2025秋高考数学复习第六章专题七立体几何中的热点问题 课件(共64张PPT)

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2025秋高考数学复习第六章专题七立体几何中的热点问题 课件(共64张PPT)

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(共64张PPT)
专题七 立体几何中的热点问题
题型一 平面图形的翻折问题
平面图形翻折为空间图形问题,重点考查平行、垂直关系,
解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化,根据翻折的过程找
到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量,这些
不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征.
(1)证明:EF⊥PD;
(2)求平面 PCD 与平面 PBF 所成的二面角的
正弦值.
∴DE⊥EF.
由折叠的性质可知 PE⊥EF,
又 PE∩DE=E,PE,DE 平面 PDE,
∴EF⊥平面 PDE,
又 PD 平面 PDE,
∴EF⊥PD.
如图,以 EF,ED,EP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立
空间直角坐标系 Exyz.
【题后反思】三步解决平面图形翻折问题
【互动探究】
1.(2024 年广东深圳中学模拟)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,
AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点 E 是 BC 边的中点,将△ABD
沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面BCD,连接 AE,AC,DE,得到
如图 2 所示的几何体.已知 AD=1,且二面角 C-AB-D 的平面角的
正切值为
图 1
图 2
(1)求证:AB⊥平面 ADC;
(2)请指出图 2 中哪个角是二面角 C-AB-D 的平面角,并计算
线段 AB 的长度;
(3)求二面角 B-AD-E 的余弦值.
(1)证明:∵平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=
BD,
又 BD⊥DC,
∴DC⊥平面 ABD.
∵AB 平面 ABD,
∴DC⊥AB.
又∵折叠前后均有 AD⊥AB,DC∩AD=D,
∴AB⊥平面 ADC.
(2)解:由(1)知 AB⊥平面 ADC,
∴二面角 C-AB-D 的平面角为∠CAD.
又 DC⊥平面 ABD,AD 平面 ABD,
∴DC⊥AD.
(3)解:∵DC⊥平面 ABD,
∴过点 E 作 EF∥DC 交 BD 于点 F,
∴EF⊥平面 ABD.
∵AD 平面 ABD,
∴EF⊥AD.
过点 F 作 FG⊥AD 于点 G,连接 GE,
∴AD⊥平面 EFG,因此 AD⊥GE.
∴二面角 B-AD-E 的平面角为∠EGF,如图.
题型二 探索性问题
[例2](2024 年广东汕头一模)如图,在三棱台 ABC-A1B1C1 中,
侧面四边形 ACC1A1 为等腰梯形,底面三角形 ABC 为正三角形,
且 AC=2A1C1=2.设 D 为棱 A1C1 上的点.
(1)证明:侧面四边形 ACC1A1 为等腰梯形,底面三角形 ABC
为正三角形,且 AC=2A1C1=2,D 为棱 A1C1 上的中点,取 AC 的
中点 O,
连接 DO,OB,如图 1 所示.
∴DO⊥AC,BO⊥AC,DO∩BO=O.
∴AC⊥平面 DOB.
∴AC⊥BD.
图 1
(2)解:∵侧面 ACC1A1⊥底面 ABC,设 D′为 A1C1 的中点,
由(1)可得 D′O⊥平面 ABC,
以 O 为坐标原点,OA,OB,OD′所在的直线分别为 x 轴、
y 轴、z 轴,建立如图 2 所示的空间直角坐标系.
图 2
【题后反思】
(1)解决探索性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在,
然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据
或事实,则说明假设成立,即存在,并可进一步证明;否则假设
不成立,即不存在.
(2)在棱上探寻一点满足各种条件时,要明确思路,设点坐标,
应用共线向量定理 a=λb(b≠0),利用向量相等,所求点坐标用λ
表示,再根据条件代入,注意λ的范围.
(3)利用空间向量的坐标运算,可将空间中的探索性问题转化
为方程是否有解的问题进行处理.
【互动探究】
2.(2024 年广东金山中学模拟)已知平行四边形 ABCD 如图 1,
∠D=60°,DC=2AD=2,沿 AC 将△ADC 折起,使点 D 到达
点P 位置,且 PC⊥BC,连接 PB 得三棱锥 P-ABC 如图 2.
图 1
图 2
(1)证明:平面 PAB ⊥平面 ABC;
又 AD∥BC,∴AC⊥BC,
∵PC⊥BC,AC∩PC=C,AC,PC 平面 PAC,
∴BC⊥平面 PAC,
又 PA 平面 PAC,∴PA ⊥BC,
又 AC∩BC=C,AC,BC 平面 ABC,
∴PA ⊥平面 ABC,
又 PA 平面 PAB,
∴平面 PAB⊥平面 ABC.
(2)解:过点 A作Ax∥BC,由(1)可知,Ax,AC,AP两两垂直,
以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
题型三 立体几何中的最值问题
[例3] (2024年广东实验中学模拟)在棱长为6的正方体
ABCD A1B1C1D1中,M是BC的中点,点P是正方形DCC1D1面
(包括边界)的动点,且满足∠APD=∠MPC,则三棱锥 P-BCD 的
体积最大值是(
)
图 1
在平面 DCC1D1 面内以 DC 为 x 轴,以 DC 的垂直平分线为
y轴建立平面直角坐标系如图 2,
图 2
根据题意可得 D(-3,0),C(3,0),设 P(x,y),
答案:D
[例4]如图 1 所示,PA ⊥平面 ADE,B,C 分别是 AE,DE 的
中点,AE⊥AD,AD=AE=AP=2.
图 1
图 2
(1)求二面角 A-PE-D 的余弦值;
(2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成的角最
小时,求线段 BQ 的长.
解:(1)以 A 为原点,AE,AD,AP 所在直线分别为 x 轴、
y 轴、z 轴,建立如图 2 所示空间直角坐标系.各点的坐标分别为
A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),
E(2,0,0).
【题后反思】解决与空间图形有关的线段、角、距离、面积、
体积等最值问题时,一般可以从三方面着手:一是从图形的几何
特征入手,充分利用其几何性质去解决;二是利用空间几何体的
侧面展开图;三是找出问题中的代数关系,建立目标函数,利用
代数方法求目标函数的最值.解题的途径有很多,在函数建成后,
可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、函数有界法
(如三角函数等)及导数法等求解.
【互动探究】
3.(2024 年广东佛山一中模拟)在平行四边形 ABCD 中,AB=2,
AD=1,∠BAD=60°,M,N 分别为直线 AB,CD 上的动点,记
M,N 两点之间的最小距离为 ,将dABD 沿 BD 折叠,直到三棱
锥 A-BCD 的体积最大时,不再继续折叠.在折叠过程中,d 的最小
值为________________.
解析:如图 1,AB=2,AD=1,∠BAD=60°.利用余弦定理
可得 BD2=AB2+AD2-2AB·AD cos 60°,
图 1
∴满足 AD2+BD2=AB2,即 AD⊥BD,
则 CB⊥BD,
又 M,N 分别为直线 AB,CD 上的动点,记 M,N 两点之间
的最小距离为 d,
则 d 表示两直线 AB,CD 之间的距离,在△ABD 沿 BD 折叠
过程中,
直线 AB,CD 由两平行线变成两异面直线,且两直线间的距
离越来越近,
当三棱锥 A-BCD 的体积最大时,此时 AD⊥平面 BCD,即此
时 M,N 两点之间的距离最小,
即为两异面直线 AB,CD 之间的距离,
以点 B 为坐标原点,分别以 BC,BD 为 x 轴、y 轴,以过点B
且与 AD 平行的直线为 z 轴建立空间直角坐标系,如图 2.
图 2
∵AA1∩AB=A,且 AA1,AB 平面 A1ABB1,
∴AC⊥平面 A1ABB1,
∵AC 平面 ABC,
∴平面 A1ABB1⊥平面 ABC.
(2)解:取 AB 的中点 O,连接 A1O,取 BC 的中点 P,连接
OP,则 OP∥AC,
由(1)知,AC⊥平面A1ABB1,
∴OP⊥平面A1ABB1,
∵A1O 平面A1ABB1,AB 平面 A1ABB1,
∴OP⊥A1O,OP⊥AB,
∵AB=A1A=A1B,则A1O⊥AB,

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