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第四讲　直线、平面平行的判定与性质
从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解
空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，归纳
出性质定理与判定定理，并加以证明.
表示方法 文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”)
l∥α
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
表示方法 文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行 线线平行”)
a∥b
表示方法 文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”)
α∥β
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
表示方法 文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
a∥b
【名师点睛】平行关系中的重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，则
α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a⊥α，b⊥α，则
a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则
α∥γ.
(4)垂直于同一平面的两个平面不一定平行，平行于同一直线
的两个平面不一定平行.
考点一 与线、面平行相关命题的判定
1.(多选题)已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同
的平面，则下列命题中正确的是(
)
A.若 m∥α，m∥β，则α∥β
B.若 m∥α，n∥α，则 m∥n
C.若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n
D.若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能平行，也可能相交
解析：若α∩β＝n，m∥n，且m α，m β，则 m∥α，m∥β，
故 A 错误.若 m∥α，n∥α，则 m 与 n 可能是异面直线、相交直线
或平行直线，故 B 错误.若 m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理
知 m∥n，故 C 正确.若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能相交或平行，故D
正确.故选 CD.
答案：CD
2.(多选题)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列直线或平面与平
)
面 ACD1 平行的是(
A.直线 A1B
B.直线 BB1
C.平面 A1DC1
D.平面 A1BC1
解析：如图所示，由 A1B∥D1C，且 A1B 平面 ACD1，D1C
平面 ACD1，
故直线 A1B 与平面 ACD1 平行，故 A 正确.
答案：AD
BB1∥DD1，DD1与平面ACD1相交，故直线BB1与平面ACD1相交，故B错误.
平面A1DC1与平面ACD1相交，故C错误.
由A1B∥D1C，AC∥A1C1，且A1B∩A1C1＝A1，AC∩D1C＝C，故平面A1BC1与平面ACD1平行，故D正确.故选AD.
【题后反思】
(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关
系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，
都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项进行确定或排除，再
逐步判断其余选项.
(2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；
②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情
况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
考点二 直线与平面平行的判定与性质
[例1](2024 年全国甲卷文科)如图 1，在以 A，B，C，D，E，
F 为顶点的五面体中，四边形 ABCD 与四边形 CDEF 均为等腰梯
形，AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，AD＝
(1)证明：EM∥平面 BCF；
(2)求点 M 到 ADE 的距离.
图 1
(1)证明：由题意得 EF∥CM，EF＝CM，
∴四边形 EFCM 为平行四边形.
∴EM∥CF.
而 EM 平面 BCF，CF 平面 BCF，
∴EM∥平面 BCF.
(2)解：取 DM 的中点 O，连接 OA，OE，如图 2 所示.
图 2
由已知，得△EMD 是边长为 2 的等边三角形，△ADM 是以
【题后反思】证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点.
(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行
的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段
等，出现平行线或过已知直线作一平面找其交线.
(3)面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一
条直线平行于另外一个平面，即α∥β，a α a∥β；②两个平面
平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直
线与另一平面也平行，即α∥β，a α，a β，a∥α a∥β.
【变式训练】
1.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外
一点，M 是 PC 的中点，点 G 为线段 DM 上不与 D，M 重合的一
点，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证：GH∥平面 PAD .
证明：如图，平面PAG交BD于点H，连接AC交BD于点O，
连接 MO，
因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 O 是 AC 的中点.
又 M 是 PC 的中点，
所以 AP∥OM.
又知 OM 平面 BMD，AP 平面 BMD.
所以 PA ∥平面 BMD.
因为平面 PAHG∩平面 BMD＝GH，PA 平面 PAHG.
所以 PA ∥GH.
因为 GH 平面 PAD ，PA 平面 PAD ，
所以 GH∥平面 PAD .
2.(2024 年广东佛山一模)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，
AA1＝2，AB＝3，AC＝4，∠ACB＝30°.过点 A，B1，C1 的平面
和平面 ABC 的交线记作 l.
(1)求证：l∥BC；
(2)求顶点 C1 到直线 l 的距离.
(1)证明：如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，
∵B1C1∥BC，BC 平面 ABC，B1C1 平面 ABC，
∴B1C1∥平面 ABC，
又 B1C1 平面 AB1C1，且平面 AB1C1∩平面 ABC＝l，
∴B1C1∥l，则 l∥BC.
考点三 平面与平面平行的判定与性质
[例2]如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分
别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：
(1)GH∥平面 ABC；
(2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
证明：(1)∵在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是
AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，
∴GH∥B1C1.
又 B1C1∥BC，
∴GH∥BC.
∵GH 平面 ABC，BC 平面 ABC，
∴GH∥平面 ABC.
(2)∵在三棱柱ABC A1B1C1中，
E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，
∴EF∥BC，A1G 　　　BE，
∴四边形BGA1E是平行四边形，∴A1E∥BG.
∵A1E 　　　　平面BCHG，BG 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.同理EF∥平面BCHG.
又A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
【题后反思】证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义.
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都
平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.
【变式训练】
1.如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边
形，M，N，Q 分别为 BC，PA ，PB 的中点.
(1)求证：平面 MNQ∥平面 PCD；
(2)在线段PD上是否存在一点E，使得 MN∥
请说明理由.
(1)证明：∵底面 ABCD 是平行四边形，M，N，Q 分别为 BC，
PA ，PB 的中点，
∴NQ∥AB，MQ∥PC.
∵AB∥CD，∴NQ∥CD.
∵MQ 平面 PCD，PC 平面 PCD，
∴MQ∥平面 PCD.同理 NQ∥平面 PCD.
又 MQ∩NQ＝Q，∴平面 MNQ∥平面 PCD.
的值.
2.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，
M 是 AD 的中点.过点 M 且平行于平面 PCD 的平面交棱 PB 于点
E.求
PE
EB
解：设过点 M 且平行于平面 PCD 的平面交棱 BC 于点 N，连
接 MN，NE，ME，如图所示.
因为平面 MNE∥平面 PCD，平面 MNE∩平面 ABCD＝MN，
平面 PCD∩平面 ABCD＝CD，所以 MN∥CD.同理可证 EN∥CP.
因为 M 是 AD 的中点，AB∥CD，
所以 N 是 BC 的中点.
所以 E 是 BP 的中点.
⊙平行关系的综合应用
三种平行关系之间的转化
其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意他们之间的
灵活转化.
[例 3]如图所示，四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个
截面，四边形 EFGH 为平行四边形.
(1)求证：AB∥平面 EFGH，CD∥平面 EFGH；
(2)若 AB＝4，CD＝6，求四边形 EFGH 周长的取值范围.
(1)证明：∵四边形 EFGH 为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG 平面 ABD，EF 平面 ABD，
∴EF∥平面 ABD.
又∵EF 平面 ABC，平面 ABD∩平面 ABC＝AB，∴EF∥AB.
又∵AB 平面 EFGH，EF 平面 EFGH，
∴AB∥平面 EFGH.
同理可证，CD∥平面 EFGH.
【题后反思】
利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在
截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用
函数思想来解决.
【高分训练】
如图所示，平面α∥平面β，点 A∈α，点 C∈α，点 B∈β，点
D∈β，点 E，F 分别在线段 AB，CD 上，且 AE∶EB＝CF∶FD.
(1)求证：EF∥平面β；
(2)若 E，F 分别是 AB，CD 的中点，AC＝4，BD＝6，且 AC，
BD 所成的角为 60°，求 EF 的长.
(1)证明：①当 AB，CD 在同一平面内时，由平面α∥平面β，
平面α∩平面 ABDC＝AC，平面β∩平面 ABDC＝BD，知 AC∥BD.
∵AE∶EB＝CF∶FD，
∴EF∥BD.
又 EF β，BD β，
∴EF∥平面β.
②当 AB 与 CD 异面时，如图所示，设 DH 平面 ACD，
DH 平面β，且线段 DH＝AC.
∵平面α∥平面β，平面α∩平面 ACDH＝AC，∴AC∥DH，
∴四边形 ACDH 是平行四边形.
在 AH 上取一点 G，使 AG∶GH＝CF∶FD，连接 EG，FG，
BH，
则 AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH.
∴GF∥HD，EG∥BH.
又∵EG，GF 平面β，BH，HD 平面β，∴EG∥平面β，
GF∥平面β.
又∵EG∩GF＝G，EG，GF 平面 EFG，∴平面 EFG∥平面
β.又∵EF 平面 EFG，∴EF∥平面β.
即证 EF∥平面β.
(2)解：如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.
∵E，F 分别为 AB，CD 的中点，
∴ME∥BD，MF∥AC，

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