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(共35张PPT)
专题三　利用递推公式求数列的通项公式
题型一　an＋1＝an＋f(n)型(累加法)
题型二 an＋1＝anf(n)(累乘法)
[例2]若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则an＝________.
[例 3]在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项an＝
____________.
解析：an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，
答案：2×3n-1－1
又因为a1＋1＝2≠0，
所以{an＋1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，
所以an＋1＝2×3n-1，an＝2×3n-1－1.
【反思感悟】由递推关系求数列的通项公式的常用方法
[例 4](1)已知正项数列{an}满足a1＝4，an＋1＝2an＋2n+1，则
an＝(
)
A.n·2n-1 　　　　　　B.(n＋1)·2n
C.n·2n+1 　　　　　　 D.(n－1)·2n
答案：B
(2)已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项an＝(　　)
A.－3×2n-1 　 　　　　 B.3×2n-1
C.5n＋3×2n-1 　　　　 D.5n－3×2n-1
答案：D
方法二，设an＋1＋k·5n+1＝2(an＋k×5n)，
则an＋1＝2an－3k×5n，与题中递推公式比较得k＝－1，
即an＋1－5n+1＝2(an－5n)，
所以数列{an－5n}是首项为a1－5＝－3，公比为2的等比数列.
则an－5n＝－3×2n-1.
故an＝5n－3×2n-1.
故选D.
题型五　an＋1＝pan＋qan－1型
通性通法：可化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，化简后与原式系数对比，求得x1，x2的值，得到新数列{an＋1－x1an}的性质.
通性通法：等号左右同时取倒数，视具体情况选取适当的构
造法解题.
【互动探究】
1.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝(　　)
A.2n－1 　　　　　　 B.2n-1＋1
C.2n－1 　　　　　　 D.2(n－1)
解析：方法一，∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又
答案：A
a1＝1，∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.故选A.
方法二，∵a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝3，a3＝7，a4＝15.由a1＝1，排除D；由a3＝7，排除B；由a4＝15，排除C.故选A.
2.(2023 年广东广州调研)如图所示的形状出现在南宋数学家
杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三
角垛”.“三角垛”的最上层有 1 个球，第二层有3
个球，第三层有 6 个球，…. 记各层球数构成数列
解析：由题意可得{an＋1－an}是首项为2，公差为1的等差
数列，
则an＋1－an＝2＋n－1＝n＋1.
可得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋
上式对 n＝1 也成立，
答案：D
答案：D
答案：AB
5.在数列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，则数列an＝_____.
答案：2n(n＋1)

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