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第六讲　空间坐标系与空间向量
1.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌
握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判
断向量的共线和垂直.
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相
平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
1.空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的
充要条件是存在唯一一个实数λ，使 a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与
向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使
p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么
对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量 a，b 的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
项目 向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角余
弦值
　cos〈a，b〉＝
(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
4.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直
线与直线 l 平行或重合，则称此向量 a 为直线 l 的方向向量.
(2)平面的法向量：直线 l 垂直于平面α，直线 l 的方向向量 a
叫做平面α的法向量.
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l 　　　　α l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m＝0
5.空间位置关系的向量表示
【常用结论】
考点一 空间向量的线性运算
答案：D
解析：如图，连接 ON.
【题后反思】用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形.
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向
量表示出来.
考点二 共线定理、共面定理的应用
[例1]如图 1，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的
边 AB，BC，CD，DA 的中点.
(1)求证：E，F，G，H 四点共面；
(2)求证：BD∥平面 EFGH.
图 1
由共面向量定理的推论知 E，F，G，H 四点共面.
图 2
【题后反思】证明三点共线和空间四点共面的方法比较
【变式训练】
(1)解：以 A 为原点，AD，AA1，AB 所在直线分别为 x 轴、y
轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
考点三 空间向量数量积及其应用
[例2]如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长
都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的中点.
(1)求证：EG⊥AB；
(2)求 EG 的长；
(3)求异面直线 AG 和 CE 所成角的余弦值.
【题后反思】空间向量数量积的应用
【变式训练】
考点四 向量法证明平行、垂直
[例3]如图 1，在四棱锥 P-ABCD 中，PC⊥平面 ABCD，PC＝
2，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，
点 M 在 PB 上，PB＝4PM，PB 与平面 ABCD
成 30°的角.求证：
(1)CM∥平面 PAD ；
(2)平面 PAB ⊥平面 PAD .
图 1
证明：以 C 为坐标原点，CB 为 x 轴，CD为 y 轴，CP 为 z 轴
建立如图 2 所示的空间直角坐标系 C-xyz.
图 2
∵PC⊥平面 ABCD，
∴∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，
又∵PA ∩DA＝A，PA ，DA 平面 PAD ，
∴BE⊥平面 PAD .
又∵BE 平面 PAB ，
∴平面 PAB⊥平面 PAD .
平行关系 证明方法
线线平行 两直线的方向向量平行
线面平行 平面外直线的方向向量与平面的法向量垂直
面面平行 两平面的法向量平行
【题后反思】
(1)用向量证明平行的方法
垂直关系 证明方法
线线垂直 两直线的方向向量垂直
线面垂直 直线的方向向量与平面的法向量平行
面面垂直 两个平面的法向量垂直
(2)用向量证明垂直的方法
【变式训练】
如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1＝AD＝1，E 为
CD 中点.
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱 AA1 上是否存在一点 P，使得 DP∥平面 B1AE？若存
在，求 AP 的长；若不存在，请说明理由.
(1)证明：以 A 为原点，AB，AD，AA1 所在直线分别为 x 轴、
y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设|AB|＝a，则 A(0，
⊙用空间向量解决有关位置关系的探索性问题
[例4]如图，正方形 ADEF 所在平面和等腰梯形 ABCD 所在的
平面互相垂直，已知 BC＝4，AB＝AD＝2.
(1)求证：AC⊥BF；
BCEF？若存在，求出
(2)在线段 BE 上是否存在一点 P，使得平面 PAC⊥平面
的值；若不存在，请说明理由.
【题后反思】解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个
前提下进行逻辑推理.
【高分训练】
(1)求证：平面 BCG⊥平面 PAC；
(2)在线段 AC 上是否存在一点 N，使 PN⊥BE？证明你的结论.
(1)证明：∵PB⊥平面 ABC，BC 平面 ABC，
∴BC⊥PB，
又 AB⊥BC，AB∩BP＝B，∴BC⊥平面 PAB ，PA 平面 PAB，
∴BC⊥PA .
又∵AB＝PB＝2，△PAB 为等腰直角三角形，G 为斜边 PA 的
中点，∴BG⊥PA ，
又 BG∩BC＝B，∴PA ⊥平面 BCG，
又∵PA 平面 PAC，∴平面 BCG⊥平面 PAC.

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