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(共54张PPT)
第三讲　等比数列及其前n项和
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数
列的有关知识解决相应的问题.
4.了解等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列的定义
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同
一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比
数列的公比，通常用字母 q 表示.
2.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为 a1 ，公比为 q，则它的通项公式为
an＝a1·qn-1.
3.等比中项
若 G2＝a·b(ab≠0)，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项.
4.等比数列的常用性质
5.等比数列的前 n 项和公式
6.等比数列前 n 项和的性质
若q≠－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，
S3n－S2n仍是等比数列.
考点一 等比数列基本量的运算
A.5
B.4
C.3
D.2
答案：C
2.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，S2＝1，S4＝5，则S8
的值为(
)
A.85
B.64
C.84
D.21
答案：A
3.(2024年全国甲卷文科)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{Sn}的通项公式.
考点二 等比数列的判定及应用
【题后反思】等比数列的四种常用判定方法
【变式训练】
答案：AD
2.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.设bn＝an＋1－2an.
(1)证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
考点三 等比数列性质的应用
解析：∵数列{an＋an＋1}是公比为2的等比数列，且a1＋a2＝1，
∴an＋an＋1＝2n-1，①
an＋1＋an＋2＝2n.②
②－①，得an＋2－an＝2n-1，
分别取n＝2，4，6，…，2 022，得
a4－a2＝22-1＝2，
a6－a4＝24-1＝23，
a8－a6＝26-1＝25，…，
答案：A
(2)(2024 年山东淄博一模)已知等比数列{an}共有 2n＋1 项，
a1＝1，所有奇数项的和为 85，所有偶数项的和为42，则公比q＝
______.
答案：2
【题后反思】等比数列常见性质的应用
(1)通项公式的变形.
(2)等比中项的变形.
(3)前 n 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体
的变化特征即可找出解决问题的突破口.
【变式训练】
1.(2023年天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n
项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　)
A.3
B.18
C.54
D.152
答案：C
2.(2024年广东佛山一模)记Sn为数列{an}的前n项和，且满足2Sn＋1＝3Sn＋2an.
(1)试判断数列{Sn＋an}是否为等比数列，并说明理由；
(2)若a1＝2，求{an}的通项公式.
⊙递归中的等比数列问题
[例3](1)(2023年陕西渭南二模)如图是美丽的“勾股树”，将
一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图 1
所示的第 1 代“勾股树”，重复图 1 的作法，得到如图 2 所示的
第2代“勾股树”，…，以此类推，记第n代“勾股树”中所有正
方形的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn＞2 022
恒成立，则 n 的最小值为(
)
图 1
图 2
A.7
B.8
C.9
D.10
答案：C
(2)(多选题)数学中的螺旋线来源于希腊文，它的原意是“旋
卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐
旋绕而形成的图案，如图 1，它的画法是这样的：正方形 ABCD
的边长为 4，取正方形 ABCD 各边的四等分 E，F，G，H 作第二
个正方形，然后再取正方形 EFGH 各边的四等分点 M，N，P，Q
作第 3 个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图
案，设正方形 ABCD 的边长为 a1，后续各正方形边长依次为 a2，
a3，an；如图 2 阴影部分，设直角三角形 AEH 面积为 b1，后续各
直角三角形面积依次为 b2，b3，bn，下列说法正确的是(
)
图 1
图 2
答案：AC
【反思感悟】
解决递归问题的关键，是找到前后两次操作中数量的递推关
系，转化为数列的递推公式，进而求出数列的通项公式.也可以根
据前几步操作的结果写出对应数列前几项的值，通过找规律的方
式推出数列的通项公式.值得注意的是，在解答题中，不能直接通
过观察规律得出数列的通项公式，需要用数学归纳法严格证明.
【高分训练】
如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形(图1)的边长为1，把图1，2，3，4…中图形的周长依次记为a1，a2，a3，a4，…，得到数列{an}.设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn≥an＋81时，则n的最小值为(　　)
(参考数据：lg 4≈0.60，lg 3≈0.48)
图 1
图 2
A.5
B.8
图 3
C.10
图 4
D.12
答案：C

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