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2024-2025年人教版八年级下册数学期末专题训练：一次函数中的面积问题
1．现有如下定义：关于x的一次函数与叫作一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数．
(1)一次函数与函数________是一对交换函数；
(2)如图，一次函数的图象为直线与x轴交于点A，它的交换函数的图象为直线与x轴交于点B，与交于点C，求的面积．
2．已知：如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过点的一次函数的图象相交于点，直线与轴相交于点．
(1)直线的函数表达式为：______；点的坐标为______；（直接写出结果）
(2)点为线段上的一个动点，连接．
若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标；
点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线下方的轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)点在直线上，当的面积为面积的时，求点坐标．
4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．
(1)求的值；
(2)请根据图象直接写出时，的取值范围；
(3)求的面积．
5．如图，已知直线：，直线：与轴交于点，且与交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)记直线与轴的交点为，记直线与轴的交点为，求的面积；
(3)根据图象，直接写出的解集．
6．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴， 轴于，两点．
(1)求点， 的坐标；
(2)画出该函数的图象；
(3)若点， 连接， ， 求的面积．
7．已知：如图一次函数与的图象相交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积；
(3)结合图象，直接写出时x的取值范围．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求出的面积．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，直线与x轴、y轴分别交于点C、D，交直线于点M．
(1)直线一定经过某定点吗？请说明理由．
(2)若点B、O关于点D对称，求此时直线的解析式；
(3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值．
10．如图，一次函数和的图象相交于点B，且一次函数分别与y轴和x轴交于A和C，若．
(1)求直线的解析式；
(2)若不等式的解集是．求a的值．
(3)的图象与x轴交于点P，在（2）的条件下求的面积
11．如图，直线经过点，，点在轴上，且，连接．
(1)求直线的表达式；
(2)若平分，交于点，连接，求的面积；
(3)在线段上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
12．已知：如图，三个顶点的坐标分别为．
(1)若与关于轴成轴对称，请在网格中画出；
(2)的面积 ；（直接写出结果）
(3)若点为轴上一点，当最小时，点坐标是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若直线 ：与轴、轴、直线分别交于点、、，求面积．
14．如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点．
(1)求的值与求直线的解析式；
(2)根据图像，直接写出关于的不等式的解集；
(3)求四边形的面积．
15．已知一次函数图象经过点：
(1)求的值．
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
(3)若点是轴上一点，且的面积是6，直接写出点的坐标．
16．如图，一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，这两个函数的图象相交于点A．
(1)求k，b的值和点A的坐标；
(2)结合图象，直接写出时x的取值范围；
(3)求的面积．
17．已知直线l：，O是坐标原点
(1)画出l的图象；
(2)直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积；
(3)标出直线l上横坐标为的点D，并求点D的纵坐标；
(4)标出直线l上和x轴距离是1的点E，并求点E坐标
18．已知一次函数，它的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)画出函数的图象；
(2)点的坐标为_____，当_____时，；
(3)求的面积．
19．如图所示，已知正比例函数与一次函数的交点P的坐标为，其中，满足，且与轴交于点；

(1)求点的坐标；
(2)求直线与直线的函数解析式；
(3)求的面积．
20．如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A，B两点．
(1)求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解；
(2)求的面积；
(3)若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值．
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《2024-2025年人教版八年级下册数学期末专题训练：一次函数中的面积问题》参考答案
1．(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的应用.
（1）根据“交换函数”的定义作答即可；
（2）先求出，再求出，，得到的值，最后根据三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）由题意可知：一次函数与函数是一对交换函数，
故答案为：；
（2）解：∵与交于点C，
∴，
解得，
∴，
∵直线与x轴交于点A，
∴把代入得，
解得，
∴，
同理可得，，
∴，
过点C作，垂足为D，
∴，
∴
答：的面积为．
2．(1)，
(2)或
【分析】（1）将点代入中，求出，再联立，求出点的坐标即可；
（2）分两种情形或分别构建方程解答即可；
当点落在轴正半轴上（即为点）时，过点作，，垂足分别为点、，由翻折的性质得，所以，由（2）知，即，所以，由勾股定理得，求得，即可得解．
【详解】（1）解：将点代入，得，
，
直线的函数表达式为；
联立，
解得：，
，
故答案为：，；
（2）解：直线将的面积分为两部分，
或，
在中，当时，，
，
在中，当时，，
，
，
如图中，过点作轴于点，则，
，
或，
设，由题意知，
过点作轴于点，则，
或，
解得：或，
当时，；当时，，
的坐标为或；
存在，点的坐标为，
当点落在轴正半轴上（即为点）时，如图：
过点作，，垂足分别为点、，
由翻折得，
，
由（2）知，即，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得：，
点的横坐标为，
在中，当时，，
，
综上所述，点的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两个一次函数的交点坐标，求一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质定理，翻折的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
3．(1)
(2)点坐标为或
【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积等知识点，学会运用用转化的思想思考问题成为解题的关键．
（1）由直线与直线交于点得，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，再根据的面积为面积的求得，设，再分点M在上方和下方两种情况，分别根据以及三角形面积公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵直线与直线交于点，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，
∵直线与轴交于点，与直线交于点，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为．
（2）解：∵直线的解析式为，
令，则，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
①点在上方时，如图，
，解得：，
∴点坐标为；
②点在下方，即如图，
∴，解得：，
∴点坐标为．
综上，点坐标为或．
4．(1)
(2)
(3)4
【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式，面积问题等．掌握一次函数的图象和性质是解题关键．
（1）将代入求解即可；
（2）由（1）得，结合函数图象即可得出结果；
（3）根据题意确定，得出，结合图象根据求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
得，
∴；
（2）由（1）得，
根据图象得：当时，的图象在下方，即此时，
∴的取值范围是．
（3）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当时，；当时，；
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴．
5．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与不等式，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求得两条直线的解析式．
（1）将点，代入直线：，即可求出直线的解析式；
（2）先求出点和点的坐标，再根据三角形的面积公式即可作答；
（3）根据图象，要找满足的解集，只需找到对应的x的范围，满足直线的图象在的图象上方．
【详解】（1）解：经过点，，
，
解得，
∴的直线解析式为；
（2）解：在直线的解析式中，
令，则，
∴，
在直线的解析式中令，则，
，
∴，
；
（3）解：根据图象，因为，且直线与交于点，
所以，
故的解集为．
6．(1)点A的坐标为，点B的坐标为；
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法．
（1）分别令求解即可；
（2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可；
（3）根据三角形的面积求出即可．
【详解】（1）解：令，则，解得，
令，则，
所以，点的坐标为，
点的坐标为；
（2）解：如图：
（3）解：如图，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
，
．
7．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键．
（1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标；
（2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果；
（3）根据函数图象和点A的坐标即可得到结果．
【详解】（1）解：联立，解得，
∴点A坐标为．
（2）解：当时，，即，则B点坐标为；
当时，，即，则C点坐标为；
，
的面积为：．
（3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是．
8．(1)
(2)3
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、求两条直线的交点等知识，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键；
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先联立两个函数的解析式求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，与y轴交于点，
∴，解得，
∴此一次函数的解析式为；
（2）解：解方程组，
得，
∴点C的坐标是，
∴的面积．
9．(1)经过定点，见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形，中点坐标公式，三角形的面积公式，熟练掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键．
（1）根据直线的解析式，转化为关于m的一元一次方程有无数解问题解答即可．
（2）根据题意，得，点，再根据线段中点坐标公式，列式即可求解；
（3）首先求得点的坐标，再分两种情况，根据三角形的面积公式，即可分别求得点的坐标，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵关于m的一元一次方程有无数解，
∴，
∴，
∴一定经过定点．
（2）解：当时，，
故点，
当时，，
故点，
由点B、O关于点D对称，
∴，
解得，
故．
（3）解：根据题意，得一定经过定点，
当时，，
∴也一定经过点，
∴点是直线与直线的交点，
则，
当时，，当时，，
故，，
故，
∴，
当时，，
故点，
∴，
∵直线将的面积分为两部分，
当时，
∴，
解得；
当点C运动到x轴的正半轴上的点F处时，根据题意，得，
此时，
当时，
∴，
解得；
综上所述，当或时，直线将的面积分为两部分．
10．(1)
(2)10
(3)
【分析】本题考查的是一次函数图象以及利用不等式解集求解一次函数中未知数，两直线的交点问题，解题的关键在于熟练掌握待定系数法求解析式以及学会利用图象法找出关键信息交点的横坐标．
（1）根据待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）根据图像即可求出点横坐标，将点横坐标代入即可求出点坐标，将其代入即可求出的值；
（3）先求出与轴交点，则求出，再由即可求解．
【详解】（1）解：由图可知，和在一次函数上，
，，
，
，
，
直线的解析式为：；
（2）解：的解集是，点为和交点，
的横坐标为1．
将点的横坐标1代入中，解得．
．
将代入中，，
；
（3）解：由（2）得，
当时，，
解得：，
∴，
∴
∴．
11．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）直线经过点，，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）过点作轴，垂足为点，如图．可得，均为等腰直角三角形， 可得，再利用三角形的面积公式计算即可；
（3） 取点，连接，并延长与线段交于点，证明，可得，，再进一步求解即可．
【详解】（1）解： 直线经过点，，
解这个方程组，得
直线的表达式为．
（2）解：，，
，
，
．
过点作轴，垂足为点，如图．
，均为等腰直角三角形，
；
（3）解：存在点，使得，理由如下：
取点，连接，并延长与线段交于点，
．
，，
，
．
，
．
点在轴的正半轴上，
，
直线的表达式为．
联立解得．
在线段上存在点，使得．
【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
12．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查作图-位似变换，轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握位似变换，轴对称变换的性质．
（1）根据轴对称的性质找出的对称点，再顺次连接即可；
（2）运用分割法求解即可；
（3）连接，运用待定系数法求出的直线解析式，令，求出的值即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：的面积，
故答案为：；
（3）解：∵B与关于y轴对称，则，
连接，交于点,如图，
则,
根据“两点之间，线段最短”可知，最小值为，即线段的长；
设直线的解析式为
把，代入解析式得，，
解得，，
∴直线的解析式为
∴当时，
∴．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，坐标与图形面积，一次函数的交点坐标问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）把代入可得答案；
（2）先求解点的坐标为，、，联立与可得，则，再利用三角形的面积公式计算即可；
【详解】（1）解：把代入，
得，
，
∴直线：；
（2）解：直线：，
∴点的坐标为，
∵直线：与轴、轴、直线分别交于点、、，
当时，，当时，，解得，
、，
联立与得，
解得，
，
，
，
的面积为；
14．(1),
(2)
(3)
【分析】（）把点坐标代入中求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；
（）根据函数图象找到当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案；
（）得出点的坐标，进而根据四边形的面积解答即可；
本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，一次函数与不等式之间的关系，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵直线与直线相交于点,
∴，
解得
∴，
把点，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为：；
（2）解：由图象可知，当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围为，
∴不等式的解集是；
（3）解：把代入得，，
∴，
把代入得，，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形的面积．
15．(1)
(2)作图见解析
(3)点的坐标为或
【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定一次函数表达式、一次函数图象与性质、求一次函数图象与坐标轴交点、描点法作一次函数图象、平面直角坐标系中求三角形的面积、含绝对值的方程等知识，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）由待定系数法，将代入求解即可得到答案；
（2）由（1）中求出的一次函数表达式，求出直线与坐标轴的交点坐标，采用描点法作出一次函数图象即可得到答案；
（3）根据题意，作出图形，数形结合表示出的面积，建立方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：一次函数图象经过点，
将代入得到，
解得；
（2）解：由（1）知一次函数，
当时，，即一次函数图象与轴交于；
当时，，即一次函数图象与轴交于；
由描点法作一次函数的图象，如图所示：
（3）解：如图所示：
，点是轴上一点，且的面积是6，
设，
则，
即，解得或，
点的坐标为或．
16．(1)，，
(2)
(3)
【分析】本题考查了两条直线的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解此题的关键．
（1）根据待定系数法即可求得k、b的值，然后解析式联立，解方程组即可求得A的坐标；
（2）根据图象即可求得；
（3）根据三角形面积公式即可得出答案
【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，
，，
，，
两函数解析式联立，得，
解得：，
；
（2）观察图象，时x的取值范围是．
（3），，，
，点到轴的距离为，
．
17．(1)见解析
(2)；
(3)图见解析，；
(4)图见解析，或
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）分别求出直线直线l与x轴交于点，与y轴交于点，描点连线即可；
（2）由（1）可知，点A的坐标为，点B的坐标为，即可求出面积即可；
（3）求出点D的纵坐标，标出点D；
（4）求点E坐标，并标出点E即可
【详解】（1）解：当时，，
当时，，解得，
∴直线直线l与x轴交于点，与y轴交于点，
如图，过点和作直线即为所求，
（2）由（1）可知，点A的坐标为，点B的坐标为，
∴的面积；
（3）如图点D即为所求，
当，
∴点D的纵坐标为
∴点D的坐标为；
（4）当时，，解得，
当时，，解得，
∴点E的坐标为或
如图点即为所求，
18．(1)见解析；
(2)，；
(3)
【分析】本题主要考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
（1）根据题意可知点A、B的坐标，然后再图象上描出点A、B，进而问题可求解；
（2）结合图象即可求解；
（3）根据（1）可直接进行求解的面积．
【详解】（1）解：列表表示当，时函数的对应值：
x 0
0
过点与点画一条直线，如图即是函数的图象；
；
（2）解：由图象可知，图象与轴的交点的坐标为，当时，；
故答案为：，；
（3）解：由（1）可知，，
，，
．
19．(1)点P的坐标为
(2)的函数解析式为；的函数解析式为
(3)6
【分析】本题考查了待定系数法发求函数解析式，一次函数综合，算术平方根和偶次方的非负性，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）根据算术平方根和偶次方的非负性解答即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）过点P作，交于N，求出和长，利用三角形的面积公式计算解题．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得，
∴点P的坐标为
（2）解：设的函数解析式为，代入点P，
解得，
∴的函数解析式为；
设的函数解析式为，代入点P，点A得；
，解得
∴的函数解析式为；
（3）解：过点P作，交于N，

∵P，
∴，
点Q为与轴的交点，
∴Q，
∴，
．
20．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，两条直线相交或平行问题以及三角形面积，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将点代入，求出点的坐标，再将点代入直线，求出的值，即可得到答案；
（2）根据解析式求出的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出答案；
（3）根据题意求出的坐标，结合的长为2，得到关于的一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：把点代入，得，
∴．
把点P坐标代入，得，
∴，
∴直线的表达式为，
则方程组的解为；
（2）解：∵：，：，
当，，
解得：，，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：直线与直线的交点C为，
与直线的交点D为．
∵，
∴，
∴，
∴．
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