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2024-2025年人教版七年级下册数学期末专题训练：平面直角坐标系中面积问题
1．把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形．
(1)在图中画出三角形；
(2)在平移过程中，线段扫过的面积为_____；
(3)点在轴上，且三角形与三角形面积相等，请直接写出点的坐标为_____．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知三点，且a、b满足关系式，．
(1)求a，b的值．
(2)求四边形的面积．
(3)是否存在点使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中画出向右平移3个单位，再向下平移4个单位的；
(2)写出点，，的坐标：________，________，________；
(3)设点在轴上，且的面积等于面积的两倍，求出点的坐标．
4．如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，点A、B、C的对应点分别为D、E、F．
(1)画出，并直接写出点E的坐标；
(2)判断线段与的关系为__________；
(3)求的面积．
5．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，将点向右平行移动个单位长度到点，动点从点出发沿射线的方向以个单位长度/秒的速度运动，运动时间为秒．
(1)求四边形的面积；
(2)当三角形 的面积为四边形的面积的时，求的值；
(3)当为何值时，．
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在网格点上，的坐标分别为．
(1)填空：点的坐标为
(2)求出的面积．
(3)把向下平移个单位，再向左平移个单位，得到．在图中画出并写出、、三点的坐标．上的一点的坐标为，求点的对应点的坐标．
7．已知，点，，且．
(1)求的值．
(2)平移线段，点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线交于点，设点运动的时间为秒．
①如图，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由；
②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标．
8．在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，位置如图．
(1)将向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，请在图中作出平移后的三角形；
(2)内一点随一起平移，得到对应点，则_______，_______．
(3)求出的面积．
9．如图，在平面直角坐标三角形系中，三角形的顶点在网格点上，点的坐标为．若把三角形先向下平移3个单位长度，再右平移2个单位长度，得到三角形．
(1)写出点的坐标并求出三角形的面积；
(2)在图中画出三角形并写出三点的坐标；
(3)若三角形上有一点，求点的对应点的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为个单位长度，三角形的顶点，的坐标分别为，．
(1)直接写出点的坐标为 ；
(2)平移三角形，将点移动到点点，其中点的对应点为，点的对应点为．
①在平面直角坐标系中画出三角形；
②求点，的坐标；
③求三角形的面积．
11．如图1，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，且
(1)求a、b的值并写出A、B两点的坐标；
(2)点C在x轴上，三角形的面积是三角形面积的一半，求点C的坐标；
(3)如图2，点在x轴负半轴，，交y轴于点D，直接写出点D的坐标．
12．如图，，，点B在x轴上，且．
(1)直接写出点B的坐标；
(2)求的面积；
(3)在y轴上是否存在P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为4.5？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足．
(1)填空： ，
(2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积
(3)在（2）条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标．
14．如图，三角形中，，，△是平移之后得到的图形，并且的对应点的坐标为．
(1)作出平移之后的图形△，并写出、两点的坐标分别为 ；
(2)求的面积；
(3)轴上有一点，使的面积与相同，求坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)将向上平移个单位长度得到，画出，并写出的坐标；
(2)画出关于轴对称的，并写出的坐标；
(3)求出的面积．
16．如图，在平面直角坐标系中，，
(1)在图中画出向右平移5个单位，向下平移2个单位后的．
(2)写出点，，的坐标．
(3)求的面积．
17．如图，在平面直角坐标系中，点，，，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．

(1)直接写出点D的坐标：______；
(2)求的面积；
(3)已知点，若的面积与的面积相等，求m的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为、、．
(1)在下图中画出关于x轴的对称图形，并直接写出点的坐标： ；
(2)求的面积；
(3)若在y轴上有点P，使得求点P的坐标．
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《2024-2025年人教版七年级下册数学期末专题训练：平面直角坐标系中面积问题》参考答案
1．(1)见解析
(2)15
(3)或
【分析】本题考查作图平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）直接求出四边形的面积即可．
（3）设点的坐标为，根据题意可列方程为，求出的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求．
（2）解：在平移过程中，线段扫过的面积为．
故答案为：15．
（3）解：或．设点的坐标为，
三角形与三角形面积相等，
，
解得或4，
点的坐标为或．
故答案为：或．
2．(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】本题考查了坐标与图形的性质、非负数的性质、梯形的面积、三角形的面积等知识点，掌握直角坐标系中三角形面积的求法是解题的关键．
（1）根据“几个非负数相加和为零，则每一个非负数的值均为零”，求出a，b的值；
（2）由点，，点，可得四边形为直角梯形，根据直角梯形的面积公式计算即可；
（3）根据点，列出，即可求解．
【详解】（1）解：，，，
，，
，；
（2）由（1）得，，，
，
，
，
点、点，
轴，轴，
，
四边形为直角梯形，且，，，
四边形的面积；
（3）存在，理由如下：
的面积，，
，
，
点P的坐标为或．
3．(1)见解析
(2)；；
(3)或
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，解题的关键是得到平移后对应点的坐标．
（1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点，，的坐标，描出，，并顺次连接，，即可；
（2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可；
（3）先求出的面积，进而得到的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到，，，
∴，，．
（3）解：∵，，，
∴轴，
∴，
∵的面积等于面积的两倍，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点P的坐标为或．
4．(1)作图见解析，
(2)平行且相等
(3)9.5
【分析】本题考查的是作图——平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
（1）根据图形平移的性质画出图形，再根据在坐标系中的位置写出点的坐标；
（2）根据平移的性质即可解答；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，；
（2）由平移的性质可得，线段与的关系为平行且相等，
故答案为：平行且相等；
（3）的面积为．
5．(1)
(2)或
(3)
【分析】（）过点作交的延长线于，可得，四边形是矩形，即得，再根据计算即可求解；
（）由四边形的面积为得，即得的边上的高的长都等于，又由平移得，得到，即可得，解方程即可求解；
（）由得两点的横坐标相同，，解方程即可求解；
本题考查了坐标与图形，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：过点作交的延长线于，则，如图所示，
∵将点向右平行移动个单位长度到点，
∴，轴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，交的延长线于，
∴，，
∴
，
∴四边形的面积为；
（2）解∵四边形的面积为，
∴，
∵点在任何位置(不包括点)，的边上的高的长都等于点到轴的距离，
即的边上的高的长都等于，
∵动点从点出发沿射线的方向以个单位长度/秒的速度运动，运动的时间为秒， ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
∴的值是或；
（3）解：时，如图，
∵，
∴两点的横坐标相同，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴当时，．
6．(1)
(2)
(3)作图见解析，，，，
【分析】本题考查平面直角坐标系，及坐标系中的平移作图，平移性质，三角形面积，熟练掌握平移的性质和平移作图是解题的关键．
（1）利用平面直角坐标系即可得出；
（2）利用格点三角形的面积求法补全长方形，再利用面积和差即可求解；
（3）利用平移性质得出对应点坐标，再作图，即可求解．
【详解】（1）解：∵的坐标分别为，
∴方格的单位长度为，
∴点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：，
即的面积为；
（3）解：如图，即为所求作，
其中，，，
∵上的一点的坐标为，
则点的对应点的坐标为．
7．(1)，
(2)①；理由见解析；②点D的坐标为或
【分析】（1）由算术平方根、绝对值的非负性知，解得，；
（2）根据题意，，沿y轴负方向平移2个单位，得，，①，， ，，于是， 可证.
② 时，，，，点D不存在.当，如图1，点D在三角形内部，此时，不符合题意.当时，如图2，点D在第四象限，设，由①得，得，连接，则，解得；当时，如图3，点D在第二象限，得，连接OD，则，解得．
【详解】（1）解：由可知，
，，
解得：，；
（2）解：依题意，平移后点的对应点M在y轴的正半轴上，点的对应点N在x轴的负半轴上，
∴，沿y轴负方向平移2个单位得到，
∴，
①.
理由如下：由题意得，，
∵，
，，
，

，
，
，
即.
②当 时，，
可以看作由向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到，
此时，点D不存在；
当，如图，点D在三角形内部，此时，不符合题意；

当时，如图，点D在第四象限，

设，由①得，
，
，
连接，
，
，
，
，，
；
当时，如图，点D在第二象限，

，
，
连接，
，
，
，
，，
；
综上，点D的坐标为或．
【点睛】本题考查坐标系内图象平移与坐标变化，直角坐标系内求三角形面积，结合动点的运动情况判断图形的状态，分类讨论是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，解题的关键是掌握平移变换的性质．
（1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可；
（2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵将向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，内一点随一起平移，得到对应点，
∴；
（3）解；．
9．(1)；13
(2)图见解析，
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，正确根据平移方式得到三点的坐标是解题的关键．
（1）根据坐标系中点的位置，可得点B坐标，再利用割补法求出对应三角形面积计算；
（2）根据平移方式得到三点的坐标，描出，并顺次连接即可；
（3）根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，点B的坐标为，
；
（2）解：∵把三角形先向下平移3个单位长度，再右平移2个单位长度，得到三角形，，
∴，
如图所示，三角形即为所求；
（3）解：解：∵把三角形先向下平移3个单位长度，再右平移2个单位长度，得到三角形，为三角形上一点，
∴点的对应点的坐标为．
10．(1)
(2)①作图见解析； ②，；③
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移变换，掌握图形平移，点平移的性质，几何图形面积的计算方法是解题的关键．
（1）在平面直角坐标系结合图形即可求解；
（2）①根据点的平移的性质得出平移方式，再画图即可；②直接利用图即可得出；③利用割补法求解面积即可．
【详解】（1）解：由图可得，
故答案为：．
（2）解：①∵点，经过平移后移动到点，
∴点到点的平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∴向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到，
如图所示，
即为所求图形；
②由图可得，；
③三角形的面积．
11．(1)，，，
(2)或
(3)
【分析】本题考查了三角形的面积，平行线的性质，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
（1）利用非负数的性质求出a，b的值即可解决问题．
（2）设．根据构建方程求出m即可解决问题．
（3）如图2中，连接，，由，推出，由此构建方程求出即可解决问题．
【详解】（1）解：∵，，且，
∴，，
∴，；
（2）解：设．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴C的坐标为或．
（3）解：如图2中，连接，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．(1)或
(2)6
(3)存在，或
【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论．
（1）分点在点的左边和右边两种情况解答；
（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：点在点的右边时，，
点在点的左边时，，
所以，的坐标为或；
（2）解：的面积；
（3）解：存在，设点到轴的距离为，
则，
解得，
点在轴正半轴时，，
点在轴负半轴时，，
综上所述，点的坐标为或．
13．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了非负数的和为零的性质，三角形的面积等；
（1）由非负数的和为零的性质得，，即可求解；
（2）由三角形面积得，即可求解；
（3）由三角形面积得，即可求解；
理解非负数的和为零的性质，会在平面直角坐标系中求三角形的面积是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，，
，，
故答案为：，；
（2）解：由（1）得
，，
，
；
（3）解：当时，
，
，
，
解得：，
点P的坐标为或．
14．(1)作图见解析；，
(2)4
(3)或
【分析】本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（1）利用点和点的坐标特征得到平移的方向与距离，则利用此平移规律得到、两点的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积得到的面积；
（3）设点的坐标为，利用三角形面积公式得到，然后解方程得到的值，从而得到点的坐标．
【详解】（1）解：如图，△为所作，、两点的坐标分别为，；
故答案为：，；
（2）解：的面积；
（3）解：设点的坐标为，
的面积与相同，
，
解得或，
点的坐标为，或，．
15．(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)
【分析】本题考查平面直角坐标系，坐标系中的平移和轴对称，熟练掌握坐标系中的平移和轴对称的规律，并会用割补法求坐标系中的三角形面积是解题的关键．
（1）利用平移作图即可，再根据图象即可得出的坐标；
（2）利用轴对称作图即可，再根据图象即可得出的坐标；
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
其中；
（2）解：如图，即为所求，
其中；
（3）解：．
16．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】题目主要考查图形的平移，坐标与图形及利用网格求三角形面积，熟练掌握平移作图是解题关键．
（1）根据平移的作图方法作出图形即可；
（2）根据（1）中图形即可得出点的坐标；
（3）利用网格求三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）由图得：；
（3）由图得：的面积为：．
17．(1)
(2)9
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，平移的性质等知识．
（1）根据平移的性质求解即可．
（2）过点D作轴与点F，根据计算即可．
（3）先求出，即可得出，解绝对值方程即可求解即可．
【详解】（1）解：∵将向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
，，
∴，
故答案为：；
（2）解：过点D作轴与点F，如下图：
则，

∵，，，
∴，，，，
∴
=
；
（3）解：∵
又∵，
∴ ，
解得
18．(1)图见解析，
(2)
(3)或
【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键：
（1）根据轴对称的性质画出，进而写出点的坐标即可；
（2）分割法求出的面积即可；
（3）根据对称性，得到，设，根据，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
由图可知：；
（2）；
（3）由对称性可知：，
设点的坐标为，则，
由题意得，
解得或，
∴点的坐标为或．
答案第2页，共4页
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