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山东省菏泽市2024-2025学年高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下面命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
2．复数的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．
3．已知向量在上的投影向量为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．在中，，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．1
7．在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（ ）
A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为
C．当时， D．当时，
8．在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若是复数，其在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（ ）
A．为纯虚数
B．若，则
C．若，则的轨迹是以为圆心，半径为1的圆
D．若，则
10．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
D．的最大值为3
11．在中，角所对的边分别为，，，O为外接圆圆心，则下列结论正确的有（ ）
A． B．外接圆面积为
C． D．的最大值为
三、填空题
12．请写出一个满足的复数 ．（写出一个即可）
13．如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ．
14．深圳实验学校高中园高一年级设计了一个“水滴状”园徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为．已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为 ．
四、解答题
15．在复平面内，复数，．
(1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围；
(2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围．
16．已知向量.
(1)若向量与共线，求实数的值；
(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
17．如图，在中，.设.
(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.
18．已知复数，，．
(1)若，求角；
(2)复数，对应的向量分别是，，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围．
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若，设点P为的费马点，求；
(3)设点P为的费马点，，求实数t的最小值.
山东省菏泽市2024-2025学年高一下学期期中数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B C A C D BCD ACD
题号 11
答案 ACD
1．C
【详解】对于，若，但两向量方向不确定，则不成立，故选项错误；
对于，向量无法比较大小，故选项错误；
对于，若，则两向量反向，因此，故选项正确；
对于，若，则，故选项错误.
故选：C
2．B
【详解】因为，虚部为.
故选：B.
3．A
【详解】依题意，向量在上的投影向量为，则，
由，得，于是，又，
所以.
故选：A
4．B
【详解】由于，故，
所以在复平面内对应的点为，在第二象限.
故选：B.
5．C
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以，
又，、不共线，
所以，所以.
故选：C
6．A
【详解】因为，
所以.
故选：A
7．C
【详解】如图所示，根据题意依次分析选项：
对于A，由于，且，则有，即.
又为定值，故越小越省力，越大越费力，A错误；
对于B，当时，，行李包不会处于平衡状态，即，B错误；
对于C，当时，有，则，C正确；
对于D，当时，有，则，D错误.
故选：C
8．D
【详解】因为在中，，又为边上一点，且，
所以，
又，
所以，
所以，解得，
所以.
故选:D.
9．BCD
【详解】对于A，若，不是纯虚数，故A错误
对于B，因为，所以，故B正确
对于C，设即，
表示圆心在，半径为1的圆，故C正确
对于D，，设，则
，故D正确
故选：BCD.
10．ACD
【详解】对于A，由，得，因此，故A正确；
对于B，若，则，所以，所以，故B错误；
对于C，因，，
由在上的投影向量为，解得，
又，，故C正确；
对于D，因，
故，
当，即时，
也即时，取得最大值9，即的最大值为3，故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【详解】在中，由正弦定理及得：，
而，则有，即，又，，
则，所以，即，A正确；
由正弦定理得外接圆半径，该圆面积，B错误；
如图，，C正确；
由余弦定理得：，当且仅当时取等号，
因此，D正确.
故选：ACD
12．（答案不唯一）
【详解】令，则，
故答案为：（答案不唯一）
13．
【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系，
由正方形边长为3且，
可得，
设，，则，
则，
故，
故当时，取得最小值为．
故答案为：．
14．
【详解】如图将圆O补充完整，连接OB，OC，取BC中点为D，连接AD.
因，为对应的圆周角，为对应的圆心角，
则，为正三角形，又外接圆半径为2，则弓形面积为.
因，则三角形为等腰三角形，AD平分角.
则，又，则.
又，
则，则.
则图形面积为：.
故答案为：.
15．(1)或
(2)或．
【详解】（1）由题意得，解得或；
（2）复数在复平面内对应的点为，
依题意可得，
则或
解得或，即实数的取值范围为或．
16．(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，，
若向量与共线，可得，
解得.
（2）若向量与的夹角为锐角可得且与不共线，
即可得，
解得且，
即实数的取值范围为且
17．(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1），
；
（2），
又，故，
故三点共线.
18．(1)
(2)（ⅰ），（ⅱ）
【详解】（1），，且，
，，即，，
又，故.
（2）（ⅰ）由复数的坐标表示可得，，，
，
又，则.
当时，取最大值为，当时，取最小值为，
的取值范围为；
（ⅱ），，
，
又，则，
化简得，，
，由小问（ⅰ）的结论可知，
，解得或，
综上所述，的取值范围为：.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，得，
故.
由正弦定理可得，故直角三角形，即.
（2）由（1）可得，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，
由，得，
整理得，
则.
（3）如图，点为的费马点，则，
设，
则由，得；
由余弦定理得，
，
，
故由，得，
即，而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立.
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为.

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