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(共47张PPT)
专题十　概率与统计的热点问题
题型一 数据分析型问题
[例 1]《中国制造 2025》提出，坚持“创新驱动、质量为先、
绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针，通过“三步走”
实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；
第二步，到 2035 年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水
平；第三步，到新中国成立一百年时，我制造业大国地位更加巩
固，综合实力进入世界制造强国前列.质检部门对出口的甲、乙两
种无人机分别随机抽取 100 架检测某项质量指标，由检测结果得
到如图所示的频率分布直方图：
甲
乙
(1)写出频率分布直方图(甲)中 a 的值；记甲、乙两种无人机
大小(只需给出答案)；
(2)若质检部门规定质量指标高于 20 的无人机为优质产品，根
据上面抽取的 200 架无人机的质量指标及小概率值α＝0.05 的独立
性检验，能否推断甲、乙两种无人机的优质率有差异.
产品质量 甲 乙 合计
优质产品/架
不是优质产品/架
合计/架 100 100 200
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
解：(1)a＝0.010，且
(2)甲种无人机的优质率为 0.25＋0.1＋0.35＝0.7，所以甲种无
人机优质产品有 70 架，不是优质产品的有 30 架；乙种无人机中
优质率为 0.3＋0.2＋0.1＝0.6，所以乙种无人机中优质产品有 60
架，不是优质产品的有 40 架.
产品质量 甲 乙 合计
优质产品/架 70 60 130
不是优质产品/架 30 40 70
合计/架 100 100 200
2×2 列联表如下：
零假设 H0：甲、乙两种“无人机”的优质率没有差异.经计算
得到
故依据小概率值α＝0.05 的独立性检验，不能推断甲、乙两种
“无人机”的优质率有差异.
(3)计算得 x ＝5×0.15＋15×0.25＋25×0.3＋35×0.2＋45×
0.1＝23.5.
因为 Z～N(23.5，142.75)，11.6≈μ－σ，35.4＝μ＋σ，
所以 P(11.6≤Z≤35.4)＝0.682 7.
故从乙种无人机中随机抽取 1 架，其质量指标值位于[11.6，
35.4]的概率是 0.682 7.
根据题意得 X～B(10，0.682 7)，
∴E(X)＝10×0.682 7＝6.827.
【题后反思】数据分析主要包括：收集数据，整理数据，提
取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论.该类问题常
以科技、生活中的热点为载体，将收集到的数据信息以图表(频率
分布直方图、饼图、条形图等)的形式展现，重在考查数据提取能
力和解决问题的能力.
【互动探究】
1.(2024 年上海长宁一模)第七届中国国际进口博览会(简称进
博会)于 2024 年 11 月 5 日至 10 日在上海国家会展中心举行.为了
解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在 15—75 岁
之间的 200 名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，
分组区间为[15，25)，[25，35)，[35，45)，[45，55)，[55，65)，
[65， 75].把年龄落在区间[15，35)内的人称为“青年人”，把年
龄落在区间[35，65)内的人称为“中年人”，把年龄落在[65，75]
内的人称为“老年人”.
(1)求抽取的“青年人”的人数.
(2) 以分层随机抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年
人”中抽取 10 名参会者做进一步访谈，发现其中女性共 4 人，这
4 人中有 3 人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的 10 名参会者中
任选 2 人.
①简述如何采用抽签法任选 2 人；
②设事件 A＝“2 人均为‘中年人’”，事件 B＝“2 人中至
少有 1 人为男性”，判断事件 A 与事件 B 是否独立，并说明理由.
解：(1)由频率分布直方图可得(2a＋0.010×2＋0.015×2)×10
＝1，解得 a＝0.025，
因为“青年人”占比为(0.015＋0.025)×10＝0.4，
所以抽取的“青年人”的人数为 200×0.4＝80.
(2)①先将 10 名参会者进行编号 1，2，…，10，并将 10 个号
码写在完全相同的纸片上，
放入某容器中充分混合均匀，再取出 2 张，2 张纸片上所对应
的号码就是要选取的人.
②“青年人”“中年人”“老年人”的人数之比为
0.4∶0.5∶0.1＝4∶5∶1，
所以 10 人中“中年人”共有 5 人，
2 人均为“中年人”且至少有 1 人为男性的概率
因为 P(A∩B)≠P(A)·P(B)，所以事件 A 与事件 B 不独立.
题型二 概率与数列交汇问题
[例2](2023 年新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人
投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方
投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每
次投篮的命中率均为 0.8.抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮
的人是甲、乙的概率各为 0.5.
(1)求第 2 次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 i 次投篮的人是甲的概率；
【题后反思】
此类问题应先抓住变化前后量的变化，借助概率统计的知识
建立有关 P 的函数解析式或递推关系式，在此基础上借助数列知
识求解相应问题.
【互动探究】
2.(2023 年湖南邵阳期末考)位于新宁县的崀山风景名胜区是
国家5A级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新
宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八
角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调
查，若不游览“天下第一巷”景区记 2 分，若继续游览“天下第
一巷”景区记 4 分.假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的
(1)从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量X，求X的数学期望.
(2)①记pk(k∈N*)表示“从游客中随机抽取k人，总分恰为2k分”的概率，求{pk}的前4项和；
②在对游客逐一进行随机问卷调查中(参与调查的游客足够多)，记an(n∈N*)表示“曾有某一刻已调查过的游客的累计得分恰为2n分”的概率，探索an与an－1(n≥2)的关系，并求数列{an}的通项公式.
题型三 概率与统计案例的综合应用
[例3](2022 年江苏苏州模拟)为落实“十三五”规划节能减排
的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查
统计，随机抽取 A 型和 B 型设备各 100 台，分别得到如图 1 和图
2 所示的频率分布直方图：
图 1
图 2
型号 超过 2 500 h 不超过 2 500 h 合计
A 型
B 型
合计
(1)将使用寿命超过 2 500 h 和不超过 2 500 h 的台数填入下面
的列联表：
(单位：台)
根据上面的列联表，依据小概率值α＝0.010 的独立性检验，
能否认为使用寿命是否超过 2 500 h 与型号有关？
(2)用分层随机抽样的方法从不超过 2 500 h 的 A 型和 B 型设
备中抽取 8 台，再从这 8 台设备中随机抽取 3 台，其中 A 型设备
为 X 台，求 X 的分布列和均值.
(3)已知用频率估计概率，现有一项工作需要 10 台同型号设备
同时工作 2 500 h 才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设
备(更换设备时间忽略不计)，A 型和 B 型设备每台的价格分别为
1万元和 0.6 万元，A 型和 B 型设备每台每小时耗电分别为 2 kW·h
和 6 kW·h，电价为 0.75 元/(kW·h).只考虑设备的成本和电费，你
认为应选择哪种型号的设备，请说明理由.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
参考数据：
解： (1)由频率分布直方图可知，A型超过2 500 h的有
100×(0.000 6＋0.000 5＋0.000 3)×500＝70(台)，则 A 型不超过
2 500 h 的有 30 台.同理，B 型超过 2 500 h 的有 100×(0.000 6＋
0.000 3＋0.000 1)×500＝50(台)，则 B 型不超过 2 500 h 的有50台.
型号 超过 2 500 h 不超过 2 500 h 合计
A 型 70 30 100
B 型 50 50 100
合计 120 80 200
列联表如表所示.
(单位：台)
零假设为 H0：使用寿命是否超过 2 500 h 与型号无关，
根据列联表中的数据，经计算得到
所以依据小概率值α＝0.010 的独立性检验，我们推断 H0 不成
立，即认为使用寿命是否超过 2 500 h 与型号有关.
(2)由(1)和分层随机抽样的定义可知抽取的 8 台设备中 A 型
设备有 3 台，B 型设备有 5 台，所以 X 的所有可能取值为 0，1，
2，3，
(3)由频率分布直方图中的频率估计概率知，
A型设备每台更换的概率为0.3，
所以10台A型设备估计要更换3台；
B型设备每台更换的概率为0.5，
所以10台B型设备估计要更换5台，
选择A型设备的总费用y1＝(10＋3)×1＋10×2×0.75×
2 500×10-4＝16.75 (万元)，
　　选择B型设备的总费用y2＝(10＋5)×0.6＋10×6×0.75×
2 500×10-4＝20.25 (万元)，y1所以选择A型设备.
【反思感悟】高考中常将独立性检验与分布列等交汇在一起
进行考查，由频率分布直方图解决相关问题，解题的关键是正确
理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数
据.
x 1 4 9 16 25 36 49
高度 y/cm 0 4 7 9 11 12 13
【互动探究】
3.设某幼苗从观察之日起，第 x 天的高度为 y cm，测得的一
些数据如下表所示：

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