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专题二　三角函数的综合应用
题型一 与边或角有关的范围(最值)问题
[例1](2024年贵州期中)在△ABC 中，A，B，C 的对边分别为
(1)求 A；
(2)若D是线段BC的中点，且AD＝1，求S△ABC；
(3)若△ABC 为锐角三角形，求△ABC 的周长的取值范围.
【反思感悟】已知三角形一边及其对角，求取值范围的问题
的解法
圆半径.
(2)根据 b＝2R sin B，c＝2R sin C 把边长问题转化为三角函数
问题.
(3)再利用 sin B＝sin (A＋C)[或 sin C＝sin (A＋B)，cos B＝
－cos (A＋C)]消去一个未知角.
(4)利用三角恒等变换公式，化简为 M sin (ωx＋φ)的形式.
(5)根据未知角的取值范围确定三角函数的取值范围.
注意：若题目对三角形的形状有限制(如锐角三角形)，需全面
考虑三个内角的取值范围.
【互动探究】
(2)∵c＝2acos A，
∴sin C＝2sin Acos A＝sin 2A，
∴C＝2A 或 C＝π－2A，
当 C＝π－2A 时，π－C＝2A＝A＋B，
解得 A＝B，则 a＝b，与已知矛盾，
故 C＝2A，
所以 B＝π－C－2A＝π－3A，
因为△ABC 为锐角三角形，
题型二 与面积有关的范围或最值问题
[例 2](2024 年海南阶段练习)在锐角△ABC 中，角 A，B，C
的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S＝a2－(b－c)2.
(1)求 sinA＋2cos A 的值；
(2)已知 a＝2，求△ABC 面积的最大值.
【反思感悟】已知三角形一边及其对角，求最值的问题的
解法
此类题目除了可按题型一的方式求解之外，亦可用基本不等
式求解.
(1)(不妨设已知a与cos A的值)列出余弦定理a2＝b2＋c2－2bc
cos A，并代入 a 的值.
(2)结合基本不等式b2＋c2≥2bc，得2bc cos A＋a2≥2bc，并
判断是否能取等.
(3)得到 bc 的最大值，进一步求解.
注意：若题目中的三角形有特殊限制(如钝角三角形)，基本不
等式可能无法取等，此时不宜用基本不等式解题.
【互动探究】
题型三 三角函数和解三角形的综合应用
【反思感悟】对于三角函数和解三角形的综合问题，要利用
正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质进行解答，
解答时要注意角的范围对变形过程的影响.
【互动探究】

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