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第三讲　点、直线、平面之间的位置关系
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的
基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解与基本图形位置关系相关的基本事实和定理.
3.能运用公理、定理和推论证明一些与基本图形位置关系有关
的简单命题.
1.三个基本事实
基本事实 1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
基本事实 2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这
条直线在此平面内.
基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们
有且只有一条过该点的公共直线.
[注意]三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点
的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一
个平面.
2.直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
拓展：异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直
线是异面直线，如图所示.
(2)异面直线所成的角
①定义：设 a，b是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线
a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b
所成的角(或夹角).
②范围：
3.直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、
直线与平面平行三种情况.
4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
5.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等
或互补.
【名师点睛】唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
考点一 平面的基本性质
)
1.下列条件中，能确定一个平面的是(
A.空间中的任意三点
B.空间中的任意一条直线和任意一点
C.空间中的任意两条直线
D.梯形的两条腰所在的直线
解析：三点共线则不能确定一个平面，A 错误；点在直线上
则不能确定一个平面，B 错误；若两线直线为异面直线，则不能
确定一个平面，C 错误；梯形的两条腰所在的直线在梯形所在的
面上，可以确定一个平面，D 正确.故选 D.
答案：D
2.下列命题中正确的是(
)
A.三点确定一个平面
B.垂直于同一直线的两条直线平行
C.若直线 l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线 l⊥α
D.若 a，b，c 是三条直线，a∥b 且都与 c 相交，则直线 a，b，
c 共面
解析：不共线的三点确定一个平面，A 错误.由墙角模型可知，
B 错误.若直线 l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线 l 与平
面α不一定垂直，C 错误.因为 a∥b，所以 a 与 b 唯一确定一个平
面，设为平面α.又 c 与 a 和 b 都相交，所以 c 也在平面α内，即直
线 a，b，c 共面，D 正确.故选 D.
答案：D
3.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M，N 分别是 A1B1，
B1C1 的中点.求证：
(1)直线 AM 和 CN 在同一平面上；
(2)直线 AM，BB1 和 CN 交于一点.
证明：(1)如图，连接 MN，A1C1，AC，
∵点 M，N 分别是 A1B1，B1C1 的中点，
∴MN∥A1C1，
由正方体的结构特征可知 A1C1∥AC，
∴MN∥AC，
∴A，M，N，C 四点共面，即直线 AM 和 CN 在同一平面上.
(2)由(1)，可知 MN∥AC 且 MN≠AC，
∴直线 AM 与 CN 相交，设交点为 P，
∵P∈AM，AM 平面 ABB1A1，
∴P∈平面 ABB1A1，
又∵P∈CN，CN 平面 BCC1B1，
∴P∈平面 BCC1B1，
∵平面 ABB1A1∩平面 BCC1B1＝BB1，
∴P∈BB1，
∴直线 AM，BB1 和 CN 交于一点.
【题后反思】共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：一是先确定一个平面，然后再证其余的
线(或点)在这个平面内；二是证明两平面重合.
(2)证明共线的方法：一是先由两点确定一条直线，再证其他
各点都在这条直线上；二是直接证明这些点都在同一条特定直线
上.
(3)证明线共点问题的方法：先证其中两条直线交于一点，再
证其他直线经过该点.
考点二 判断空间两直线的位置关系
[例1](1)已知 m，n 为直线，α为平面，若 m∥α，n α，则 m
与 n 的位置关系是(
)
A.平行
B.相交或异面
C.异面
D.平行或异面
解析：因为 m∥α，所以直线 m 与平面α没有公共点，又 n
α，所以 m 与 n 没有公共点，即 m 与 n 的位置关系是平行或异面.
故选 D.
答案：D
(2)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，
)
且 AB α，CD β.则下列结论正确的是(
A.直线 AB 与 CD 可能为异面直线
B.直线 AB，CD，l 相交于一点
C.AB＝CD
D.直线 AC 与 BD 可能为异面直线
解析：在梯形 ABCD 中，AD∥BC，所以 AB，CD 是梯形
ABCD的两腰，
所以 AB，CD 是共面直线，A 错误；
设 AB∩CD＝M，如图所示，
又因为 AB α，CD β，
所以 M∈α，且 M∈β，
所以 M∈α∩β.
又因为α∩β＝l，所以 M∈l，即直线 AB，CD，l 相交于一点，
B 正确；
由题意知，AB 与 CD 不一定相等，C 错误；
在梯形 ABCD 中，对角线 AC，BD 是共面直线，D 错误.
故选 B.
答案：B
【题后反思】空间中两直线位置关系的判定方法
【变式训练】
若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面α内，l2 在平面β内，l 是
)
平面α与平面β的交线，则下列命题中正确的是(
A.l 与 l1，l2 都不相交
B.l 与 l1，l2 都相交
C.l 至多与 l1，l2 中的一条相交
D.l 至少与 l1，l2 中的一条相交
解析：由于 l 与直线 l1，l2 分别共面，故直线 l 与 l1，l2 要么都
不相交，要么至少与 l1，l2 中的一条相交.若 l∥l1，l∥l2，则 l1∥l2，
这与 l1，l2 是异面直线矛盾.故 l 至少与 l1，l2 中的一条相交.
答案：D
考点三 求两条异面直线所成的角
︵
[例 2]如图，圆柱的轴截面 ABCD 为正方形，点 E 为BC的中
点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为(
)
答案：D
【题后反思】(1)平移法求异面直线所成角的一般步骤：①作
角——用平移法找(或作)出符合题意的角；②求角——转化为求一
个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小.
提醒：异面直线所成的角
(2)坐标法求异面直线所成的角：当题设中含有两两垂直的三
边关系时，常采用坐标法.
提醒：如果求出的角是锐角或直角，那么它就是要求的角；
如果求出的角是钝角或平角，那么它的补角才是要求的角.
【变式训练】
答案：ACD
⊙几何体的截面问题
[ 例 3](多选题)(2024 年广东茂名一模) 在棱长为 2 的正方体
ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AB，BC 的中点，则下列说
法正确的是(　　)
解析：对于 A，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，
F 分别为棱 AB，BC 的中点，连接 AC，A1C1，A1B，如图 1，
图 1
∵E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，∴EF∥AC，
∵AA1∥CC1，AA1＝CC1，
∴四边形AA1C1C是平行四边形，
∴AC∥A1C1，
∴EF∥A1C1，
∴EF与BC1所成角即为A1C1与BC1所成角，即∠A1C1B或其补角，
∵△A1BC1是等边三角形，∴∠A1C1B＝60°，
∴EF与BC1所成角为60°，故A正确；
图 2
对于B，∵两直线A1B1，A1D1所成角为90°，且两直线相交于点A1，45°＜60°＜90°，
∴过A1与两直线所成角为60°的直线有4条，故B错误；
对于C，如图2，由题意知平面A1EFC1为过A1，E，F三点的截面，该截面为梯形，
图 3
连接 GD1，GE，HD1，HF，则 GE∥HD1，HF∥GD1，
∴点 D1，G，E，F，H 共面，该截面为五边形，故 D 正确.
故选 ACD.
答案：ACD
【题后反思】作截面的解题思路
(1)连接截面上已知的点并延长，得到截面上的直线.尽量选取
在几何体表面上的直线，以便寻找截面上不同直线的交点.
(2)过截面上的一点，做截面上另一直线的平行线，进而利用
三角形中位线、相似三角形或平行线分线段成比例定理确定截面
顶点的位置.
(3)检查截面是否完整的标准：若截面的每一条边都在几何体
的表面上，则截面完整，否则截面不完整.
A.若 MN γ，则截口曲线为圆
B.若γ与 SO 所成的角为 60°，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分
C.若 M，A，B∈γ，则截口曲线为抛物线的一部分
D.若截口曲线是离心率为 　的双曲线的一部分，则 O γ
答案：BCD
【高分训练】
解析：如图，延长 AF，CC1 交于点 P.连接 PE，交 B1C1
于点M，连接MF.四边形AEMF是过A，E，F三点的直三棱柱
ABC-A1B1C1 的截面.
答案：B
解析：依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴
所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及
球 O1、球 O2 的截面大圆，如图，
点A，B分别为圆O1，O2与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段MN是椭圆长轴，
可知椭圆C的中心(即线段MN的中点)不在直线O1O2上，故A正确；
椭圆长轴长2a＝|MN|＝|MF|＋|FN|＝|MF|＋|ME|＝|MB|＋|MA|＝|AB|，
过点O2作O2D⊥O1A于点D，连接O2B，显然四边形ABO2D为矩形，
答案：ACD
3.中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅
需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、
精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革
新技术的重要基石.如图所示的一块木料中，ABCD 是正方形，
PA⊥平面 ABCD，PA ＝AB＝2，点 E，F 分别是 PC，AD 的中点.
(1)若要经过点 E 和棱 AB 将木料锯开，在木料表面应该怎样
画线，请说明理由并计算截面周长；
(2)若要经过点 B，E，F 将木料锯开，在木料表面应该怎样画
线，请说明理由.
解：(1)∵AB∥CD，AB 平面 PCD，CD 平面 PCD，
∴AB∥平面 PCD，又 AB 平面 ABE，
设平面 ABE∩平面 PCD＝l，则 AB∥l，
设 PD 的中点为G，连接EG，AG，则EG∥CD，又AB∥CD，
∴AB∥EG，即 EG 为 l，BE，EG，AG 就是应画的线，

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