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第六章
立体几何
第一讲　空间几何体的结构特征和直观图
1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些
特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆
锥、棱柱及其简单组合)的直观图.
3.了解球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积与
体积的计算公式.
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
1.多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点，
但不一定相等 延长线交于一点
侧面
形状 平行四边形 三角形 梯形
(1)棱柱的分类(如图所示)
直棱柱：侧楞垂直于底面的棱柱.
正棱柱：底面为正多边形的直棱柱.
(2)特殊的四棱柱(如图所示)
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱.
长方体：各个面都是矩形的四棱柱.
正方体：各个面都是正方形的四棱柱.
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 —
2.旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面
展开图 矩形 扇形 扇环 —
3.直观图与斜二测画法
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是
(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中 x′轴与 y′轴
的夹角为 45°(或 135°)，z′轴与 x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐
标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行
于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
考点一 空间几何体的结构特征
[例 1] (1)给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线
是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体
都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；
②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的
面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组
成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的
多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.故选 A.
答案：A
(2)下列说法正确的是(
)
A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成
的多面体是棱锥
B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥
可能为六棱锥
D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长
方体
解析：选项 A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公
共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各
面的三角形必须有公共的顶点，错误；选项 B，棱台是由棱锥被
平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其
余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后
不一定交于一点，错误；选项 C，当棱锥的各个侧面的共顶点的
角之和是 360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六
棱锥，错误；选项 D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底
面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，正确.故选 D.
答案：D
【题后反思】
(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何
体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命
题是错误的，只需举一个反例.
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时
要注意用好轴截面中各元素的关系.
(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问
题时，要注意“还台为锥”的解题策略.
【变式训练】
(多选题)下列说法错误的是(
)
A.直四棱柱是正四棱柱
B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
D.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转
形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥
解析：对于 A，正四棱柱必须满足底面是正方形的直棱柱，
A 错误；对于 B，过棱锥侧棱作底面的平行平面分割而成的几何
体叫做棱台，B 错误；对于 C，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点
的连线都是母线，C 正确；对于 D，若以直角三角形的斜边为轴
旋转得到的几何体为两个圆锥形成的组合体，D 错误.故选 ABD.
答案：ABD
考点二 空间几何体的直观图
[例 2](2024 年广东深圳中学模拟)已知正三角形边长为 2，用
斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为(
)
解析：如图，△A′B′C′是边长为2的正三角形ABC的直观图，
则 A′B′＝2，C′O′为正三角形 ABC 的高 CO 的一半，
答案：B
【题后反思】
(1)画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用
“斜”(两坐标轴成 45°或 135°)和“二测”(平行于 y 轴的线段
长度减半，平行于 x 轴和 z 轴的线段长度不变)来掌握.
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图
【变式训练】
解析：根据题意，画出图形，如图所示.
答案：C
⊙立体图形的展开图
[例 3](多选题)(2024 年广东佛山一中模拟)正方体的展开图如
图所示.已知 H 为线段 BF 的中点，动点 P 在正方体的表面上运动.
则关于该正方体，下列说法正确的有(
)
A.BM 与 AN 是异面直线
B.AF 与 BM 所成角为 60°
C.平面 CDEF⊥平面 ABMN
D.若 AM⊥HP，则点 P 的运动轨迹是正六边形
解析：展开图还原正方体如图所示，
对于 A，∵MN∥AB，且 MN＝AB，
∴四边形 MNAB 为平行四边形，
∴AN∥BM，∴BM 与 AN 是共面直线，A 错误；
对于 B，∵BM∥AN，∴AF 与 BM 所成角即为∠NAF，
∵AN＝NF＝AF，∴△ANF 为等边三角形，
∴∠NAF＝60°，即 AF 与 BM 所成角为 60°，B 正确；
对于 C，∵AB⊥平面 BCMF，CF 平面 BCMF，
∴AB⊥CF.
又 CF⊥BM，AB∩BM＝B，AB，BM 平面 ABMN，
∴CF⊥平面 ABMN，
又 CF 平面 CDEF，∴平面 CDEF⊥平面 ABMN，C 正确；
对于 D，由正方体性质可知 AM⊥平面 CFN，
取 BC，CD，DN，NE，EF 的中点 G，Q，T，S，R，连接
HG，GQ，QT，ST，SR，RH，
则平面 SRHGQT∥平面 CFN，
∴点 P 的轨迹为正六边形 SRHGQT，D 正确.故选 BCD.
答案：BCD
【反思感悟】多面体表面的展开图形状各异，解题时应构建
立体图形与其表面展开图的空间想象.注意要先观察立体图形的每
一个面的形状.
【高分训练】
(2024 年广东汕头二模)在日常生活中，较多产品的包装盒呈
正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观起见，通
常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，常见的捆扎方式有两种，如图1，
2 所示，并配上花结.据烘焙店的店员说，图 1 这样的捆扎不仅漂
亮，而且比图 2 的十字捆扎更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给
出你的理由.(注意，此时 AH，AE，B1E1，B1F1，CF，CG，D1G1，
D1H1 这 8 条线段可能长短不一)
图 1
图 2
解：如图所示，对于题图 1，沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长
∴店员的说法是正确的.

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