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第四讲　数列求和
1.掌握等差、等比数列的前 n 项和公式.
2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法.
1.公式法
2.几种数列求和的常用方法
(1)分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列
组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相
互抵消(注意消项规律)，从而求得前 n 项和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对
应项之积构成的，那么求这个数列的前 n 项和即可用错位相减法
求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或
等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法
求解.
(5)并项求和法
一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求
和.形如 an＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解.
考点一 分组转化法求和
解：(1)依题意，Sn＝2an－1，
当n＝1时，a1＝2a1－1，得a1＝1；
当n≥2时，由Sn＝2an－1，得Sn－1＝2an－1－1，
两式作差，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
∴an＝2an－1(n≥2)，
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an＝2n-1(n∈N*).
【题后反思】
【变式训练】
(2024年河北唐山一模)已知数列{an}是正项等比数列，其前n项和为Sn，且a2a4＝16，S5＝S3＋24.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an＋log2an}的前n项和为Tn，求满足Tn＜2 024的最大整数n.
考点二 裂项相消法求和
【题后反思】裂项相消法求数列{an}的前 n 项和的基本步骤
【变式训练】
考点三 错位相减法求和
　　解：(1)已知数列{an}满足{an＋1－an}为等差数列，
又a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝7，
则a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3.
即数列{an＋1－an}是以1为首项，1为公差的等差数列.
∴an＋1－an＝1＋(n－1)×1＝n.
∴an－an－1＝n－1，
【题后反思】错位相减求和方法
(1)适用条件：若{an}是公差为 d(d≠0)的等差数列，{bn}是公
比为 q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前 n 项和 Sn.
(2)基本步骤
(3)注意事项：①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；②作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；
③运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把
－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误.
【变式训练】
(2024年全国甲卷理科)已知数列{an}的前n项和为Sn，且
4Sn＝3an＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
　　解： (1)∵4Sn＝3an＋4，①
∴4Sn＋1＝3an＋1＋4，②
②－①，得4an＋1＝3an＋1－3an，
即an＋1＝－3an，
又∵4S1＝3a1＋4，
∴a1＝4，故数列{an}是以首项为4，公比为－3的等比数列，
∴an＝4·(－3)n-1.
考点四 并项法求和
【题后反思】(1)用并项求和法求数列的前 n 项和一般是指把
数列的一些项合并组成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和.可
用并项求和法的常见类型：一是数列的通项公式中含有绝对值符
号；二是数列的通项公式中含有符号因子“(－1)n”；三是数列
{an}是周期数列.
【变式训练】

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