资源简介

2025 中招适应性测试（四）
数学试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1.下列各数中，比 0 大的是（ ）
1
A.-3 B.3 C. D.0
2
2.在 2025 年河南省两会中，政府工作报告说：今年粮食产量预期目标是 1300 亿，数据“1300 亿”用科学
记数法表示为（ ）
A.13×108 B.13×1010 C.1.3×1011 D.0.13×1012
3.下列几何体的三视图中没有圆形的是（ ）
A.球体 B.正方体 C.圆柱 D.圆锥
4.要调查下列问题，适合采取全面调查的是（ ）
A.某省居民每年的读书量 B.某品牌花生油的质量
C.中央电视台《今日说法》的收视率 D.某新型军舰入役前的零部件检查
5.如图，平行线 a，b 被直线 c 所截，a 与 c 相交于点 O，OP⊥c 于点 O，∠1=50°，则∠2 的度数为
（ ）
A.25° B.30° C.40° D.50°
6.下列不等式中，与 x-1≤0 组成的不等式组无解的是（ ）
A.x>-3 B.x≥1 C.x≤0 D.x>2
7.若关于 x 的一元二次方程 x2 (2k + 2)x + k 2 = 0，用下面选项中的数字替换 k，能使方程有实数根的是
（ ）
1
A. B.-1 C.-2 D.-4
2
8.十二种金属活动性顺序表如图所示．在化学实验室里，有四个看上去无差别的不透明容器，四个容器里
分别放有镁，锌，铁和铜四种金属．从四个容器里随机选出两个容器，则两个容器中的金属都可以与稀硫
酸反应生成氢气的概率为（ ）
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
9.如图，⊙O 的内接四边形 ABCD，四边形 ABOD 是平行四边形，AB=2，∠C=60°，以 A 为圆心，AB 的
长为半径在⊙O 内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
8 2
A. π B.2π C. π D.4π
3 3
10.如图，在三角形 ABC 中，AB=BC，∠ABC=90°，点 A(1 3,0)，点 B(0,1)，将三角形 ABC 以原点为
旋转中心，顺时针旋转 75°后，点 C 的坐标为（ ）
A. 2, 2 B. 3, 3 C. 3, 2 D. 2, 3
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11.请写出一个次数是 2 的单项式___________．
12.已知 x 与 y 互为相反数，且 x-2y=3，则 y x 值为___________．
13.一次函数 y=-2x+b 的图象经过点 A x1, y1 和 B x2 , y2 若 x1 x2 = 1时，则 y2 y1的值为___________．
14.如图，点 M，N 是矩形 ABCD 边 AB，CD 上的点，AB=8，AD=5，将△ADE 沿 AE 折叠，点 D 的对应点
F 落在线段 MN 上．若线段 MN 所在的直线是矩形 ABCD 的对称轴，则 DE 的长为___________．
15.如图，点 M 是矩形 ABCD 边 AB 的中点，AB=4，AD=3，若点 P 是平面内的点，且∠BPD 是直角，则线
段 MP 的最大值为___________，最小值为___________．
三、解答题（本题共 8 个小题，共 75 分）
16.（10 分）（1）计算： 2 1 3 27 + 7 + 5 ；
x2 2x +1 2
（2）计算： + ．
x2 1 x +1
17.（9 分）为推进垃圾分类政策落实，某校开展了“垃圾分类，绿色校园”主题教育活动．活动结束后，
七年级 300 名学生参加了知识竞赛，现随机抽取七年级 20 名学生的成绩（满分 100 分）进行分析，部分
信息如下：
A.七年级抽取的 20 名学生成绩如下（单位：分）
72 85 91 88 79 88 95 62 77 84
93 75 82 89 98 66 73 87 90 83
B.七年级抽取的 20 名学生成绩频数分布直方图（数据分 4 组：60≤x<70，70≤x<80，
80≤x<90，90≤x<100）
C.七年级抽取的 20 名学生成绩统计表：
请根据以上信息，回答下列问题：
年级 平均数 中位数 方差
七年级 82.85 m 87.83
（1）m=___________．
（2）若 85 分及以上为优秀，请你计算七年级此次竞赛成绩的优秀率．
（3）请你估计七年级 300 名学生中成绩优秀的学生人数．
18.（9 分）如图，菱形 ABCD 的四个顶点都在格点（网络线的交点）上，对角线 AC，BD 相交于点 E，反
k
比例函数 y = (x＞0)的图象经过点
x A .
（1）求这个反比例函数的表达式．
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点 A 的三个格点，再画出反比例函数的图象．
（3）将菱形 ABCD 向左平移，当点 E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为___________．
19.（9 分）如图，在三角形 ABC 中，AC=BC，CD 是∠ACB 的平分线，BE∥CD，BE 与 AC 的延长线交于
点 E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射线 CM 交 BE 于点 F（保留作图痕迹，不
写作法）．
（2）证明（1）中得到的四边形 CDBF 是矩形．
20.（9 分）如图 1 是某学校人脸识别门禁系统设备安装在校门口处，其摄像头安装示意图如图 2 所示．摄
像头高度 OA=150cm，仰角与俯角均为 12°，人的眼睛位于∠DAE 的内部和边上时，人脸即可被识别，且
能够被识别最远的水平距离 OB=200cm．
（1）若学生站在摄像头前水平距离 OF 为 70cm 时，识别效果最佳，求此时能被识别的学生眼睛到地面距
离的最大值．（结果精确到 1cm）
（2）李老师直立时，眼睛到地面距离是 182cm，求李老师直立能被识别时，到摄像头水平距离的最小
值．（结果精确到 1cm．参考数据：sin12°≈0.208，cos12°≈0.978，tan12°≈0.213）
图 1 图 2
21.（9 分）中国传统医学历史悠久、底蕴深厚，担负着除病济世、造福百姓的重任，凝聚着中国人民和中
华民族的博大智慧，为中华民族健康繁衍生息和文化传承作出了重要贡献．习近平总书记指出：“中医药
是中华民族的瑰宝，一定要保护好、发掘好、发展好、传承好．”某中医院响应习书记号召，为配制清热
解毒方剂，准备了甲，乙两种中药包，每种药包主要成份含量为 20 克，成份如下表．
类别
甲 乙
成份
清热解毒成份 8 克 15 克
补气成份 12 克 5 克
（1）若需配制一付含清热解毒成份 100 克，补气成份 80 克的方剂，应选用甲，乙两种药包各多少包？
（2）患者体质虚弱，要求每付方剂中清热解毒成份不超于 120 克，且需尽量减少补气成份的摄入．若某
方剂使用甲，乙药包共 9 包，应如何搭配这两种药包？
22.（10 分）某中学航模社团小组设计并制作了一种火箭模型，并将火箭模型放置在发射塔上进行发
射．通过不断的实验数据反馈，得到火箭模型升空的高度 h（m）与飞行时间 t（s）满足函数表达式 h=-
t2+30t+h0.
（1）火箭模型升空的最大高度是___________（用含 h0的式子表示）；
（2）若火箭模型发射塔的高度为 2m，求点火后，第几秒火箭模型升空的高度为 106m．
23.（10 分）综合于实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“筝形”进行研究．定
义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
（1）操作判断
分别用顶角为 30°和 45°角的等腰三角纸板拼出如图 1 所示的 4 个四边形，其中是筝形的有___________
（填序号）．
① ② ③ ④
图 1
（2）性质探究
如图 2，两个全等的等腰三角形拼成筝形 ABCD 中，其中 AB=AC=AD，对角线 AC 和 BD 交于点 O．
①求证：AC 垂直平分 BD；
②若∠BAD=2θ，AB=a，求筝形的面积（用含 a，θ的式子表示）．
图 2 图 3
（3）拓展应用
如图 3，在平面直角坐标系中，点 A(0, 3) ，点 B(3,0) ，点 P 在直线 y=x 上且位于第一象限，点 Q 在线
段 OB 上．若以 A，B，P，Q 为顶点的四边形是筝形，直接写出所有符合条件点 Q 的坐标．
2025 中招适应性测试（四）数学参考答案
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D C D A C C A
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
题号 11 12 13 14 15
x2 （答案不唯 5
答案 -1 2 4 1
2
一）
（注：第 15 题只填对一空得 2 分）
解析：14.设 DE = x ，由折叠可知： EF = DE = x, AF = AD = 5，
线段MN 所在的直线是矩形 ABCD的对称轴，则点M N 是边 AB CD 的中
点，\ AM = DN = 4，在RtVAMF 中，MF =
AF 2 AM 2 = 52 42 = 3,\ NF = 2,\
EN = 4 x，在RtVNEF 中，
22 + (4 x)2 = x2 ,\ x 5= ,\DE 5= ．
2 2
15.解析：由题意得 A = 90o , DPB = 90o ，
\点 D P B C 在 BD为直径的圆上，在RtVABD 中，
BD = AD2 + AB2 = 32 + 42 = 5
eO 的半径为 2.5;O M 是 BD AB的中点，\OM 1= AD =1.5, P O M 三点共线时线段MP 有最值，
2
如图 1，MP 有最大值 2.5 +1.5 = 4 ，如图 2，MP 有最小值 2.5 1.5 =1．
三、解答题（本题共 8 个小题，共 75 分）
1
16.（5 分）（1）解：原式= 3 + 2
2
1
=
2
(x 1)2 2
（5 分）（2）解：原式= + x +1 x 1 x +1
x 1 2
= +
x +1 x +1
=1
17.解：（1）如图所示；m = 84.5
10
（2）85 分以上的学生有 10 人， 100% = 50%
20
答：七年级此次竞赛成绩的优秀率为50%．
（3）300 50% =150（名）
答：七年级 300 名学生中成绩优秀的学生人数为 150 名．
18.解：（1）由图可知点 A 2,4 ，
\4 k= 解得 k = 8
2
\ 8反比例函数解析式为 y = x > 0
x
（2）图象如图所示：
（3）3
19.解：（1）如图：
（2）Q ECM = A
\CM ∥ AB
\BE∥ CD
\四边形CDBF 是平行四边形
QCD 是等腰三角形 ABC 顶角的平分线
\CD ^ AB
\ CDB = 90o
\四边形CDBF 是矩形
20.解：（1）设OF = 70cm，过点 F 作 FG ^ AC 交 AC 于点 H ，交 AD 于点G 则
FH = OA =150cm, AH = OF = 70cm
在RtVAHG 中，
HG = AH × tan GAH = 70 tan12o 70 0.213 15cm
\GF = GH + HF 150 +15 =165cm
答：此时能被识别的学生眼睛到地面距离的最大值为165cm ．
（2）在OB 上取点M ，过点M 作MN ^ AC 交
AC 于点 K ，交 AD 于点 N ，
则MN =182cm, MK = OA =150cm
\ NK = MN MK =182 150 = 32cm
在RtVAKN 中，
AK NK NK 32= = o 150cmtan DAC tan12 0.213
\OM = AK =150cm
答：李老师直立能被识别时，到摄像头水平距离的最小值为150cm
21.解：（1）设选用甲，乙两种药包分别为 x, y 包；
ì8x +15y =100 ìx = 5
由题意可知： í 解得
12x + 5y = 80
í
y = 4
答：选用甲，乙两种药包分别为 5 包，4 包．
（2）设使用甲药包 a 包，则乙药包（9-a）包；
由题意可知：8a +15 9 a 120
解得 a…15
7
补气成分W =12a + 5 9 a = 7a + 45
Q7 > 0,\W 随 a 的增大而增大
Qa…15 且 a 为正整数
7
\a = 3时，W 有最小值\9 a = 9 3 = 6
答：使用甲药包 3 包，乙药包 6 包．
22.解：（1） h0 + 225
（2）Q火箭模型发射塔的高度为 2m
\h0 = 2
\h = t 2 + 30t + 2
当 t 2 + 30t + 2 =106时，解得： t1 = 4, t2 = 26
\点火后第 4s或第 26s火箭模型升空的高度为 106m．
23.解：（1）④
（2）①Q四边形 ABCD是筝形， AC 和 BD是对角线
\ AB = ADCB = CD
\对角线 AC 垂直平分对角线 BD
②箏形 ABCD中，CB = CDAC 垂直平分对角线 BD
\ AC 平分 BAD
Q BAD = 2q
\ BAC = q
在RtVAOB 中，OB = ABsin BAO = asinq
Q AC 垂直平分对角线 BD
\BD = 2OB = 2asinq
\S 1 1ABCD = AC × BD = a × 2asinq = a
2sinq
筝形 ．2 2
（3） 1,0 或 6 3 3,0
解析：点 A 0, 3 , B 0,3 \OA = 3,OB = 3,\ ABO = 30o , AB = 2 3
如图 1，当 PQ垂直平分 AB 时，QA = QB ，此时VAQB 是120o30o30o 的等腰三角形，
QB 3 3= AB = 2 3 = 2,OQ = OB QB =1;\Q, 1,0 ；
3 3
如图 2，当 AB 垂直平分 PQ时， BQ = BP,Q ABO = 30o \ ABP = 30o ，
\ QBP = 60o ，此时VPQB 是等边三角形，过点 P 作 PC ^ x 轴于点C ，
QC BC 1 BQ 1 OB OQ 3 OQ , OC OQ QC 3+ OQ则 = = = = \ = + = ，
2 2 2 2
RtVPQC 3 3 OQPC 3QC 3 3 3OQ在 中， = = = ，
2 2
Q点 P 在直线 y = x上，\PC = OC, 3 3 3OQ 3+ OQ\ = ，
2 2
\OQ = 6 3 3\Q 6 3,0
综上，Q 1,0 或 6 3 3,0

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