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(共53张PPT)
第二讲　平面向量基本定理及坐标表示
1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一
平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的
一个基底.
2.平面向量坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
3.共线向量及其坐标表示
(1)向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，
使得 b＝λa.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1
＝0 时，向量 a，b 共线.
(3)若 a 与 b 不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
考点一 平面向量基本定理的应用
【题后反思】利用平面向量基本定理解题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量
的形式，再通过向量的运算来解决.
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方
便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.
【变式训练】
答案：D
答案：BC
考点二 平面向量的坐标运算
答案：C
图 1
解析：题目条件并未对梯形 ABCD 中具体线段
的长度或角度作明确限制，根据平面向量基本定理，
我们可以不妨设梯形 ABCD 为上底CD＝2、下底AB
＝4、高为 3 的等腰梯形.如图 2 所示建立平面直角
坐标系.
图 2
答案：D
【题后反思】
(1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先
求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.
(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算
都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合
起来，使几何问题转化为数量运算问题.
【变式训练】
1.(2023 年广东佛山二模)已知平行四边形 ABCD 的顶点
A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点 D 的坐标为(
)
A.(1，4)
C.(2，4)
B.(1，5)
D.(2，5)
答案：B
答案：(0，20)
考点三 平面向量共线的坐标表示
考向 1 利用向量共线求向量或点的坐标
[例 3]已知点 O(0，0)，A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则 AC 与
OB 的交点 P 的坐标为________.
答案：(3，3)
考向 2 利用向量共线求参数
[例 4](1)(2024 年上海卷)已知 k∈R，a＝(2，5)，b＝(6，k)，
a∥b，则 k 的值为________.
解析：由 a＝(2，5)，b＝(6，k)，a∥b，可得 2k－5×6＝0，
解得 k＝15.
答案：15
【题后反思】
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若 a＝(x1，y1)，
b＝(x2，y2)，则 a∥b的充要条件是 x1y2－x2y1＝0；②若 a∥b(b≠0)，
则 a＝λb.
(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平
行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例
来求解.
【考法全练】
答案：A
2.已知点 A(1，0)，B(0，2)，C(－1，0)，则以 A，B，C 为顶
点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标可以是_______________.
解得 x＝－2，y＝2，即 D(－2，2).
∴点 D 的坐标为(0，－2)或(2，2)或(－2，2).
答案：(0，－2)或(2，2)或(－2，2)
⊙三角形中的奔驰定理
证明：如图，延长 OA 与 BC 边交于点 D.
【名师点睛】由于例 5 对应的图象和奔驰车的标志很相似，
因此我们把例 5 的结论称为“奔驰定理”.
答案：B
【高分训练】
解析：如图，选项 A，设 AB，AC 的中点分别为 E，F，
答案：ABC
2.(多选题)(2024 年广东执信中学模拟)“奔驰定理”因其几何
表示酷似奔驰的标志得名，是平面向量中一个非常优美的结论.奔
驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.
它的具体内容是：已知 M 是△ABC 内一点，△BMC ，△AMC，
以下命题正确的有(
)
解析：对于 A，取 BC 的中点 D，连接 MD，AM，如图.
对于 B，如图，由 M 为△ABC 的内心，则可设内切圆半径为 r，
对于 C，如图，由 M 为△ABC 的外心，则可设△ABC 的外接
圆半径为 R，
∵∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，
对于 D，如图，延长 AM 交 BC 于点 D，延长 BM 交 AC 于点
F，延长 CM 交 AB 于点 E.
答案：ABD

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