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第五讲　复数
1.通过方程的解，认识复数.
2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，
共轭复数，复数的模等概念的认识.
3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算.
1.复数的有关概念
(1)概念：使得 x＝i 是方程 x2＋1＝0 的解的 i 叫做虚数单位，
即 x2＝－1.
(2)定义：我们把集合 C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如
a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a 叫做复数 z 的实部，b 叫做
复数 z 的虚部(i 为虚数单位).
复数的分类 满足条件(a，b 为实数)
a＋bi 为实数 b＝0
a＋bi 为虚数 b≠0
a＋bi 为纯虚数 a＝0 且 b≠0
(3)分类：
(4)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R).
(5)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，
d∈R).
2.复数的几何意义
(3)|z|的几何意义是复平面内 z 对应的点到原点的距离.
3.复数的运算
(1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
考点一 复数的有关概念
1.已知复数 z＝1＋2i(i 为虚数单位)，则其共轭复数 z 的虚部为
(
)
A.2
B.－2
C.2i
D.－2i
解析：复数 z＝1＋2i(i 为虚数单位)，
则 z ＝1－2i，其虚部为－2.故选 B.
答案：B
答案：B
)
3.(多选题)下面关于复数的四个命题中，真命题是(
答案：AC
【题后反思】解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚
部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和
虚部满足的方程(不等式)组即可.
(2)解题时一定要先看复数是不是 a＋bi(a，b∈R)的形式，以
确定实部和虚部.
考点二 复数的几何意义
答案：D
(2)(2024 年广东广州一模)已知复数 z 满足|z－3＋4i|＝1，则 z
在复平面内对应的点位于(
A.第一象限
C.第三象限
)
B.第二象限
D.第四象限
解析：由题意，复数 z 的几何意义是复平面内到(3，－4)的距
离为 1 的点的集合，即以(3，－4)为圆心，以 1 为半径的圆上点，
均位于第四象限.故选 D.
答案：D
【题后反思】与复数几何意义相关的问题的一般解法
【变式训练】
1.(2024 年福建一模)已知复数 z 满足|z＋i|＝|1－i|，z 在复平面
)
内对应的点为(x，y)，则(
A.(x－1)2＋y2＝2
B.(x＋1)2＋y2＝2
C.x2＋(y－1)2＝2
D.x2＋(y＋1)2＝2
答案：D
答案：CD
考点三 复数的运算
考向 1 复数的乘法运算
答案：C
答案：A
考向 2 复数的除法运算
答案：A
考向 3 复数的综合运算
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
答案：C
答案：A
【题后反思】复数运算的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.
(2)复数的除法：复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭
复数.
(3)复数的综合运算：运用复数的四则运算法则进行运算，要
注意运算顺序.
(4)待定系数法：可设 z＝a＋bi，根据等式两侧的实部与虚部
对应相等列出方程组，解出 a，b 的值从而求出 z.
【考法全练】
A.1 或－1
C.－1
B.1
D.不存在的实数
答案：A
答案：C
z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－1)，在第三象限，故
C 错误；
因为 z2＝(－1－i)2＝1＋2i＋i2＝2i，
所以 z6＝(z2)3＝(2i)3＝－8i，故 D 正确.故选 ABD.
答案：ABD
⊙复数的三角形式
任何一个复数 z＝a＋bi 都可以表示成 z＝r(cos θ＋isin θ)的
形式.
我们把 z＝r(cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式，其中θ叫做 z
的辐角，r 叫做 z 的模.
两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于
各复数的辐角的和.
答案：B
答案：BC
【题后反思】优先考虑把复数转化为三角形式的情况
(1)当复数运算是以乘法和除法为主时；
(2)当复数的次数较大时；
(3)当复数的实部与虚部的比值为常见角度的正切值时.
【高分训练】
答案：A
答案：B

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