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专题五　平面向量中的范围与最值问题
平面向量中的范围与最值问题是高考热点问题，也是难点问
题.此类问题综合性强，体现了不同模块知识的交汇组合.此类问题
的基本题型是根据已知条件求某个变量的范围或最值，比如向量
的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.
解题思路通常有两种：
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化
为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征
直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化
为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，
然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.
题型一 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
答案：A
则 x＋y＝1，所以λ＋μ＝k(x＋y)＝k.
因为 P 是四个半圆弧上的一动点，
所以当 EF 与图形下面半圆相切时，λ＋μ取得最大值，
设线段 AB 的中点为 M，线段 AC 的中点为 O1，
连接 MP，连接 DO1 并延长使之与 EF 交于点 O2，
过 M 作 MN⊥DO2，垂足为 N，
答案：D
【互动探究】
答案：D
题型二 与数量积有关的最值(范围)问题
A.18
B.24
C.36
D.48
解析：据题意，得圆 A(前轮)，圆 D(后轮)的半径均为 　 ，
△ABE，△BEC，△ECD 均是边长为 4 的等边三角形.点 P 为后轮
上的一点，如图所示，建立平面直角坐标系.
答案：D
【题后反思】对于求向量数量积取值范围的题目，可考虑通
过建立平面直角坐标系来求解.若题目的设问与已知直线上的动点
相关，则可求出已知直线的方程后，利用直线方程表示已知直线
上动点的坐标；若题目的设问与已知圆上的动点相关，则可利用
圆的参数方程表示圆上动点的坐标.例如，若点 P 为⊙M：(x－a)2
＋(y－b)2＝r2 上的动点，则点 P 的坐标可表示为(a＋r cos θ，b＋
r sin θ).
【互动探究】
A.28
B.29
C.30
D.32
连接 PC1，PC2，C1M，C2N，如图.
答案：C
答案：B
题型三 与模有关的最值(范围)问题
答案：A
(2)平面向量 a，b，c 满足|a|＝|b|＝a·b＝2，|a＋b＋c|＝1，则
)
(a＋c)·(b＋c)的最小值是(
答案：B
【互动探究】
答案：A
答案：B

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