资源简介

任务探索型—浙江省七（下）数学期末复习
一、二元一次方程组
1．（2024七下·金华期末） 根据以下素材，探索完成任务．
背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励．
素材1 买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元．
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．
素材3 班主任购买A，B两款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数的．
问题解决
任务1 求A款普通奶茶和B款普通奶茶的销售单价．
任务2 学习委员为更好的了解班主任所买的各种奶茶的杯数情况，制作了以下不完全统计表格： 款式普通奶茶（杯）加料奶茶（杯）Am 　B 　n
①A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和为 ▲ （用含m，n的代数式表示）； ②若班主任购买奶茶一共用了190元，求班主任购买奶茶的总杯数．
2．（2024七下·东阳期末）
如何生产纸盒
素材1 某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）
素材2 工厂仓库内现存有的正方形纸板150张，的长方形纸板300张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．
素材3 库存纸板用完后，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为。采购甲纸板有400张，乙纸板有300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为1和4。纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．
任务一 若做一个竖式无盖纸盒和2个横式无盖纸盒，则需正方形纸板 ▲ 张，长方形纸板 ▲ 张。
任务二 根据素材1、素材2，求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？
任务三 根据素材1、素材3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，纸板恰好用完。请你能帮助工厂确定丙纸板的张数．
3．（2024七下·新昌期末）综合与实践：
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的支撑点可以在横梁段滑动，已知，，左侧托盘放置一个的砝码．
任务1：若右侧托盘放置物体，当天平平衡时，求的长．
素材2：若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点到点时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点移动到长为时（点在点的右侧），天平恰好平衡．
任务2：求这个矿泉水瓶的质量．
素材3：继续在矿泉水瓶中加水，当加水量是第一次加水量的5倍时，移动右侧支撑点，使天平平衡．
任务3：请描述右侧支撑点的移动过程．
温馨提示：根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量．（不计托盘和横梁的质量）
4．（2024七下·柯桥期末）根据以下素材，完成调查活动．
怎样知道七、八年级两支志愿者的人数和人均植树数
调查活动 素材 为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者分别参加了两地的植树活动
素材 小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息：七年级、八年级两支志愿者植树各棵树苗； 八年级比七年级人均植树多棵树苗； 八年级的学生人数比七年级的人数少．
交流质疑 小明同学把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小明同学没有收集到七年级、八年级两支志愿者的“人数”、“人均植树数”等重要信息，没法进行系统研究．
问题解决 任务 你对此有何看法？请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者的“人数”或“人均植树数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
问题反馈 任务 小明同学还想知道参与此次活动的八年级（）班志愿者的人数和植树数．通过分析，如果每人种棵，还剩下棵树苗；如果每人种棵，则缺少棵树苗，求八年级（）班志愿者的人数和需种植的树苗数．
5．（2024七下·温州期末）综合与实践：设计纸盒制作方案．
素材1：某实践小组欲制作尺寸如图1所示的横式和竖式两种无盖纸盒．
素材2：如图2，现有长，宽的纸板60张．需要对该纸板进行裁切做成的正方形和的长方形，裁切时不计损耗但不浪费纸板．
问题1：用1张纸板能裁切正方形纸板和长方形纸板各多少张？
问题2：若制作后无材料剩余，设制作横式无盖纸盒个，竖式无盖纸盒个．
①用，的代数式分别表示正方形和长方形的总数量．
②确定纸盒的所有制作方案，求出，的值．
6．（2025七下·温州期中）综合与实践：确定不同赛道上起跑线的位置．
在400米短跑比赛中，所有选手需跑完相同距离．但由于外圈跑道的弯道半径更大，外圈选手的实际跑步距离比内圈长．为保证公平，需调整不同跑道的起跑线位置（如图1）．
素材1：某校操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成（如图2），设每侧直道长度为．记每一条跑道内侧跑道线周长为每一圈周长，每条跑道宽1.2米．
素材2：设第1圈弯道半径为，周长为400米，第1圈直道总长度2m比弯道总长度少56米（取3）。
素材3：起跑根据每圈周长自终点向弯道区调整，记第圈起跑线比第1圈起跑线前移距离为为正整数，且．
问题1：求该校跑道第1圈半径和直道长度．
问题2：求第2圈起跑线前移距离。
问题3：若米，求的值．
7．（2024七下·拱墅期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）．
杭州市居民生活用电分段及价格一览表
单位：元/千瓦时
用电分档 分时电价
高峰电价 低谷电价
第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288
第二档 年用电千瓦时部分 b c
第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588
注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加．
老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截止上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元．
（1）求表格中a的值．
数学思考：
（2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值．
（3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议．
8．（2024七下·吴兴期末） 根据以下素材， 探索完成任务.
如何合理搭配消费券
素材一 我市在 2024 年发放了如图所示的南太湖消费券。规定每人可领取一套消费券（共 4 张）：包含 型消费券（满 50 减 20 元） 1 张， 型消费券（满 100 减 30 元 ) 2 张， 型消费券（满 300 减 100 元） 1 张.
素材二 在此次活动中， 小明一家 4 人各领到了一套消费券. 某日小明一家在超市使用消费券共减了 420 元，请完成以下任务。
（1）若小明一家用了 2 张 型消费券， 2 张 型消费券， 则用了　 　张 型消费券， 此时实际消费最少为　 　元.
（2）若小明一家用 8 张 型的消费券消费，已知 型比 型的消费券多 1 张， 求 型的消费券各多少张
（3）若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费， 请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小， 并求出此时实际最小消费金额.
9．（2024七下·诸暨期末）根据以下信息，探索解决问题：
背景：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的件新产品进行加工后再投放市场每天满工作量情况下，甲、乙两个工厂加工数量及每件加工费用保持稳定不变，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息．
信息 每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的倍；
信息 每天满工作量情况下，甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用天；
信息 每天满工作量情况下，甲工厂加工天，乙工厂加工天共需要元；甲工厂加工天，乙工厂加工天共需要元．
问题解决
问题 设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件，结合信息可得：乙工厂每天加工数量为　 　件请用的代数式表示．
问题 每天满工作量情况下，求甲工厂每天能加工多少件新产品？
问题 公司将件新产品交给甲、乙两工厂一起加工，发现这批新产品的平均加工费用为整数，两工厂加工的时间之和不是整数请问交给甲工厂多少件新产品进行加工？
10．（2024七下·余姚期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）。 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张． 方法三：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
11．（2024七下·义乌期末）
素材1 某校 "半亩方塘" 劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地. 已知围栏的横杠长为 20 dm ， 竖杠长为 8 dm ， 一副围栏由 2 个横杠， 5 个竖杠制作而成.
素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立， 劳动实践小组打算自己购买材料， 制作搭建疏菜基地的围栏. 已知这种规格的围栏材料每根长为 60 dm ， 价格为 50 元/根.
（1）【任务一：一根 60 dm 长的围栏材料有哪些裁剪方法呢 (余料作废)】
方法①： 当只裁剪 8 dm 长的用料时， 最多可裁剪　 　根.
方法②：当先裁前下 1 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料　 　根.
方法③：当先裁塑下 2 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料　 　根.
（2）【任务二：要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为 160 dm (即需要制作 8 副围栏， 需要的用料为： 16 个横杠， 40 个竖杠) .】劳动实践小组打算用 "任务 1"中的方法②和方法③完成裁剪任务. 请计算： 分别用 "任务 1"中的方法②和方法③各裁剪多少根 60 dm 长的围栏材料， 才能恰好得到所需要的相应数量的用料
（3）【任务三：劳动实践小组准备优化围栏： 将横杠材料由每根 20 dm 调整为每根 16 dm ， 再将其中两根竖杠材料由每根 8 dm 调整为每根 10 dm (其它三根竖杠长度不变）】若要搭建任务 2 中所需的围栏长度（ 160 dm ），每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) 或者若干根 8 dm 的用料 (可剩余) . 问： 购买 60 dm 的材料至少需要多少费用？落材料有剩余， 请求出剩余材料的长度. (剩余材料不可拼接）
二、乘法公式
12．（2023七下·上城期末）综合实践．
活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系
活动资源：提供长度不同的两种木棒各根如图
入项任务：运用以上根木棒不折断摆成长方形或正方形，且木棒全部用完选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法如图进行研究．
问题探究过程
（1）发现问题：
请观察以上所有图形，并研究不同2种或2种以上摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？
例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍．
小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积．
聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？
你的发现是　 　；请用简洁的语言描述
（2）提出问题：
请用代数式表示你的发现设两种木棒的长度分别为，其中，四种图形面积分别为，，，．
例如：小明的结论是．
小张的结论是，
你的结论是：　 　；
（3）分析问题：
请用所学的数学知识证明你的结论．
例如：小明的证明方法如下．
证：，，
，
你的证明：　 　；
（4）拓展创新：
把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系．
你的示意图：　 　；
你的关系式：　 　．
（5）迁移应用：
根据以上的研究结论，请解决数学问题，若，，求的值．
你的解答：　 　．
三、数据统计
13．（2024七下·鄞州期末）项目化学习：
2020 年以来某大型化工厂响应节能减排的号召， 控制温室气体二氧化硫排放量， 2023 年暑假， 某数学小屋对该工厂近年来二氧化硫排放量进行了调查， 完成下列任务．
【材料一】该工厂在 2023 年前 7 个月的二氧化硫排放情况如图 1 所示， 该工厂 7 月份排放量可以看作 4 个工作周的总和， 排放情况如图 2 所示．
【材料二】受疫情对经济造成的影响， 该工厂决定在 2023 年适度降低二氧化硫排放量的减少速度来激发工业发展， 并对化工生产提出 2023 年二氧化硫总排放量不超过 42 吨的年度减排要求．
任务一 整理：据材料计算 7 月份二氧化硫排放量并补全图 1
任务二 展望：该工厂从 2023 年 8 月开始， 每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少 0.1 吨， 请你计算说明， 该工厂是否能够完成 2023 年的年度减排要求．
14．（2024七下·鄞州期末） 项目化学习：
2020 年以来某大型化工厂响应节能减排的号召， 控制温室气体二氧化硫排放量， 2023 年暑假， 某数 学小屋对该工厂近年来二氧化硫排放量进行了调查， 完成下列任务.
【材料一】该工厂在 2023 年前 7 个月的二氧化硫排放情况如图 1 所示， 该工厂 7 月份排放量可以看作 4 个工作周的总和， 排放情况如图 2 所示.
图 1 前 7 个月二氧化硫排放量折线统计图 图 27 月份四个工作周的二氧化硫排放条形统计图
【材料二】受疫情对经济造成的影响， 该工厂决定在 2023 年适度降低二氧化硫排放量的减少速度来激发 工业发展， 并对化工生产提出 2023 年二氧化硫总排放量不超过 42 吨的年度减排要求.
【任务一】 整理： 据材料计算 7 月份二氧化硫排放量并补全图 1
【任务二】 展望： 该工厂从 2023 年 7 月开始， 每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少 0.1 吨， 请你计算说明， 该工厂是否能够完成 2023 年的年度减排要求.
答案解析部分
1．【答案】解：任务1：设A款普通奶茶的销售单价是x元，B款普通奶茶的销售单价是y元，
根据题意，得：，
解得：，
∴A款普通奶茶的销售单价是14元，B款普通奶茶的销售单价是16元；
任务2：①；
②A款加料奶茶的单价为：14+2=16（元），B款加料奶茶的单价为：16+2=18（元），
根据题意，得14m+16(2m-n)+18n=190，
∴n=95-23m，
又∵m，n，2m-n均为正整数，
∴，
∴3m=3×4=12（杯），
∴班主任购买奶茶总杯数为12杯．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
2．【答案】解：
任务一：由题意得：一个竖式无盖纸盒需要正方形纸板为底部一个面，需要长方形纸板4个面；2个横式无盖纸盒需要正方形纸板为左右两个面共计4个面，需要长方形纸板6个面，
∴共需要正方形纸板个面，长方形纸板10个面，
故答案为：；
任务二：设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，
由题意得：
解得．
答：竖式无盖纸盒30个，横式无盖纸盒60个
任务三：设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，丙纸板（140+m）张
由题意得：
得
∵
∴m=5或0
答：丙纸板的张数为145或140.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出数量即可.
（2）设竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，根据题意列出二元一次方程组，进行求解即可.
（3）设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，丙种纸板为（140+m）张，根据题意列出二元一次方程组，表示出y，代入m的值即可.
3．【答案】解：任务1：
左盘砝码质量右盘物体质量，
解得．
所以的长为．
任务2：设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克；根据素材2可列方程组：
，
解得．
答：这个矿泉水瓶的质量是10克．
任务3：
左盘砝码质量右盘物体质量；矿泉水瓶水的质量，
．
解得：．
，所以支撑点向左平移．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】任务1：根据公式列式，求出OP长即可；
任务2：设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克，根据素材2列方程组，求出a，b的值解题即可；
任务3：利用公式和矿泉水瓶水的质量，列方程解答即可．
4．【答案】【解答】
解：任务：提出问题：求出七、八年级志愿者的人数 解决问题：设七年级的志愿者有人，则八年级的志愿者有人，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：七年级的志愿者有人，八年级的志愿者有人；
提出问题：求出七、八年级志愿人均植树数
解决问题：设七年级人均植树棵，则八年级人均植树棵，
根据题意得：，
解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：七年级人均植树棵，八年级人均植树棵；
任务：设八年级（）班志愿者有人，
根据题意得：，解得：，
∴，
答：八年级（）班志愿者有人，需种植棵树苗．
【知识点】一元一次方程的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】任务：提出问题：设七年级的志愿者有人，则八年级的志愿者有人，利用人均植树棵数植树总棵数志愿者人数，结合八年级比七年级人均植树多棵树苗，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即七年级志愿者人数），再将其代入中，即可求出八年级志愿者人数；
提出问题：设七年级人均植树棵，则八年级人均植树棵，利用志愿者人数植树总棵数人均植树棵数，结合八年级的学生人数比七年级的人数少，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即七年级人均植树棵数），再将其代入中，即可求出八年级人均植树棵数；
任务：设八年级（）班志愿者有人，根据“如果每人种棵，还剩下棵树苗；如果每人种棵，则缺少棵树苗”，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即八年级（）班志愿者人数），再将其代入中，即可求出八年级（）班需植树的棵数．
5．【答案】解：问题1：设正方形张，长方形张．
由题意得：，即，
化简得
当时，；
当时，．
答：方法一：正方形5张，长方形0张；方法二：正方形1张，长方形3张．
问题2：①由题意得：正方形纸板：．长方形纸板：．
②设方法一用了张纸板，方法二用了张．
列方程组得，，
解得，
当时，，，
当时，，，
答：方案一：横式无盖纸盒12个，竖式无盖纸盒36个；方案二：横式无盖纸盒31个，竖式无盖纸盒18个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】问题1：设正方形张，长方形张，根据题意列二元一次方程，求出整数解即可；
问题2：①列代数式表示正方形和长方形值班的数量即可；
②设方法一用张纸板，方法二用了张，列二元一次方程组，求出整数解即可．
6．【答案】解： 问题1： 根据题意列方程组得（取3 ），
解得：，
则该校跑道第1圈半径为38米，直道长度为86米；
问题2： 第2圈的周长C2=2m+2π（r+1.2）=2m+2πr+2.4π，
第1圈的周长C1=2m+2πr，
∴D2=C2-C1=2m+2πr+2.4π-（2m+2πr）=2.4π=2.4×3=7.2（米），
答： 第2圈起跑线前移距离 为7.2米；
问题3： 第n圈的周长Cn=2m+2π[r+（n-1）×1.2]=2m+2πr+2.4π×（n-1），
则Dn=Cn-C1=2m+2πr+2.4π×（n-1）-（2m+2πr）=2.4π×（n-1），
∵ ，
∴2.4π×（n-1）=36，
解得：n=6，
则此时n的值为6.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】问题1：根据题意， 操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成，可列出关于m，r的二元一次方程组，解出即可得出答案；
问题2：根据操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成，可知跑道第1圈和第2圈的的周长，作差即可得出 ；
问题3：根据题意可列出第n圈的周长，即可列出关于n的方程，解出即可得出答案.
7．【答案】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，
，
解得，，
；
（2）由题意得：，
解得：，
答：，；
（3）（千瓦时）．
（元．
答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．
建议是：节约用电，减小高峰用电（答案不唯一，合理即可）．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据题意列出一元一次方程，求解即可；
（2）根据点点和芳芳家的用电情况，列出二元一次方程组求解即可；
（3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，最多需要的电费高峰电价，可知需要节约用电，尽量控制高峰用电．
8．【答案】（1）6；880
（2）解：设B型的消费券x张，则A型的消费券(x+1)张，C型的消费券（7﹣2x）张，
由题意可得20(x+1)+30x+100(7-2x)=420，
解得x=2．
∴A型的消费券3张，B型的消费券2张，则C型的消费券3张
（3）解：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，，
①、型：．
，
，都是正整数，，，
无解；
②、型：，
，
，都是正整数，，，
．
实际消费金额：，（元）；
③、型：，
，
，都是正整数，，，
．
实际消费金额：，（元）；
综上所述，使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：任务一：用型的消费券数量为：，
满减前至少消费（元），
实际消费最少为（元）．
故答案为：6；880；
【分析】任务一：根据消费券规则求解；
任务一：设B型的消费券x张，则A型的消费券(x+1)张，C型的消费券（7﹣2x）张，根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解即可；
任务一：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，，分类讨论，①、型：；②、型：；③、型：，分别列关系式，再根据二元一次方程的整数解即可求解．
9．【答案】解：问题：1.5x；问题：设 甲工厂每天能加工x件新产品，根据题意得：，解得：x=50，经检验，x=50是所列方程的解，其符合题意．答：每天满工作量情况下，甲工厂每天能加工50件新产品；问题：设每天满工作量情况下，甲工厂加工1天所需费用为a元，乙工厂加工1天所需费用为b元，根据题意得：，解得：，每天满工作量情况下，甲工厂加工新产品的单价为元件，乙工厂加工新产品的单价为元件．设交给甲工厂y件新产品进行加工，则交给乙工厂(1500-y)件新产品进行加工，根据题意得：，且为整数，．为正整数，可以为，，，当时，，此时天，符合题意；当时，，此时天，不符合题意，舍去；当时，，此时天，符合题意．答：交给甲工厂1125或375件新产品进行加工．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】问题1：设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为x件，可得乙工厂每天加工数量为1.5x件；
问题2：基本关系：工作时间=工作量÷工作效率，利用“甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天”，列出方程，即可求解；
问题3：基本关系：金额=价格×时间，设甲工厂加工1天需要a元，乙工厂加工1天需要b元，根据题意，列出方程组，求出a，b的值，再设甲工厂加工y件，则乙工厂加工(1500-y)件，于是有，n为平均匀单价，确定n的取值范围，逐一尝试即可求解．
10．【答案】解：任务一：
设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
根据题意得：15m+35n＝240，
∴n＝，
∵m，n为非负整数，
∴或或，
∴方法二：裁切靠背9张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背2张和坐垫6张；
故答案为：9，3；2，6；
任务二：
∵＝240（张），
∴该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅；
任务三：
设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，
根据题意得：
解得：
∵42+61=103（张），
∴需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：，求出非负整数解即可；
任务二：列式计算得能制作成240张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背张和坐垫张，用y张板材裁切靠背张和坐垫张，根据制作的 学生椅 的数量为500张，制作 座垫（500-8）张，建立二元一次方程组，解方程组可得答案．
11．【答案】（1）7；5；2
（2）解：设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题意得，
方法②的裁剪 6 根， 方法③的裁剪 5 根.
（3）解：由题意可得：，
∵a、b为正整数，
∴，
∵搭建 10 副围栏共需 20 根 16 dm 的， 20 根 10 dm 的， 30 根 8 dm 的. 买 10 根 60 dm 的材料可得 20 根 根 10 dm ， 则少 20 根 8 dm ， 再买 3 根 60 dm 的， 每根可得 7 根 8 dm 的用料，
剩余材料的长度为： .
∴至少需要的费用为： （元）.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）方法①：60÷8=7…4，
∴当裁剪8dm长的用料时，最多可剪裁7根；
故答案为：7.
方法②：（60-20）÷8=40÷8=5，
∴当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料5根；
故答案为：5.
方法③：（60-2×20）÷8=20÷8=2…4，
∴当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料2根；
故答案为：2.
【分析】（1）方法①：由题意，用60除以8，所得商的整数值即为所求；
方法②：由题意，先用60减去20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
方法③：由题意，先用60减去2倍20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
（2）设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题中的相等关系可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（3）根据相等关系“每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) ”可列关于a、b的二元一次方程，由a、b为正整数可求得a、b的值；根据题意求出剩余材料以及费用.
12．【答案】（1）丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和
（2）
（3）证明：，． ．又， ．
（4）；．
（5）
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）如图，连接各点，
由图可知，丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和；
故答案为：丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和.
（2）根据（1）中的发现， 得S丙= S乙 + S丁；
故答案为：S丙= S乙 + S丁.
（4）示意图如图，
图中每个矩形的面积为S矩形= ab，
小正方形的面积为S小正方形= (a- b)2，
大正方形的面积为S大正方形=(a + b)2，
∵S大正方形= S小正方形+ 4S矩形，
∴(a+b)2=(a-b)2 + 4ab.
故答案为：(a+b)2=(a-b)2 + 4ab.
（5）∵，
根据(a+b)2=(a-b)2 + 4ab可得
(x+y)2= (x-y)2 + 4xy，
即31 = (x- y)2+4×7，
解得（x- y）2=3，
则；
故答案为：.
【分析】（1）将丙图用辅助线进行分割，判断其面积与其它摆法面积之间的数量关系；
（2）根据（1）中的发现，写出各面积之间的关系即可；
（3）按照例子，直接证明即可；
（4）画出示意图，根据总面积等于各组成图形面积之和，得到a和b之间的数量关系式；
（5）根据完全平方公式的变形得(x+y)2=(x-y)2 + 4xy， 将x+y和xy的值分别代入，求得x-y值.
13．【答案】解：（1）∵7 月份二氧化硫排放量为，
补全折线统计图如下图所示.
（2）可知 2023 年二氧化硫排放总量为
，
故能达到年度减排要求.
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【分析】（1）根据条形图提供的信息，计算7月份二氧化硫排放量，再补全折线统计图即可；
（2）根据折线统计图中的数据结合从2023年8月开始， 每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少0.1 吨，可依次得出后面几个月二氧化硫的排放量，然后计算出2023年全年二氧化硫的排放总量，然后与42t比较即可得出结论.
14．【答案】解：7 月份二氧化硫排放量 =0.9+0.8+0.6+0.9=3.2(t)
7 月份二氧化硫排放量 3.2t， 补全折线统计图如下图所示.
可知2023年二氧化硫排放总量为 ，
故能达到年度减排要求.
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【分析】【任务一】首先根据7月份排放量可以看作4个工作周的总和， 可计算得出7月份排放量为3.2t，并补全统计图即可；
【任务二】利用统计图上的数据计算得出2023年二氧化硫排放总量为40.7t，并与42吨比较大小，即可得出结论.
1 / 1任务探索型—浙江省七（下）数学期末复习
一、二元一次方程组
1．（2024七下·金华期末） 根据以下素材，探索完成任务．
背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励．
素材1 买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元．
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．
素材3 班主任购买A，B两款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数的．
问题解决
任务1 求A款普通奶茶和B款普通奶茶的销售单价．
任务2 学习委员为更好的了解班主任所买的各种奶茶的杯数情况，制作了以下不完全统计表格： 款式普通奶茶（杯）加料奶茶（杯）Am 　B 　n
①A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和为 ▲ （用含m，n的代数式表示）； ②若班主任购买奶茶一共用了190元，求班主任购买奶茶的总杯数．
【答案】解：任务1：设A款普通奶茶的销售单价是x元，B款普通奶茶的销售单价是y元，
根据题意，得：，
解得：，
∴A款普通奶茶的销售单价是14元，B款普通奶茶的销售单价是16元；
任务2：①；
②A款加料奶茶的单价为：14+2=16（元），B款加料奶茶的单价为：16+2=18（元），
根据题意，得14m+16(2m-n)+18n=190，
∴n=95-23m，
又∵m，n，2m-n均为正整数，
∴，
∴3m=3×4=12（杯），
∴班主任购买奶茶总杯数为12杯．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
2．（2024七下·东阳期末）
如何生产纸盒
素材1 某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）
素材2 工厂仓库内现存有的正方形纸板150张，的长方形纸板300张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．
素材3 库存纸板用完后，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为。采购甲纸板有400张，乙纸板有300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为1和4。纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．
任务一 若做一个竖式无盖纸盒和2个横式无盖纸盒，则需正方形纸板 ▲ 张，长方形纸板 ▲ 张。
任务二 根据素材1、素材2，求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？
任务三 根据素材1、素材3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，纸板恰好用完。请你能帮助工厂确定丙纸板的张数．
【答案】解：
任务一：由题意得：一个竖式无盖纸盒需要正方形纸板为底部一个面，需要长方形纸板4个面；2个横式无盖纸盒需要正方形纸板为左右两个面共计4个面，需要长方形纸板6个面，
∴共需要正方形纸板个面，长方形纸板10个面，
故答案为：；
任务二：设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，
由题意得：
解得．
答：竖式无盖纸盒30个，横式无盖纸盒60个
任务三：设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，丙纸板（140+m）张
由题意得：
得
∵
∴m=5或0
答：丙纸板的张数为145或140.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出数量即可.
（2）设竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，根据题意列出二元一次方程组，进行求解即可.
（3）设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，丙种纸板为（140+m）张，根据题意列出二元一次方程组，表示出y，代入m的值即可.
3．（2024七下·新昌期末）综合与实践：
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的支撑点可以在横梁段滑动，已知，，左侧托盘放置一个的砝码．
任务1：若右侧托盘放置物体，当天平平衡时，求的长．
素材2：若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点到点时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点移动到长为时（点在点的右侧），天平恰好平衡．
任务2：求这个矿泉水瓶的质量．
素材3：继续在矿泉水瓶中加水，当加水量是第一次加水量的5倍时，移动右侧支撑点，使天平平衡．
任务3：请描述右侧支撑点的移动过程．
温馨提示：根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量．（不计托盘和横梁的质量）
【答案】解：任务1：
左盘砝码质量右盘物体质量，
解得．
所以的长为．
任务2：设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克；根据素材2可列方程组：
，
解得．
答：这个矿泉水瓶的质量是10克．
任务3：
左盘砝码质量右盘物体质量；矿泉水瓶水的质量，
．
解得：．
，所以支撑点向左平移．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】任务1：根据公式列式，求出OP长即可；
任务2：设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克，根据素材2列方程组，求出a，b的值解题即可；
任务3：利用公式和矿泉水瓶水的质量，列方程解答即可．
4．（2024七下·柯桥期末）根据以下素材，完成调查活动．
怎样知道七、八年级两支志愿者的人数和人均植树数
调查活动 素材 为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者分别参加了两地的植树活动
素材 小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息：七年级、八年级两支志愿者植树各棵树苗； 八年级比七年级人均植树多棵树苗； 八年级的学生人数比七年级的人数少．
交流质疑 小明同学把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小明同学没有收集到七年级、八年级两支志愿者的“人数”、“人均植树数”等重要信息，没法进行系统研究．
问题解决 任务 你对此有何看法？请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者的“人数”或“人均植树数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
问题反馈 任务 小明同学还想知道参与此次活动的八年级（）班志愿者的人数和植树数．通过分析，如果每人种棵，还剩下棵树苗；如果每人种棵，则缺少棵树苗，求八年级（）班志愿者的人数和需种植的树苗数．
【答案】【解答】
解：任务：提出问题：求出七、八年级志愿者的人数 解决问题：设七年级的志愿者有人，则八年级的志愿者有人，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：七年级的志愿者有人，八年级的志愿者有人；
提出问题：求出七、八年级志愿人均植树数
解决问题：设七年级人均植树棵，则八年级人均植树棵，
根据题意得：，
解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：七年级人均植树棵，八年级人均植树棵；
任务：设八年级（）班志愿者有人，
根据题意得：，解得：，
∴，
答：八年级（）班志愿者有人，需种植棵树苗．
【知识点】一元一次方程的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】任务：提出问题：设七年级的志愿者有人，则八年级的志愿者有人，利用人均植树棵数植树总棵数志愿者人数，结合八年级比七年级人均植树多棵树苗，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即七年级志愿者人数），再将其代入中，即可求出八年级志愿者人数；
提出问题：设七年级人均植树棵，则八年级人均植树棵，利用志愿者人数植树总棵数人均植树棵数，结合八年级的学生人数比七年级的人数少，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即七年级人均植树棵数），再将其代入中，即可求出八年级人均植树棵数；
任务：设八年级（）班志愿者有人，根据“如果每人种棵，还剩下棵树苗；如果每人种棵，则缺少棵树苗”，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即八年级（）班志愿者人数），再将其代入中，即可求出八年级（）班需植树的棵数．
5．（2024七下·温州期末）综合与实践：设计纸盒制作方案．
素材1：某实践小组欲制作尺寸如图1所示的横式和竖式两种无盖纸盒．
素材2：如图2，现有长，宽的纸板60张．需要对该纸板进行裁切做成的正方形和的长方形，裁切时不计损耗但不浪费纸板．
问题1：用1张纸板能裁切正方形纸板和长方形纸板各多少张？
问题2：若制作后无材料剩余，设制作横式无盖纸盒个，竖式无盖纸盒个．
①用，的代数式分别表示正方形和长方形的总数量．
②确定纸盒的所有制作方案，求出，的值．
【答案】解：问题1：设正方形张，长方形张．
由题意得：，即，
化简得
当时，；
当时，．
答：方法一：正方形5张，长方形0张；方法二：正方形1张，长方形3张．
问题2：①由题意得：正方形纸板：．长方形纸板：．
②设方法一用了张纸板，方法二用了张．
列方程组得，，
解得，
当时，，，
当时，，，
答：方案一：横式无盖纸盒12个，竖式无盖纸盒36个；方案二：横式无盖纸盒31个，竖式无盖纸盒18个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】问题1：设正方形张，长方形张，根据题意列二元一次方程，求出整数解即可；
问题2：①列代数式表示正方形和长方形值班的数量即可；
②设方法一用张纸板，方法二用了张，列二元一次方程组，求出整数解即可．
6．（2025七下·温州期中）综合与实践：确定不同赛道上起跑线的位置．
在400米短跑比赛中，所有选手需跑完相同距离．但由于外圈跑道的弯道半径更大，外圈选手的实际跑步距离比内圈长．为保证公平，需调整不同跑道的起跑线位置（如图1）．
素材1：某校操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成（如图2），设每侧直道长度为．记每一条跑道内侧跑道线周长为每一圈周长，每条跑道宽1.2米．
素材2：设第1圈弯道半径为，周长为400米，第1圈直道总长度2m比弯道总长度少56米（取3）。
素材3：起跑根据每圈周长自终点向弯道区调整，记第圈起跑线比第1圈起跑线前移距离为为正整数，且．
问题1：求该校跑道第1圈半径和直道长度．
问题2：求第2圈起跑线前移距离。
问题3：若米，求的值．
【答案】解： 问题1： 根据题意列方程组得（取3 ），
解得：，
则该校跑道第1圈半径为38米，直道长度为86米；
问题2： 第2圈的周长C2=2m+2π（r+1.2）=2m+2πr+2.4π，
第1圈的周长C1=2m+2πr，
∴D2=C2-C1=2m+2πr+2.4π-（2m+2πr）=2.4π=2.4×3=7.2（米），
答： 第2圈起跑线前移距离 为7.2米；
问题3： 第n圈的周长Cn=2m+2π[r+（n-1）×1.2]=2m+2πr+2.4π×（n-1），
则Dn=Cn-C1=2m+2πr+2.4π×（n-1）-（2m+2πr）=2.4π×（n-1），
∵ ，
∴2.4π×（n-1）=36，
解得：n=6，
则此时n的值为6.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】问题1：根据题意， 操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成，可列出关于m，r的二元一次方程组，解出即可得出答案；
问题2：根据操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成，可知跑道第1圈和第2圈的的周长，作差即可得出 ；
问题3：根据题意可列出第n圈的周长，即可列出关于n的方程，解出即可得出答案.
7．（2024七下·拱墅期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）．
杭州市居民生活用电分段及价格一览表
单位：元/千瓦时
用电分档 分时电价
高峰电价 低谷电价
第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288
第二档 年用电千瓦时部分 b c
第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588
注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加．
老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截止上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元．
（1）求表格中a的值．
数学思考：
（2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值．
（3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议．
【答案】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，
，
解得，，
；
（2）由题意得：，
解得：，
答：，；
（3）（千瓦时）．
（元．
答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．
建议是：节约用电，减小高峰用电（答案不唯一，合理即可）．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据题意列出一元一次方程，求解即可；
（2）根据点点和芳芳家的用电情况，列出二元一次方程组求解即可；
（3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，最多需要的电费高峰电价，可知需要节约用电，尽量控制高峰用电．
8．（2024七下·吴兴期末） 根据以下素材， 探索完成任务.
如何合理搭配消费券
素材一 我市在 2024 年发放了如图所示的南太湖消费券。规定每人可领取一套消费券（共 4 张）：包含 型消费券（满 50 减 20 元） 1 张， 型消费券（满 100 减 30 元 ) 2 张， 型消费券（满 300 减 100 元） 1 张.
素材二 在此次活动中， 小明一家 4 人各领到了一套消费券. 某日小明一家在超市使用消费券共减了 420 元，请完成以下任务。
（1）若小明一家用了 2 张 型消费券， 2 张 型消费券， 则用了　 　张 型消费券， 此时实际消费最少为　 　元.
（2）若小明一家用 8 张 型的消费券消费，已知 型比 型的消费券多 1 张， 求 型的消费券各多少张
（3）若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费， 请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小， 并求出此时实际最小消费金额.
【答案】（1）6；880
（2）解：设B型的消费券x张，则A型的消费券(x+1)张，C型的消费券（7﹣2x）张，
由题意可得20(x+1)+30x+100(7-2x)=420，
解得x=2．
∴A型的消费券3张，B型的消费券2张，则C型的消费券3张
（3）解：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，，
①、型：．
，
，都是正整数，，，
无解；
②、型：，
，
，都是正整数，，，
．
实际消费金额：，（元）；
③、型：，
，
，都是正整数，，，
．
实际消费金额：，（元）；
综上所述，使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：任务一：用型的消费券数量为：，
满减前至少消费（元），
实际消费最少为（元）．
故答案为：6；880；
【分析】任务一：根据消费券规则求解；
任务一：设B型的消费券x张，则A型的消费券(x+1)张，C型的消费券（7﹣2x）张，根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解即可；
任务一：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，，分类讨论，①、型：；②、型：；③、型：，分别列关系式，再根据二元一次方程的整数解即可求解．
9．（2024七下·诸暨期末）根据以下信息，探索解决问题：
背景：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的件新产品进行加工后再投放市场每天满工作量情况下，甲、乙两个工厂加工数量及每件加工费用保持稳定不变，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息．
信息 每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的倍；
信息 每天满工作量情况下，甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用天；
信息 每天满工作量情况下，甲工厂加工天，乙工厂加工天共需要元；甲工厂加工天，乙工厂加工天共需要元．
问题解决
问题 设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件，结合信息可得：乙工厂每天加工数量为　 　件请用的代数式表示．
问题 每天满工作量情况下，求甲工厂每天能加工多少件新产品？
问题 公司将件新产品交给甲、乙两工厂一起加工，发现这批新产品的平均加工费用为整数，两工厂加工的时间之和不是整数请问交给甲工厂多少件新产品进行加工？
【答案】解：问题：1.5x；问题：设 甲工厂每天能加工x件新产品，根据题意得：，解得：x=50，经检验，x=50是所列方程的解，其符合题意．答：每天满工作量情况下，甲工厂每天能加工50件新产品；问题：设每天满工作量情况下，甲工厂加工1天所需费用为a元，乙工厂加工1天所需费用为b元，根据题意得：，解得：，每天满工作量情况下，甲工厂加工新产品的单价为元件，乙工厂加工新产品的单价为元件．设交给甲工厂y件新产品进行加工，则交给乙工厂(1500-y)件新产品进行加工，根据题意得：，且为整数，．为正整数，可以为，，，当时，，此时天，符合题意；当时，，此时天，不符合题意，舍去；当时，，此时天，符合题意．答：交给甲工厂1125或375件新产品进行加工．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】问题1：设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为x件，可得乙工厂每天加工数量为1.5x件；
问题2：基本关系：工作时间=工作量÷工作效率，利用“甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天”，列出方程，即可求解；
问题3：基本关系：金额=价格×时间，设甲工厂加工1天需要a元，乙工厂加工1天需要b元，根据题意，列出方程组，求出a，b的值，再设甲工厂加工y件，则乙工厂加工(1500-y)件，于是有，n为平均匀单价，确定n的取值范围，逐一尝试即可求解．
10．（2024七下·余姚期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）。 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张． 方法三：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
【答案】解：任务一：
设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
根据题意得：15m+35n＝240，
∴n＝，
∵m，n为非负整数，
∴或或，
∴方法二：裁切靠背9张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背2张和坐垫6张；
故答案为：9，3；2，6；
任务二：
∵＝240（张），
∴该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅；
任务三：
设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，
根据题意得：
解得：
∵42+61=103（张），
∴需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：，求出非负整数解即可；
任务二：列式计算得能制作成240张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背张和坐垫张，用y张板材裁切靠背张和坐垫张，根据制作的 学生椅 的数量为500张，制作 座垫（500-8）张，建立二元一次方程组，解方程组可得答案．
11．（2024七下·义乌期末）
素材1 某校 "半亩方塘" 劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地. 已知围栏的横杠长为 20 dm ， 竖杠长为 8 dm ， 一副围栏由 2 个横杠， 5 个竖杠制作而成.
素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立， 劳动实践小组打算自己购买材料， 制作搭建疏菜基地的围栏. 已知这种规格的围栏材料每根长为 60 dm ， 价格为 50 元/根.
（1）【任务一：一根 60 dm 长的围栏材料有哪些裁剪方法呢 (余料作废)】
方法①： 当只裁剪 8 dm 长的用料时， 最多可裁剪　 　根.
方法②：当先裁前下 1 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料　 　根.
方法③：当先裁塑下 2 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料　 　根.
（2）【任务二：要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为 160 dm (即需要制作 8 副围栏， 需要的用料为： 16 个横杠， 40 个竖杠) .】劳动实践小组打算用 "任务 1"中的方法②和方法③完成裁剪任务. 请计算： 分别用 "任务 1"中的方法②和方法③各裁剪多少根 60 dm 长的围栏材料， 才能恰好得到所需要的相应数量的用料
（3）【任务三：劳动实践小组准备优化围栏： 将横杠材料由每根 20 dm 调整为每根 16 dm ， 再将其中两根竖杠材料由每根 8 dm 调整为每根 10 dm (其它三根竖杠长度不变）】若要搭建任务 2 中所需的围栏长度（ 160 dm ），每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) 或者若干根 8 dm 的用料 (可剩余) . 问： 购买 60 dm 的材料至少需要多少费用？落材料有剩余， 请求出剩余材料的长度. (剩余材料不可拼接）
【答案】（1）7；5；2
（2）解：设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题意得，
方法②的裁剪 6 根， 方法③的裁剪 5 根.
（3）解：由题意可得：，
∵a、b为正整数，
∴，
∵搭建 10 副围栏共需 20 根 16 dm 的， 20 根 10 dm 的， 30 根 8 dm 的. 买 10 根 60 dm 的材料可得 20 根 根 10 dm ， 则少 20 根 8 dm ， 再买 3 根 60 dm 的， 每根可得 7 根 8 dm 的用料，
剩余材料的长度为： .
∴至少需要的费用为： （元）.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）方法①：60÷8=7…4，
∴当裁剪8dm长的用料时，最多可剪裁7根；
故答案为：7.
方法②：（60-20）÷8=40÷8=5，
∴当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料5根；
故答案为：5.
方法③：（60-2×20）÷8=20÷8=2…4，
∴当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料2根；
故答案为：2.
【分析】（1）方法①：由题意，用60除以8，所得商的整数值即为所求；
方法②：由题意，先用60减去20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
方法③：由题意，先用60减去2倍20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
（2）设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题中的相等关系可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（3）根据相等关系“每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) ”可列关于a、b的二元一次方程，由a、b为正整数可求得a、b的值；根据题意求出剩余材料以及费用.
二、乘法公式
12．（2023七下·上城期末）综合实践．
活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系
活动资源：提供长度不同的两种木棒各根如图
入项任务：运用以上根木棒不折断摆成长方形或正方形，且木棒全部用完选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法如图进行研究．
问题探究过程
（1）发现问题：
请观察以上所有图形，并研究不同2种或2种以上摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？
例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍．
小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积．
聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？
你的发现是　 　；请用简洁的语言描述
（2）提出问题：
请用代数式表示你的发现设两种木棒的长度分别为，其中，四种图形面积分别为，，，．
例如：小明的结论是．
小张的结论是，
你的结论是：　 　；
（3）分析问题：
请用所学的数学知识证明你的结论．
例如：小明的证明方法如下．
证：，，
，
你的证明：　 　；
（4）拓展创新：
把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系．
你的示意图：　 　；
你的关系式：　 　．
（5）迁移应用：
根据以上的研究结论，请解决数学问题，若，，求的值．
你的解答：　 　．
【答案】（1）丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和
（2）
（3）证明：，． ．又， ．
（4）；．
（5）
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）如图，连接各点，
由图可知，丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和；
故答案为：丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和.
（2）根据（1）中的发现， 得S丙= S乙 + S丁；
故答案为：S丙= S乙 + S丁.
（4）示意图如图，
图中每个矩形的面积为S矩形= ab，
小正方形的面积为S小正方形= (a- b)2，
大正方形的面积为S大正方形=(a + b)2，
∵S大正方形= S小正方形+ 4S矩形，
∴(a+b)2=(a-b)2 + 4ab.
故答案为：(a+b)2=(a-b)2 + 4ab.
（5）∵，
根据(a+b)2=(a-b)2 + 4ab可得
(x+y)2= (x-y)2 + 4xy，
即31 = (x- y)2+4×7，
解得（x- y）2=3，
则；
故答案为：.
【分析】（1）将丙图用辅助线进行分割，判断其面积与其它摆法面积之间的数量关系；
（2）根据（1）中的发现，写出各面积之间的关系即可；
（3）按照例子，直接证明即可；
（4）画出示意图，根据总面积等于各组成图形面积之和，得到a和b之间的数量关系式；
（5）根据完全平方公式的变形得(x+y)2=(x-y)2 + 4xy， 将x+y和xy的值分别代入，求得x-y值.
三、数据统计
13．（2024七下·鄞州期末）项目化学习：
2020 年以来某大型化工厂响应节能减排的号召， 控制温室气体二氧化硫排放量， 2023 年暑假， 某数学小屋对该工厂近年来二氧化硫排放量进行了调查， 完成下列任务．
【材料一】该工厂在 2023 年前 7 个月的二氧化硫排放情况如图 1 所示， 该工厂 7 月份排放量可以看作 4 个工作周的总和， 排放情况如图 2 所示．
【材料二】受疫情对经济造成的影响， 该工厂决定在 2023 年适度降低二氧化硫排放量的减少速度来激发工业发展， 并对化工生产提出 2023 年二氧化硫总排放量不超过 42 吨的年度减排要求．
任务一 整理：据材料计算 7 月份二氧化硫排放量并补全图 1
任务二 展望：该工厂从 2023 年 8 月开始， 每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少 0.1 吨， 请你计算说明， 该工厂是否能够完成 2023 年的年度减排要求．
【答案】解：（1）∵7 月份二氧化硫排放量为，
补全折线统计图如下图所示.
（2）可知 2023 年二氧化硫排放总量为
，
故能达到年度减排要求.
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【分析】（1）根据条形图提供的信息，计算7月份二氧化硫排放量，再补全折线统计图即可；
（2）根据折线统计图中的数据结合从2023年8月开始， 每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少0.1 吨，可依次得出后面几个月二氧化硫的排放量，然后计算出2023年全年二氧化硫的排放总量，然后与42t比较即可得出结论.
14．（2024七下·鄞州期末） 项目化学习：
2020 年以来某大型化工厂响应节能减排的号召， 控制温室气体二氧化硫排放量， 2023 年暑假， 某数 学小屋对该工厂近年来二氧化硫排放量进行了调查， 完成下列任务.
【材料一】该工厂在 2023 年前 7 个月的二氧化硫排放情况如图 1 所示， 该工厂 7 月份排放量可以看作 4 个工作周的总和， 排放情况如图 2 所示.
图 1 前 7 个月二氧化硫排放量折线统计图 图 27 月份四个工作周的二氧化硫排放条形统计图
【材料二】受疫情对经济造成的影响， 该工厂决定在 2023 年适度降低二氧化硫排放量的减少速度来激发 工业发展， 并对化工生产提出 2023 年二氧化硫总排放量不超过 42 吨的年度减排要求.
【任务一】 整理： 据材料计算 7 月份二氧化硫排放量并补全图 1
【任务二】 展望： 该工厂从 2023 年 7 月开始， 每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少 0.1 吨， 请你计算说明， 该工厂是否能够完成 2023 年的年度减排要求.
【答案】解：7 月份二氧化硫排放量 =0.9+0.8+0.6+0.9=3.2(t)
7 月份二氧化硫排放量 3.2t， 补全折线统计图如下图所示.
可知2023年二氧化硫排放总量为 ，
故能达到年度减排要求.
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【分析】【任务一】首先根据7月份排放量可以看作4个工作周的总和， 可计算得出7月份排放量为3.2t，并补全统计图即可；
【任务二】利用统计图上的数据计算得出2023年二氧化硫排放总量为40.7t，并与42吨比较大小，即可得出结论.
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