出B的坐标；根据，求出，即可求出点C的坐标；
（2）连接，设，则，在中，根据勾股定理可得：，据此列出方程求出x的值，进而得出，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵点P到B，C的距离相等，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
16．(1)①；②
(2)
(3)
【分析】（1）①解方程得到，，得，根据勾股定理得，代入数据计算即可；
②根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到结论；
（2）根据图形可知，两函数图象的交点，再结合图形可得结论；
（3）利用三角形面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：①在中，
当时，；当时，，
∴，，
∴，
∴，
∴线段的长度为，
故答案为：；
②∵直线与直线交于点，
∴方程组的解为，
故答案为：；
（2）∵直线与直线交于点，直线与轴交于点，
当时，直线的图象在直线的下方且在轴的上方，
∴的解集为；
（3）∵，，，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，一次函数与二元一次方程组的关系，利用图象解不等式，三角形的面积等知识点，掌握一次函数的图象与性质，利用图象解不等式及求三角形的面积是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）将代入可得，则，再用待定系数法求直线的表达式即可；
（2）根据点B坐标，结合函数图象即可求得答案．
【详解】（1）解：过点，
解得：，
，
直线过点，，
，解得：
直线的表达式为；
（2）解：结合图象可知，的解集为，
即的解集为，
由（1）可知，
的解集为．
18．(1)，
(2)3
(3)
【分析】此题主要考查了一次函数的性质，待定系数法求函数解析式以及三角形面积求法，正确求出函数解析式是解题关键．
（1）将代入正比例函数可求，将代入一次函数，可求的值；
（2）利用三角形面积求法得出答案；
（3）根据交点坐标可求不等式的解集．
【详解】（1）解：将代入正比例函数得，
解得，
将代入一次函数得，
解得；
（2）解：因为
所以
因为
所以的面积为：；
（3）解：由图象可知，不等式的解集为．
故答案为：．
19．(1)，；
(2)15
(3)点的坐标为或．
【分析】本题考查了一次函数与几何综合、正比例函数，熟练掌握一次函数和正比例函数的图象与性质是解题关键．
（1）将代入直线的解析式即可得的值；再利用待定系数法即可得直线的解析式；
（2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得；
（3）设，根据题意得，据此求解即可得．
【详解】（1）解：将点代入一次函数得：，
解得；
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为；
（2）解：对于一次函数，
当时，，解得，
即，，
当时，，即，，
由（1）知：，
∴；
（3）解：设，
由题意得，
解得或，
或，
∴点的坐标为或．
20．(1)
(2)①或；②或或或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，等腰三角形的定义以及性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）先求出的坐标，对称性求出点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可；
（2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可；
（3）先由两点间距离公式求出，然后分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：对于，
由得：，
∴，
由得：，解得，
∴，
∵点C与点A关于y轴对称
∴，
设直线的函数解析式为，则，
解得．
∴直线的函数解析式为；
（2）解：①设，
则、
如图1，过点B作于点D，
∴，，
∴，
解得，
或
∴或；
②∵，
∴，
当时，则或；
当时，如图：
设，则，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴；
当时，
∵，
∴，
∵，
∴此时点M与点C重合，
∴，
综上所述：是等腰三角形时，点M的坐标为或或或．
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