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(共78张PPT)
第二讲　用样本估计总体
1.会用统计图表对总体进行估计.
2.理解集中趋势参数的统计含义；理解离散程度参数的统计
含义；能用样本估计总体的取值规律；理解百分位数的统计含义.
3.掌握分层随机抽样的样本均值与样本方差.
1.总体取值规律的估计
(1)绘制频率分布直方图的步骤
①求极差：即一组数据中最大值与最小值的差.
②决定组距和组数：当样本量不超过 100 时，常分成 5～
12 组.
③将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间.
④列频率分布表：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
将样本数据分成若干组，每组包含的样本数量称作频数，频数与样本容量的比值称为该组的频率.频率反映各组在整体数据中所占比例的大小.
⑤画频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一段对应一个
组距，然后以线段为底作一小长方形，它的高等于该组的
频率
组距
，
这样得到一系列的长方形，每个长方形的面积恰好是该组的频率.
这些矩形就构成了频率分布直方图，各个长方形的面积总和等
于 1.
(2)不同统计图的特点
扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例；条形图和
直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率；折
线图主要用于描述数据随时间的变化趋势.条形图适用于描述离散
型数据，直方图适用于描述连续型数据.
2.总体百分位数的估计
(1)第 p 百分位数的定义
一般地，一组数据的第 p 百分位数是这样一个值，它使得这
组数据中至少有 p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－
p)%的数据大于或等于这个值.
(2)计算一组 n 个数据的第 p 百分位数的步骤
第 1 步，按从小到大排列原始数据.
第 2 步，计算 i＝n×p%.
第 3 步，若 i 不是整数，而大于 i 的比邻整数为 j，则第 p 百
分位数为第 j 项数据；若 i 是整数，则第 p 百分位数为第 i 项与第
(i＋1)项数据的平均数.
(3)四分位数
第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.
名称 概念
平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么这组数据的平均数为
　　　(x1＋x2＋…＋xn)
中位数 将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数
众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数
3.总体集中趋势的估计
4.总体离散程度的估计
(1)极差
一组数据中最大值与最小值的差.
(2)方差和标准差
(3)总体方差和标准差
(4)样本方差和标准差
【名师点睛】平均数、方差的公式推广
考点一 总体百分位数的估计
考向 1 计算一组数据的第 p 百分位数
[例 1]从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取 12 颗珍珠，得
到它们的质量(单位：g)如下：
7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.
(1)分别求出这组数据的第 25，50，95 百分位数；
(2)若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、
合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍
珠等级的划分标准.
解：(1)将所有数据从小到大排列，得
7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9.
因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×50%＝6，
12×95%＝11.4.
第 95 百分位数是第 12 个数据 9.9.
(2)由(1)可知样本数据的第 25 百分位数是 8.15，第 50 百分位
数是 8.5，第 95 百分位数是 9.9，所以质量小于或等于 8.15 g 的珍
珠为次品，质量大于 8.15 g 且小于或等于 8.5 g 的珍珠为合格品，
质量大于 8.5 g 且小于或等于 9.9 g 的珍珠为优等品，质量大于
9.9 g 的珍珠为特优品.
考向 2 根据频率分布直方图估计样本数据的百分位数
[例2](2024 年四川成都阶段练习)某市为提高市民对创建文明
城市的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中
随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩(满分 100 分，成绩均为
不低于 40 分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，
100]，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 a 的值；
(2)估计样本成绩的平均数和第 75 百分位数.
落在[40，90)内的频率为 0.05＋0.1＋0.2＋0.3＋0.25＝
0.9>0.75，
设第 75 百分位数为 m，则 m∈[80，90)，
由 0.65＋(m－80)×0.025＝0.75，
解得 m＝84，所以第 75 百分位数为 84.
【题后反思】
(1)计算一组 n 个数据的第 p 百分位数的一般步骤
(2)频率分布直方图中第 p 百分位数的估计
①确定百分位数所在的区间[a，b)；
②频率分布直方图中矩形的面积对应频率，第 p 百分位数的
【考法全练】
1.一组数据为 6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36，则这组数
据的第 25 百分位数是(
)
A.15
B.25
C.50
D.75
解析：把数据从小到大排列，可得 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42,
43, 47, 49，一共 11 项.因为 11×25%＝2.75，故第 25 百分位数是
第 3项，为 15.故选 A.
答案：A
2.某校组织全体学生参加知识竞赛，随机抽取了 200 名学生进
行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在 50 分至 100 分之间，进
行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，得到的频率分布直方图如
图所示.下列说法正确的是(
)
A.直方图中 x 的值为 0.035
B.在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70)中的学生有 10 人
C.估计全校学生的平均成绩不低于 80 分
D.估计抽取的全校学生成绩的样本数据的 80%分位数约为 93
解析：对于 A，由图可知(0.005＋0.010＋0.015＋0.040＋x)×
10＝1，解得 x＝0.030，故 A 错误；
对于 B，成绩在区间[60，70)中的被抽中的学生人数为0.010×
10×200＝20，故 B 错误；
对于 C，由图可知平均数为 55×0.005×10＋65×0.010×10＋
75×0.015×10＋85×0.030×10＋95×0.040×10＝84，故 C 正确；
答案：C
考点二 总体集中趋势的估计
1.某校高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩
(单位：分)，成绩都在[50，100]内，得到如图所示的频率分布直方
图，估计所有参赛同学成绩的第 75 百分位数为(
)
A.65
B.75
C.85
D.95
解析：因为(0.2＋0.3＋0.7＋0.6＋0.2)a×10＝1，所以 a＝0.05.
参赛成绩位于[50，80)内的频率为(0.2×0.05＋0.3×0.05＋
0.7×0.05)×10＝0.6<0.75，
参赛成绩位于[50，90)内的频率为 1－0.2×0.05×10＝0.9>0.75，
则第 75 百分位数在[80，90)内，
设为 80＋y，则 0.6×0.05y＝0.75－0.6＝0.15，
解得 y＝5，即第 75 百分位数为 85，故选 C.
答案：C
答题居民序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分/分 72 83 65 76 88 90 65 90 95 76
2.《“健康中国 2030”规划纲要》提出，健康是促进人的全
面发展的必然要求，是经济社会发展的基础条件.实现国民健康长
寿，是国家富强、民族振兴的重要标志，也是全国各族人民的共
同愿望.为普及健康知识，某公益组织为社区居民组织了一场健康
知识公益讲座.为了解讲座效果，在讲座后随机抽取了 10 位居民进
行健康知识问卷调查，这 10 位居民的得分情况如下表所示：
则以下说法错误的是(
)
A.该 10 位居民的答卷得分的极差为 30
B.该 10 位居民的答卷得分的中位数为 94
C.该 10 位居民的答卷得分的中位数小于平均数
D.该 10 位居民的答卷得分的方差为 104.4
答案：B
3.(多选题)(2024 年重庆阶段练习)为了激发学生的爱国热情，
加强爱国主义教育，某学校积极举行了一场“强国有我”知识竞
答比赛.比赛结束后，随机抽取了 60 名参赛学生的比赛成绩(单位：
分)进行整理，按[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，
100]分成 5 组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列结论
正确的有(
)
A.a＝0.015
B.估计样本的第 80 百分位数为 87.5
C.若每组数据均以中间值作代表，则估计样本的平均数为 77
D.按分层随机抽样从成绩位于[80，90)和[90，100)内的学生中
抽 14 人，则[90，100)内被抽取到的学生人数为 6
解析：A 选项，由已知得 10×(0.005＋0.025＋0.035＋0.020＋
a)＝1，解得 a＝0.015，A 选项正确；
B 选项，因为 10×(0.005＋0.025＋0.035)＝0.65<0.8，
10×(0.005＋0.025＋0.035＋0.020)＝0.85>0.8，
所以第 80 百分位数 m∈[80，90)，
则 0.65＋(m－80)×0.020＝0.8，解得 m＝87.5，B 选项正确；
C 选项，平均数为 10×(0.005×55＋0.025×65＋0.035×75＋
0.020×85＋0.015×95)＝76.5，C 选项错误；
D 选项，由频率分布直方图可知[80，90)与[90，100)的频率分
别为 0.2 与 0.15，
0.15
0.2＋0.15
＝6，D 选项正确.
则[90，100)内抽取的人数为 14×
故选 ABD.
答案：ABD
【题后反思】
(1)众数、中位数和平均数的意义
众数描述的是在一组数据中出现次数最多的数据；中位数等
分样本数据所占的频率；平均数反映所有数据的平均水平.
(2)利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法
①众数的估计值为最高矩形的底边中点对应的横坐标；
②平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积
乘小矩形底边中点的横坐标之和；
③中位数的估计值的左边和右边的小矩形面积的和是相等的.
考点三 总体离散程度的估计
考向 1 方差与标准差
[例 3](2023 年全国乙卷理科)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡
胶产品伸缩率的处理效果，进行 10 次配对试验，每次配对试验选
用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，
另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙
两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，
10).试验结果如下表所示.
试验序号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
考向 2 分层随机抽样的方差与标准差
[例 4](2024 年四川成都期中考)2024 年 10 月 27 日，成都市举
办马拉松比赛，其中志愿者是马拉松成功举办的重要保障.成都市
文化广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.随机抽取了 100 名
候选者的面试成绩(单位：分)，并分成五组：第一组[45，55)，第
二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95].
绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求 a 的值，并估计这 100 名候选者面试成绩的平均数；
(2)从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 20 人担任本市
的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方
差分别为 62 和 40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别
为 80 和 50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成
绩的方差.
【题后反思】分层随机抽样的均值与方差
分数段/分 [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 10 30 40 20
考向 3 用频率分布直方图估计方差
[例 5]数字乡村既是乡村振兴的战略方向，也是建设数字中国
的重要内容.某公司为了助力数字乡村发展，决定从 100 名员工中
挑选 30 名员工组建“数字乡村发展部”，对这 100 名员工的各项
素质进行综合评分，得到如下频数分布表：
(1)根据频数分布表制作频率分布直方图.
(2)估计这 100 名员工各项素质分数的平均数与方差.(同一组
中的数据用该组区间的中点值作为代表)
(3)若该公司准备挑选成绩较好的员工组建“数字乡村发展
部”，则被挑选的员工的分数不低于多少？
分数段/分 频数 频率 频率/组距
[60，70) 10 0.1 0.01
[70，80) 30 0.3 0.03
[80，90) 40 0.4 0.04
[90，100] 20 0.2 0.02
解：(1)由题意可知，频率分布表如下.
所以频率分布直方图如图所示.
(2)由题知，平均数为 x ＝65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×
0.2＝82，
方差为s2＝0.1×(65－82)2＋0.3×(75－82)2＋0.4×(85－82)2＋
0.2×(95－82)2＝81.
(3)因为从 100 名员工中挑选 30 名成绩较好的员工组建“数字
乡村发展部”，所以应选成绩大于等于第 70 百分位数的员工.
设第 70 百分位数为 m，
则 0.1＋0.3＋(m－80)×0.04＝0.7，
解得 m＝87.5，
所以被挑选的员工的分数不低于 87.5 分.
【考法全练】
A.0.01
B.0.1
C.1
D.10
解析： ∵样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，∴样本数据
10x1，10x2，…，10xn的方差为102×0.01＝1，故选C.
答案：C
1.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为(　　)
2.某班成立了 A，B 两个数学兴趣小组，A 组 10 人，B 组 30
人，经过一周的学习后进行了一次测试，在该测试中，A 组的平
均成绩为 130 分，方差为 115，B 组的平均成绩为 110 分，方差为
215.求在这次测试中全班学生的平均成绩和方差.
3.某学校为了解高二年级学生的数学运算能力，对高二年级的
200 名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数 xi(i
＝1，2，3，…，200，单位：分)全部介于 45 到 95 之间，该校将
所有分数分成 5 组：[45，55)，[55，65)，…，[85，95]，整理得
到如图所示的频率分布直方图(同组数据以这组数据的中间值作为
代表).
(1)求 m 的值，并估计此次校内测试分数的平均值 x ；
解：(1)因为 0.006×10＋0.014×10＋10m＋0.036×10＋
0.020×10＝1，所以 m＝0.024.
此次校内测试分数的平均值的估计值为
x ＝0.06×50 ＋0.14×60 ＋0.24×70 ＋0.36×80 ＋0.20×90 ＝
75.
⊙统计图表及其应用
[例6]已知某市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意
率分别如图 1 和图 2 所示，为了解该小区户主对户型结构的满意
程度，用分层随机抽样的方法抽取 30%的户主进行调查，则样本
量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为(
)
图 1
图 2
A.240，18
C.240，20
B.200，20
D.200，18
解析：样本量 n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的户主
对四居室满意的人数为 150×30%×40%＝18.
答案：A
[例 7](多选题)某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、
乙两位同学演讲后，6 位评委对他们的演讲分别进行打分(满分 10
分)，得到如图所示的统计图，则(
)
A.甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B.甲得分的极差大于乙得分的极差
C.甲得分的第 75 百分位数小于乙得分的第 75 百分位数
D.甲得分的方差大于乙得分的方差
甲 7.0 8.3 8.9 8.9 9.2 9.3
乙 8.1 8.5 8.6 8.6 8.7 9.1
解析：甲、乙的得分(单位：分)从小到大排列如下.
统计量 甲 乙 选项
中位数 A 正确
极差 9.3－7.0＝2.3 9.1－8.1＝1 B 正确
第 75 百
分位数 6×75%＝4.5，故第 75 百分位数是第 5 个数
9.2 8.7 C 错误
方差 由题图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的
方差大于乙得分的方差 D 正确
故可得如下表格.
答案：ABD
【高分训练】
1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图2所示.
为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法
抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生中近视的人
数分别为(
)
图 1
A.200，20
C.200，10
图 2
B.100，20
D.100，10
解析：由题意得样本容量为(3 500＋2 000＋4 500)×2%＝
10 000×2%＝200，
抽取的高中生人数为 2 000×2%＝40，
则抽取的高中生中近视的人数为 40×50%＝20.故选 A.
答案：A
2.(2023 年巴彦淖尔市期末考)将甲、乙、丙 3 组数据绘制成如
图所示的折线图，则这 3 组数据中，________(填汉字)组数据的方
差最小.
答案：乙

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