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第七讲　函数的图象
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象
法、列表法、解析法)表示函数.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的
图象解简单的方程(不等式)问题.
1.描点法作图
(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的
性质(奇偶性、周期性、单调性、最值等)；(4)描点连线.
2.图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝－f(x).
y＝f(－x).
y＝－f(－x).
①y＝f(x)
②y＝f(x)
③y＝f(x)
④y＝ax (a>0 且 a≠1)
y＝logax(a>0 且 a≠1).
(3)伸缩变换
①y＝f(x)
②y＝f(x)
y＝f(ax).
y＝af(x).
(4)翻折变换
【名师点睛】
(1)关于对称的三个重要结论
①函数 y＝f(x)与 y＝f(2a－x)的图象关于直线 x＝a 对称.
②函数 y＝f(x)与 y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
③若函数 y＝f(x)定义域内的任意自变量 x 满足 f(a＋x)＝f(a－
x)，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称.
(2)函数图象平移变换八字方针
①“左加右减”，要注意加减指的是自变量.
②“上加下减”，要注意加减指的是函数值.
考点一 作函数的图象
[例1]分别作出下列函数的图象：
解析：(1)首先作出 y＝lg x 的图象，然后将其向右平移 1 个单
位长度，得到 y＝lg (x－1)的图象，再把所得图象在 x 轴下方的部
分翻折到 x 轴上方，即得所求函数 y＝|lg (x－1)|的图象，如图 1 所
示(实线部分).
图 1
图 2
(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x+1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x+1－1的图象，如图2所示.
图 3
图 4
【题后反思】图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、
对称或伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.
【变式训练】
分别作出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.
解析：(1)先作出函数 y＝lg x 的图象，再将 x 轴下方的部分沿
x 轴翻折上去，即可得函数 y＝|lg x|的图象，如图 1 实线部分.
(2)当 x≥0 时，y＝sin |x|与 y＝sin x 的图象完全相同，又 y＝
sin |x|为偶函数，图象关于 y 轴对称，其图象如图 2.
图 1
图 2
考点二 函数图象的辨识
A
B
C
D
答案：C
【题后反思】辨识函数图象的入手点
(1)根据函数的定义域，判断图象的左右位置；根据函数的值
域，判断图象的上下位置.
(2)根据函数的单调性，判断图象的变化趋势.
(3)根据函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(4)根据函数的周期性，判断图象的循环往复.
(5)根据函数的特征点，排除不合要求的图象.
【变式训练】
(2023 年天津卷)函数 f(x)的图象如图，则 f(x)的解析式可能为
(
)
答案：D
考点三 函数图象的应用
考向 1 研究函数的性质
通性通法：对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，
其性质[单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点]常借助图象
来研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
选项 A，根据 f(x)的图象，易知函数 f(x)的单调递减区间为
(－1，0)和(0，＋∞)，
答案：ACD
考向 2 求不等式的解集
通性通法：当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解
比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化
为两函数图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.
[例4]如图 1，函数 f(x)的图象为折线 A-C-B，则不等式 f(x)≥
log2(x＋1)的解集是__________.
图 1
解析：在同一平面直角坐标系内作出 y＝f(x)和 y＝log2(x＋1)
的图象(如图 2).由图象可知不等式的解集是(－1，1].
图 2
答案：(－1，1]
【考法全练】
1.设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且 f(1)＝0，则不等式
A.(－1，0)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－1)∪(0，1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.(－1，0)∪(0，1)
答案：D
)
2.(多选题)已知函数 f(x)＝|lg x|，则(
A.f(x)是偶函数
B.f(x)的值域为[0，＋∞)
C.f(x)在(0，＋∞)上单调递增
D.f(x)有一个零点
解析：画出 f(x)＝|lg x|的函数图象如图，由图可知，f(x)既不
是奇函数也不是偶函数，故 A 错误；f(x)的值域为[0，＋∞)，故 B
正确；f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故 C 错
误；f(x)有一个零点 1，故 D 正确.故选 BD.
答案：BD
⊙根据实际问题的变化过程探究函数图象
[例 5](2024 年山东二模)如图所示，动点 P 在边长为 1 的正方
形 ABCD 的边上沿 A→B→C→D 运动，x 表示动点 P 由点 A 出发
所经过的路程，y 表示△APD 的面积，则函数 y＝f(x)的大致图象
是(
)
A
B
C
D
答案：A
【反思感悟】
根据实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数
学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题.
【高分训练】
如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点 A 出发，沿花
︵
坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则
小明到点 O 的直线距离 y 与他从点 A 出发后运动的时间 t 之间的
函数图象大致是(
)
A
B
C
D
︵
解析：小明沿AB行走时，与点 O 的直线距离保持不变，沿BO
行走时，与点 O 的距离越来越小，沿 OA 行走时，与点 O 的距离
越来越大.故选 D.
答案：D

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