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第七讲　立体几何中的向量方法
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、
相互平行的平面的距离问题.
2.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的
夹角的计算问题.
3.体会向量方法在研究立体几何问题中的应用.
1.异面直线所成的角
若异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别是 u，v，则
2.直线与平面所成的角
如图，直线 AB 与平面α相交于点 B，设直线 AB 与平面α所
成的角为θ，直线 AB 的方向向量为 u，平面α的法向量为 n，则
3.平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个
二面角中不大于 90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
若平面α，β的法向量分别是 n1 和 n2，则平面α与平面β的夹角
即为向量 n1 和 n2 的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则
【常用结论】
(1)线面角θ的正弦值等于直线的方向向量 a 与平面的法向量 n
所成角的余弦值的绝对值，即 sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为
cos θ＝|cos〈a，n〉|.
(2)二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是
4.利用空间向量求距离
(1)点到直线的距离
(2)点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为 n，A 是平面α内
的定点，P 是平面α外一点.过点 P 作平面α的垂线l，
交平面α于点 Q，且 n 是直线 l 的方向向量，则点
(3)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.注意体积法在
求点到平面距离时的应用.
【名师点睛】
(3)如图，若两个法向量指向二面角的同侧，则二面角的余
弦值是 cos〈m，n〉的相反数；若两个法向量指向二面角的异
侧，则二面角的余弦值与 cos〈m，n〉相等.
考点一 利用向量求空间的角
考向 1 向量法求异面直线所成的角
答案：C
(2)有公共边的等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，
则异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为________.
解析：设等边三角形的边长为 2.取 BC 的中点 O，连接 OA，
OD.因为等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，所以 OA，
OC，OD 两两垂直，以点 O 为坐标原点，OD，OC，OA所在直线
分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
【题后反思】
(1)求异面直线所成角的思路：
①选好基底或建立空间直角坐标系；
②求出两直线的方向向量 v1，v2；
(2)两异面直线所成角的关注点：
考向 2 向量法求线面角
(1)求证：MN∥平面 PBC；
(2)求证：平面 PBC⊥平面 ABCD；
(3)求 CM 与平面 PAD 所成角的正弦值.
∴MN∥BE.
∵MN 平面 PBC，BE 平面 PBC，
∴MN∥平面 PBC.
图 1
(3)解：建立如图 2 所示的空间直角坐标系，
图 2
【题后反思】
(1)求线面角的思路
①求出直线的方向向量 a 与平面的法向量 b；
考向 3 向量法求二面角
(1)证明：平面 PAD ⊥平面 ABCD；
(2)若点 E 为棱 PC 的中点，求平面 AEB 与平面 BCE 夹角的
余弦值.
(2)解：由(1)知 DC⊥平面 PAD ，
∴DC⊥DA.
∴底面 ABCD 为正方形.
设 AD 的中点为 O，连接 OP，在平面 ABCD 内作 OF∥DC
交BC 于点 F，
∵△PAD 为等边三角形，
∴PO⊥AD.
∴PO⊥平面 ABCD.
如图，以O为坐标原点，OA，OF，OP所在直线分别为 x 轴、
y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.
【题后反思】利用向量法确定二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法
向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但
要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内
找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角
的大小就是二面角的大小.
【考法全练】
1.如图，在边长是 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别
为 AB，A1C 的中点，则直线 EF 与 CD1 所成角的大小为________.
解析：以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x
轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则 D(0，0，0)，A1(4，0，4)，C(0，4，0)，E(4，2，0)，
F(2，2，2)，D1(0，0，4)，
2.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底
面 ABC 上的射影为△ABC 的中心，则 AB1 与底面 ABC 所成角的
正弦值为__________.
(1)证明：∵PA ⊥平面 ABCD，AD 平面 ABCD，
∴PA ⊥AD，
又∵AD⊥PB，PB∩PA ＝P，PB，PA 面 PAB，
∴AD⊥平面 PAB ，
又 AB 平面 PAB ，
∴AD⊥AB，
在△ABC 中，AB2＋BC2＝AC2，
∴AB⊥BC，
∵A，B，C，D 四点共面，
∴AD∥BC，
又∵BC 平面 PBC，AD 平面 PBC，
∴AD∥平面 PBC.
(2)解：以 DA，DC 为 x 轴、y 轴，过点 D 作平面 ABCD 垂直
的线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.
令 AD＝t，则 A(t，0，0)，P(t，0，2)，D(0，0，0)，
考点二 求空间距离
[例 4](2024 年天津卷)如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，
AA1⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝AA1＝2，AD＝DC＝
1，M，N 分别为 DD1，B1C1 的中点.
(1)求证：D1N∥平面 CB1M；
(2)求平面 CB1M 与平面 BB1C1C 夹角的
余弦值；
(3)求点 B 到平面 CB1M 的距离.
又 ME 平面 CB1M，D1N 平面 CB1M，
∴D1N∥平面 CB1M.
【题后反思】求点到平面的距离的常用方法
(1)直接法：过 P 点作平面α的垂线，垂足为 Q，把 PQ 放在某
个三角形中，用解三角形方法求出的 PQ 的长度就是点 P 到平面α
的距离.
(2)转化法：若点 P 所在的直线 l 平行于平面α，则可转化为求
直线 l 上某一个点到平面α的距离.
(3)等体积法：把点到面的距离转化为某个三棱锥的高，先利
用其他方法求出该三棱锥的体积与底面积，进而求得三棱锥的高.
(4)向量法：设平面α的一个法向量为 n，A 是平面α内任意一
点，则点 P 到平面α的距离为 d＝
【变式训练】
1.如图，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面 ABCD.
若已知 AB ＝3 ，AD ＝4 ，PA ＝1 ，则点 P 到直线 BD 的距离为
________.
解析：如图，分别以 AB，AD，AP 所在直线为 x 轴、y 轴、
z 轴建立空间直角坐标系，
则 P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，
2.(2023年天津卷)如图，在三棱台ABC A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，M，N分别为BC，AB的中点.
(1)求证：A1N∥平面C1MA；
(2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值；
(3)求点C到平面C1MA的距离.
(2)解：以 A 为原点，AB，AC，AA1 所在直线分别为 x 轴、
y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题知 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，M(1，1，0)，
C1(0，1，2).

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