资源简介

(共51张PPT)
第二讲　空间几何体的表面积与体积
知道球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式，能用公式
解决简单的实际问题.
项目 圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝π(r1＋r2)l
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下
球 S＝4πR2
2.柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式
【名师点睛】
(1)与体积有关的几个结论
①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
(2)几个与球有关的切、接常用结论
①正方体的棱长为 a，球的半径为 R：
a.若球为正方体的外接球，则 2R＝ 　a；
b.若球为正方体的内切球，则 2R＝a；
c.若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 　a.
考点一 几何体的表面积
[例 1](1)(2023 年福建泉州模拟)已知圆锥 SO 的母线长为 2，
AB 是圆 O 的直径，点 M 是 SA 的中点.若侧面展开图中，△ABM
为直角三角形，则该圆锥的侧面积为(
)
答案：C
(2)(2024 年北京模拟)已知某圆台的侧面展开图是一个圆环被
圆心角为 90°的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为 2π，则该
圆台体积的取值范围是_______________.
解析：圆台及侧面展开图如图所示.
【题后反思】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积
之和.
(3)求组合体的表面积时应注意对衔接部分的处理.
【变式训练】
1.(2023 年四川宜宾期末考)在△ABC 中，AB＝BC＝AC＝2，
将△ABC 绕直线 AB 旋转一周，得到的旋转体的表面积为(
)
解析：在△ABC 中，AB＝BC＝AC＝2，将△ABC 绕直线 AB
旋转一周，得到的旋转体是两个圆锥体的组合体，如图所示.
答案：B
答案：B
解析：由题意可得，四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何
体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体.如图，过点 C 作 CE⊥AD交
AD 的延长线于点 E，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为点 F.
则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，
考点二 几何体的体积
考向 1 多面体的体积
通性通法：求几何体体积的常用方法
[例 2](1)(2023 年山东潍坊期末考)已知直四棱柱的高为 1，
其底面四边形ABCD水平放置的斜二测直观图为平行四边形
A′B′C′D′，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝2A′D′＝2，则该直四棱柱的体
积为(　　)
A.
4
3
B.
8
3
C.2
D.4
解析：∵四边形 ABCD 水平放置的斜二测直观图为平行四边
形 A′B′C′D′，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝2A′D′＝2，∴原四边形ABCD
是边长为 2 的正方形.又直四棱柱的高为 1，∴该直四棱柱的体积
为 V＝22×1＝4.故选 D.
答案：D
(2)(2024 年天津卷)在如图所示的五面体中，棱 AD，BE，CF
互相平行，且两两之间的距离均为 1.若 AD＝1，BE＝2，CF＝3，
则该五面体的体积为(
)
解析：如图，延长 AD 到 G，使 DG＝2，延长 BE 到 H，使
EH＝1，连接 AF，BF，
可得 AG＝BH＝CF＝3，结合 AG∥BH∥CF，
可知 ABC-GHF 为三棱柱，
∵四边形 ABED 与四边形 HGDE 全等，
由 AG∥BH∥CF，且它们两两之间的距离为 1.
答案：C
考向 2 旋转体的体积
通性通法：求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面
积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、
高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.
[例3](2024 年山东临沂一模)球面被平面所截得的一部分叫做
球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段
叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的
底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是
旋转体，可以看作是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图
1，一个球面的半径为 R，球冠的高是 h，球冠的表面积公式是
图 1
图 2
图 3
【考法全练】
1.(2024 年广东揭阳二模)如图，正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 容
器的高为 12 cm，AB＝10 cm，A1B1＝2 cm，容器中
水的高度为 6 cm，现将 57 个大小相同，质地均匀的
小铁球放入容器中(57 个小铁球均被淹没)，水位上升
了 3 cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径
为(
)
解析：如图，作出正四棱台的轴截面，
根据已知可得 E1T＝F1S＝12 cm，AB＝EF＝10 cm，
A1B1＝E1F1＝2 cm，
水面高度 RT＝KS＝6 cm，HR＝GK＝3 cm，
答案：A
2.如图，某青铜器的上半部分可以近似看作圆柱，下半部分可
以近似看作两个圆台的组合体.已知 AB＝9 cm，CD＝3 cm，则该
青铜器的体积为(
)
答案：A
考点三 组合体的表面积与体积
[例4](2024 年河南开封一模)如图 1 ，在棱长为 1 的正方体
ABCD-A1B1C1D1 中，E 为线段 DD1 的中点.
(1)求四面体 AB1CE 的体积；
(2)求平面 AB1E 与平面 AB1C 夹角的余弦值.
图 1
图 2
【题后反思】处理体积问题的思路
(1)“转”：指的是转换棱锥的底面与高，将原来不易求面积
的底面转换为易求面积的底面，将原来不易看出的高转换为易求
长度的高.
(2)“移”：指的是当棱锥的顶点沿着与底面平行的方向移动
时，棱锥的高不变，体积也不变，移动顶点后可用“转”的方法
求棱锥体积.
(3)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几
何体，便于计算.
(4)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一
个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，
这些都属于拼补的方法.
【变式训练】
如图，一个几何体是由一个正三棱柱挖去一个圆锥得到的.该
三棱柱底面的正三角形的边长为 2，棱柱的高为 4.圆锥的底面与三
棱柱上底面的正三角形内切，顶点在三棱柱的下底面上.
(1)求该几何体的体积；
(2)求该几何体的表面积.

展开更多......

收起↑