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(共45张PPT)
第二讲　等差数列及其前n项和
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数
列的有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列的定义
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同
一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数
列的公差，通常用字母 d 表示.
a＋b
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式
是an＝a1＋(n－1)d(n∈N*).
3.等差中项
如果 A＝
2
，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.
4.等差数列的前 n 项和公式
5.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系
(2)数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*).
6.等差数列的前 n 项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn 存在最大值；若 a1<0，
d>0，则 Sn 存在最小值.
考点一 等差数列基本量的运算
答案：B
2.(2024年山东淄博一模)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若
a3＋a7＝10，a5a6＝35，则S6＝(　　)
A.20
B.16
C.14
D.12
答案：D
3.若前n项和为Sn的等差数列{an}满足a5＋a7＝12－a9，则
S13－2＝(　　)
A.46
B.48
C.50
D.52
答案：C
4.(2024年新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若
a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________.
答案：95
【题后反思】解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项 a1 和公差 d，通常利
用已知条件及通项公式或前 n 项和公式列方程(组)求解，等差数列
中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”.
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用
a1，d 表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解.
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、简化解题
过程.
考点二 等差数列的判定与证明
方法 解读 适合题型
定义法 若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数 {an}是等差数列 解答题中
证明问题
等差中
项法 2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立 {an}是等差数列
通项公
式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列 选择、填
空题中的
判定问题
前n项
和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列
【题后反思】等差数列的判定与证明的方法
【变式训练】
考点三 等差数列性质的应用
考向 1 等差中项的性质
[例 2](1)(2024 年河南郑州一模)已知数列{an}为等差数列，
a1＋a2＋a3＝7，a7＋a8＋a9＝13，则a13＋a14＋a15＝(　　)
A.19
B.22
C.25
D.27
答案：A
答案：D
考向 2 等差数列前 n 项和的性质
答案：B
答案：A
【题后反思】利用等差数列的性质解题的两个关注点
【考法全练】
1.在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是
(
)
A.20
B.22
C.24
D.8
解析：因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，
所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.故选C.
答案：C
2.(2024年山东青岛一模)记正项等差数列{an}的前n项和为
Sn，S20＝100，则a10·a11的最大值为(　　)
A.9
B.16
C.25
D.50
答案：C
⊙等差数列的前 n 项和及其最值
[例4](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＜0，a4＋a9＞
0，则使得不等式 Sn＜0 成立的最大的 n 的值为(
)
A.9
B.10
C.11
D.12
答案：C
【规律方法】
求等差数列前 n 项和 Sn 的最值的常用方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋
bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.
【高分训练】
已知在等差数列{an}中，a1＝40，a3＋a9＝76.　
(1)求{an}的通项公式；
(2)若{an}的前n项和为Sn，求Sn的最大值.

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