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第五章
平面向量与复数
第一讲　平面向量的概念及线性运算
1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量
相等的含义，理解平面向量的几何表示.
2.掌握平面向量加法、减法的运算，理解其几何意义.
3.掌握平面向量数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的
含义.
4.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量
零向量 长度为 0 的向量 记作 0
单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 非零向量 a 的单位向
量为±
1.向量的有关概念
名称 定义 备注
共线向量
(平行向量) 方向相同或相反的非零向量 零向量与任一向量平
行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 记作 a＝b
相反向量 长度相等且方向相反的向量 记作 a＝－b
向量运算 定义 运算法则 运算律
加法 求两个向量
和的运算
三角形法则
平行四边形法则 交换律：a＋b＝b＋a；　
结合律：(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
2.向量的线性运算
向量运算 定义 运算法则 运算律
减法 求两个向量
差的运算
几何意义 a－b＝a＋(－b)
向量运算 定义 运算法则 运算律
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；　
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，
使 b＝λa.
【名师点睛】
(4)向量加法的多边形法则
多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，如图，首尾
考点一 平面向量的概念
答案：BCD
2.下列命题正确的是__________.(填序号)
①向量 a，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使 b＝λa；
③只有方向相同或相反的向量是平行向量；
④若向量 a，b 不共线，则向量 a＋b 与向量 a－b 必不共线.
答案：④
【题后反思】向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.
(5)零向量的关键是长度为 0，规定零向量与任何向量共线.
考点二 平面向量的线性运算
答案：C
解析：根据题意，作图如图所示.
答案：A
【题后反思】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)求向量的和或差时应根据向量的相对位置而选用不同的运
算法则.两个共起点的向量求和时，应选用平行四边形法则；两个
首尾相连的向量求和时，应选用三角形法则；两个共起点的向量
作差时，既可利用相反向量的性质转化为首尾相连的向量求和，
亦可用口诀“减数指向被减数”运算.
(2)在小题中遇到线段的等分点时，可直接用等和线定理运算.
【变式训练】
1.如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三
答案：D
考点三 共线向量定理及其应用
[例 2] (1)设两个非零向量 a 与 b 不共线.
②试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线.
②解：∵ka＋b 与 a＋kb 共线，
∴存在实数λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，
即 ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b 是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
答案：[3，4]
【题后反思】利用向量共线定理解题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零
向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想
的运用.
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量
共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才
能得到三点共线.
【变式训练】
答案：D
如图，作线段 AC 的中点 D，连接 BD，作与 BD 平行且与单
位圆相切于第一象限的直线 l，切点为 E，与 x 轴交于点 F.
3.如图，G 是△OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动
点，且 P，G，Q 三点共线.

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