资源简介

(共65张PPT)
专题六　几何体的外接球与内切球问题
简单几何体的外接球与内切球问题是立体几何中的难点，也
是历年高考重要的考点，几乎每年都要考查，重在考查考生的直
观想象能力和逻辑推理能力.此类问题实质是解决球的半径长或确
定球心 O 的位置问题，其中球心的确定是关键.
题型一 定义法
定义法一般用于解决旋转体、正棱锥以及正棱柱的切、接问
题.球心一般在旋转体的轴或正棱锥的高所在的直线上，解题的关
键是先作轴截面并大致作出球心，再用待定系数法把关键长度设
为未知数，根据外接球的球心到球面上各点距离相同、内切球的
球心到各切点距离相同，最后用勾股定理等几何方法求出球的半
径.
解析：如图所示，设底面△ABC的重心为O1，△A1B1C1的重
心为 O2，
答案：1 或 3
[例 2]棱长为 1 的正四面体 ABCD 内有一个内切球 O，M 为
CD 中点，N 为 BM 中点，连接 AN 交球 O 于 P，Q 两点，则 PQ
的长为(
)
解析：如图 1 所示，设△BCD 的中心为E，则AE⊥平面BCD.
因为正四面体 ABCD 的棱长为 1，
图 1
图 2
答案：A
答案：A
【互动探究】
1.(2024 年河北唐山一模)已知球与圆台的底面、侧面都相切，
且圆台母线与底面所成角为 60°，则球表面积与圆台侧面积之比
为(　　)
A.2∶3
B.3∶4
C.7∶8
D.6∶13
解析：设圆台上下底面圆的半径分别为 r1，r2，母线为 l，球
的半径为 R，如图，取圆台的轴截面 ABCD，则四边形 ABCD 为
等腰梯形，圆台的内切球球心为 O，则球心 O 在截面 ABCD 内.
在截面 ABCD 内，设圆 O 切梯形 ABCD 的边 AB，BC，CD，
DA 分别于点 E，F，G，H，
答案：B
答案：60π
题型二 补形法
若几何体可通过补形的方法变成常见的易求外接球的几何体
(如长方体、圆柱、直棱柱等)，可通过求补形后的几何体的外接球
半径来确定原几何体的外接球半径.
[例4](2024 年广东汕头二模)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点都
在球 O 的表面上，PA ⊥平面 ABC，AB⊥BC，且 PA ＝8，AC＝6，
则球 O 的表面积为(
)
A.10π
B.25π
C.50π
D.100π
解析：三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上，PA ⊥
平面 ABC，AB⊥BC，且 PA ＝8，AC＝6，
把三棱锥 P-ABC 补成一个长方体，如图所示.
∴长方体的外接球即是三棱锥 P-ABC 的外接球，
∵PA ＝8，AC＝6，
∴球 O 的表面积为 4π×52＝100π.故选 D.
答案：D
[例5]在三棱锥 A-BCD 中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝
BD＝3，则三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为(
)
解析：如图，把三棱锥 A-BCD 补形为长方体 AHDG-EBFC.
答案：B
[例 6](多选题)(2024 年广东湛江一模)在直三棱柱 ABC-A1B1C1
中，AB⊥BC，AB＝2BB1 ＝4，BC＝3，M，N 分别为 BB1 和 CC1
的中点，P 为棱 B1C1 上的一点，且 PC⊥PM，则下列选项中正确
的是(
)
A.三棱柱 ABC-A1B1C1 存在内切球
B.直线 MN 被三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球截得的线段长为
C.点 P 在棱 B1C1 上的位置唯一确定
D.四面体 ACMP 的外接球的表面积为 26π
解析：由题意得直三棱柱 ABC-A1B1C1 如图所示.
又 AB⊥BC，AB＝2BB1＝4，BC＝3，
∴AC＝5，故△ABC 的内切圆半径为 r＝1，
答案：ABD
【互动探究】
解析：如图所示，把正四面体 P-ABC 补全为正方体 AMPN-
HBGC ，其中正四面体的棱均为正方体表面的对角线. 正四面体
P-ABC 外接球的球心为正方体的中心 O，F 为 AC 中点，连接OF.
答案：C
4.(多选题)如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为正方
形，BF⊥底面 ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，点 G 为线段
AF 上的动点.下列说法正确的是(
)
A.DF⊥平面 AEC
B.多面体 ABCDEF 的外接球的表面积为 3π
解析：如图所示建立空间直角坐标系.
D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，E(0，0，
1)，F(1，1，1).
∵底面 ABCD 为正方形，BF⊥底面 ABCD，DE∥BF，AB＝
DE＝BF＝1，∴几何体 ABCDEF 可以补成一个棱长为1的正方体，
如图所示.
取 DF 的中点 O，可得 O 为正方体外接球的球心，即O为几
何体 ABCDEF 外接球的球心.
答案：ABD
5.(多选题)(2024年广东华师附中模拟)如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x.现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，CA折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P ABC.下列结论正确的是(　　)
解析：由题意，得折叠成的三棱锥 P-ABC 的三条侧棱满足
PA⊥PB，PA⊥PC，且 PB∩PC＝P，
对于 A，PA ⊥PB，PA ⊥PC，且 PB∩PC＝P，
∴AP⊥平面 PBC 成立，故 A 正确；
对于B，当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，三棱锥P ABC
的三条侧棱两两垂直，
∴三棱锥 P-ABC 的外接球直径等于以 PA ，PB，PC 为长、
宽、高的长方体的对角线长，
答案：ABC
【题后反思】补形法的注意事项
(1)若几何体存在三条两两互相垂直的棱，可通过构造墙角模
型把几何体补形为长方体(如图)，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2 求
出外接球的半径 R.
(2)若三棱锥的对棱两两等长，则可把六条棱看作是长方体六
个面的对角线(如图)，通过列方程组的方式求出长方体的体对角线
的长度，外接球的半径 R 为长方体的体对角线的一半.特别地，正
四面体可补形成正方体，这也是正四面体常用的建系方式之一.
(3)需要注意的是，原几何体的顶点必须是补形后几何体的顶
点，否则不能通过补形法来求外接球.
题型三 利用三角形的外心探索外接球
[例 7](2024 年河南开封一模)已知点 S，A，B，C 均在半径为
2的球面上，△ABC是等边三角形，SA⊥平面ABC，则四面体SABC
体积的最大值为________.
【题后反思】(1)三棱锥外接球的球心在三棱锥各个面上的正
投影为各个面三角形的外心.
【互动探究】
6.(2024 年福建一模)在三棱锥 M-ABC 中，MA⊥平面ABC，
底面△ABC为正三角形，三棱锥M ABC的体积为6，△ABC的外接
圆半径为 2，则该三棱锥的外接球的体积为(
)
解析：设底边正三角形的边长为 a，外接圆的半径为 r，外接
圆的圆心为 O1，三棱锥的外接球的球心为 O，
答案：D
7.在边长为 3 的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将△ABD绕直
线 BD 旋转到△A′BD，使得四面体 A′BCD 外接球的表面积为 18π，
则此时二面角 A′-BD-C 的余弦值为(
)
解析：如图所示，取BD的中点E，连接A′E，CE，则BD⊥A′E，
BD⊥CE.由题意可知△A′BD 和△BCD 都是边长为 3 的等边三角
形，设M，N分别是△A′BD和△BCD的外心，过M，N分别作两
平面的垂线，则垂线的交点就是四面体外接球的球心 O.
∴∠A′EC 为二面角 A′-BD-C 的平面角.
设∠A′EO＝θ，则∠A′EC＝2θ.
答案：A

展开更多......

收起↑