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第五讲　直线、平面垂直的判定与性质
从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解
空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.归纳出
性质定理与判定定理，并加以证明.
1.直线与平面垂直
(1)定义
如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线 l 与平
面α互相垂直，记作 l⊥α，直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直
线 l 的垂面.
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
l⊥α
(2)判定定理与性质定理
定理 文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直
线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是
直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0°
的角.
(2)范围：
3.平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做
二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂
足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所
构成的角叫做二面角的平面角.
(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这
两个平面互相垂直.
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
α⊥β
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
定理 文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
l⊥α
提醒：两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直
的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件.
【名师点睛】直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面
内的任意直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直
于这个平面.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一
个平面也垂直.
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，他们的交线也垂直
于第三个平面.
考点一 线面垂直的判定与性质
[例1]如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E 是 PC
的中点.求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面 ABE.
证明：(1)在四棱锥 P-ABCD 中，
∵PA ⊥底面 ABCD，CD 平面 ABCD，
∴PA ⊥CD.
又∵AC⊥CD，且 PA 平面 PAC，AC 平面 PAC，PA ∩AC＝
A，
∴CD⊥平面 PAC.
又 AE 平面 PAC，
∴CD⊥AE.
(2)由 PA ＝AB＝BC，且∠ABC＝60°，得△ABC为正三角形，
所以 AC＝PA .
∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知 AE⊥CD，且 PC 平面 PCD，CD 平面 PCD，PC∩CD
＝C，
∴AE⊥平面 PCD.
又 PD 平面 PCD，
∴AE⊥PD.
∵PA ⊥底面 ABCD，AB 平面 ABCD，
∴PA ⊥AB.
又∵AB⊥AD，PA 平面 PAD ，AD 平面 PAD ，且 PA ∩AD
＝A，
∴AB⊥平面 PAD .
又 PD 平面 PAD ，∴AB⊥PD.
又∵AE 平面 ABE，AB 平面 ABE，且 AB∩AE＝A，
∴PD⊥平面 ABE.
【题后反思】证明线面垂直的常用方法及关键
【变式训练】
证明：(1)∵ABC A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝
90°，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
又D是A1B1的中点，
∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D.又A1B1 平面AA1B1B，AA1 平面AA1B1B，
且A1B1∩AA1＝A1，
∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)选①和③能证明 AB1⊥平面 C1DF.以下是证明过程.
如图，连接 DF，A1B.
∵D，F 为 A1B1，BB1 中点，∴DF∥A1B.
在△ABC 中，AC＝BC＝1，AC⊥BC，
考点二 面面垂直的判定与性质
[例 2]如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，
CD＝2AB，平面 PAD ⊥底面 ABCD，PA ⊥AD，E 和 F 分别是CD
和 PC 的中点，求证：
(1)PA ⊥底面 ABCD；
(2)BE∥平面 PAD ；
(3)平面 BEF⊥平面 PCD.
证明：(1)∵平面 PAD ⊥底面 ABCD，
且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，PA 平面 PAD ，
∴PA ⊥底面 ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E 为 CD 的中点，
∴AB∥DE，且 AB＝DE.∴四边形 ABED 为平行四边形.
∴BE∥AD.
又∵BE 平面 PAD ，AD 平面 PAD ，
∴BE∥平面 PAD .
(3)∵AB⊥AD，而且 ABED 为平行四边形.
∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知 PA ⊥底面 ABCD，CD 平面 ABCD，
∴PA ⊥CD，且 PA ∩AD＝A，PA ，AD 平面 PAD，
∴CD⊥平面 PAD .
又∵PD 平面 PAD ，∴CD⊥PD.
∵E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，∴PD∥EF.
∴CD⊥EF，又 BE⊥CD 且 EF∩BE＝E，
∴CD⊥平面 BEF，又 CD 平面 PCD，
∴平面 BEF⊥平面 PCD.
【题后反思】证明面面垂直的两种方法
【变式训练】
(1)求证：平面 MOC⊥平面 VAB；
(2)求三棱锥 B-VAC 的高.
(1)证明：∵AC＝BC，O 为 AB 的中点，
∴OC⊥AB.
∵平面 VAB⊥平面 ABC，平面 VAB∩平面 ABC＝AB，OC
平面 ABC，
∴OC⊥平面 VAB.
∵OC 平面 MOC,
∴平面 MOC⊥平面 VAB.
考点三 垂直关系的综合应用
[例 3]如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，
C 是圆周上不同于 A，B 的一动点.
(1)证明：△PBC 是直角三角形；
(2)若 PA ＝AB＝2，且当直线 PC 与平面 ABC所
成角的正切值为 时，求直线 AB 与平面 PBC 所成
角的正弦值.
(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于 A，B的一
动点.∴BC⊥AC，
∵PA ⊥平面 ABC，
∴BC⊥PA .
又 PA ∩AC＝A，PA ，AC 平面 PAC，
∴BC⊥平面 PAC，
∴BC⊥PC，
∴△BPC 是直角三角形.
(2)解：如图，过点 A 作 AH⊥PC 于点 H，
∵BC⊥平面 PAC，
∴BC⊥AH.
又 PC∩BC＝C，PC，BC 平面 PBC，
∴AH⊥平面 PBC，
∴∠ABH 是直线 AB 与平面 PBC 所成的角.
∵PA ⊥平面 ABC，
∴∠PCA 就是 PC 与平面 ABC 所成的角.
【题后反思】
(1)证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线
垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化.
(2)线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出
所求角，然后在一个直角三角形中求解.
【变式训练】
在四棱锥 P-ABCD 中，△PAD 是等边三角形，且平面 PAD ⊥
平面 ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)在 AD 上是否存在一点 M，使得平面 PCM⊥平面 ABCD，
若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△PCD 的面积为 8 ，求四棱锥 P-ABCD 的体积.
解：(1)当 M 为 AD 的中点时，使得平面 PCM⊥平面 ABCD.
证明如下：
如图，连接 CM，PM，
由△PAD 是等边三角形，可得 PM⊥AD，
而平面 PAD⊥平面 ABCD，PM 平面 PAD，
AD 为平面 PAD 和平面 ABCD 的交线，可得 PM⊥
平面 ABCD，
又因为 PM 平面 PCM，可得平面 PCM⊥平面 ABCD.
考点四 平行关系与垂直关系的综合应用
[例4]如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面
PAD ⊥平面 ABCD，PA ⊥PD，PA ＝PD，E，F 分别为 AD，PB的
中点.
求证：
(1)PE⊥BC；
(2)平面 PAB ⊥平面 PCD；
(3)EF∥平面 PCD.
证明：(1)因为 PA ＝PD，E 为 AD 的中点，
所以 PE⊥AD.
因为底面 ABCD 为矩形，所以 BC∥AD.
所以 PE⊥BC.
(2)因为底面 ABCD 为矩形，所以 AB⊥AD.
因为平面 PAD ⊥平面 ABCD，平面 PAD ∩平面 ABCD＝AD，
AB 平面 ABCD，
所以 AB⊥平面 PAD .
又 PD 平面 PAD ，所以 AB⊥PD.
又因为 PA ⊥PD，AB 平面 PAB，PA 平面 PAB，且 PA ∩AB＝A，
所以 PD⊥平面 PAB.
又 PD 平面 PCD，
所以平面 PAB⊥平面 PCD.
(3)如图，取 PC 中点 G，连接 FG，DG.
因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点，
因为底面 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点，
所以 DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形 DEFG 为平行四边形.
所以 EF∥DG.又因为 EF 平面 PCD，
DG 平面 PCD，所以 EF∥平面 PCD.
【题后反思】
求解垂直与平行的综合问题时，应注意平行、垂直的性质及
判定的综合应用.如果有面面垂直的条件时，一般要用其性质定理，
即在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一
步转化为线线垂直.
【变式训练】
1.(2024 年广东惠州一模)若 l，n 是互不相同的空间直线，α，
)
β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是(
A.若α∥β，l α，n β，则 l∥n
B.若α⊥β，l α，则 l⊥β
C.若 l∥α，α⊥β，则 l⊥β
D.若 l⊥α，l∥β，则α⊥β
解析：由 l，n 是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，
知
在 A 中，若α∥β，l α，n β，则 l 与 n 平行或异面，故 A
错误；
在 B 中，若α⊥β，l α，则 l 与β相交、平行或 l β，故 B
错误；
在 C 中，若 l∥α，α⊥β，则 l 与β相交、平行或 l β，故 C
错误；
在 D 中，若 l⊥α，l∥β，则由面面垂直的判定理得α⊥β，故
D 正确.故选 D.
答案：D
2.如图，在底面为菱形的四棱锥P ABCD中，PA⊥AD，
PA ⊥CD，E 为侧棱 PC 上一点.
(1)若 BE⊥PC，求证：PC⊥平面 BDE；
(2)若 PA ∥平面 BDE，求平面 BDE 把四棱锥 P-ABCD 分成两
部分的体积之比.
(1)证明：如图，连接 AC，因为四边形 ABCD 为菱形，
所以 AC⊥BD.
因为 PA ⊥AD，PA ⊥CD，且 AD∩CD＝D，
所以 PA ⊥底面 ABCD，所以 PA ⊥BD.
又因为 PA ∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC，
所以 BD⊥PC.
又因为 BE⊥PC，BD∩BE＝B，所以 PC⊥平面 BDE.
(2)解：设 AC∩BD＝O，如图，连接 OE，
因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AO＝OC.
因为 PA ∥平面 BDE，
平面 PAC ∩平面 BDE＝OE，
3.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，D是AB中点.
(1)证明：AC1∥平面B1CD；
(2)若∠ACB＝90°，AA1＝BC，证明：平面A1C1B⊥平面B1CD.
证明：(1)如图，设 BC1 与 B1C 相交于点E，连接DE，由题意
可得，D，E 分别为 AB，BC1 的中点，所以 DE 是△ABC1 的中位
线，所以 DE∥AC1，因为 DE 平面 B1CD，AC1 平面 B1CD，所
以 AC1∥平面 B1CD.
(2)因为AA1⊥底面A1B1C1，
所以CC1⊥底面A1B1C1，所以CC1⊥A1C1，
因为∠ACB＝90°，即∠A1C1B1＝90°，
所以A1C1⊥B1C1，
又因为B1C1，CC1 平面BCC1B1且B1C1∩CC1＝C1，
所以A1C1⊥平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C，
因为AA1＝BC，AA1＝CC1，
所以CC1＝BC，
在三棱柱ABC A1B1C1中，CC1⊥B1C1，所以四边形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C，
因为A1C1∩BC1＝C1，A1C1 平面A1C1B，BC1 平面A1C1B，所以B1C⊥平面A1C1B，
因为B1C 平面B1CD，所以平面A1C1B⊥平面B1CD.

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