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第四讲　平面向量的综合应用
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1.向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数
量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、
夹角等问题.
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ为实数.
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向
量定理：
a∥b a＝λb(b≠0) x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，利用夹角公式：
2.平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函
数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含有未
知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的
关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数
列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途
径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是
利用向量数量积的公式和性质.
考点一 平面向量在平面几何中的应用
【题后反思】用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题
向量问题
解决向量问题
解决
几何问题.
【变式训练】
△ABC 为(
)
A.等边三角形
C.等腰三角形
B.直角三角形
D.三边均不相等的三角形
答案：A
考点二 平面向量在解析几何中的应用
【题后反思】向量在解析几何中的两个作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，
解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，
推导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、
夹角、轨迹、最值等问题.
(2)工具作用：利用 a⊥b a·b＝0(a，b 为非零向量)，a∥b
a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行
的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题常常是比较优
越的方法.
【变式训练】
可知 P 在∠BQA 的平分线上.
圆 O：x2＋y2＝1，圆心为原点 O，半径
r＝1，连接 AQ，延长 BP 交 AQ 于点 C，
连接 OP，如图.
∵∠PQB＝∠PQC 且 PQ⊥BC，
答案：A
考点三 平面向量在物理中的应用
[例3](1)一物体在力 F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)
的共同作用下从点 A(1，1)移动到点 B(0，5).在这个过程中三个力
的合力所做的功等于________.
答案：－40
(2)如图所示，粗糙的水平地面上有一质量为 m 的小木块 A，
小木块与桌面间的动摩擦系数μ＝0.5.对小木块施加一个向右上方
的、大小恒为 F 的拉力，使木块在地面上运动.当小木块加速度最
大时，拉力与水平面的夹角为θ，求 tan θ的值.
解：如图所示，小木块对地面的压力的大小为 mg－F·sin θ.
小木块与桌面间的滑动摩擦力的大小为μ(mg－F·sin θ)＝
0.5(mg－F·sin θ).
【题后反思】用向量方法解决物理问题的步骤
①把物理问题中的相关量用向量表示；
②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；
③结果还原为物理问题.
【变式训练】
答案：ACD
⊙三角形的四“心”
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
答案：D
答案：B
答案：B
答案：A
【反思感悟】三角形各心的概念介绍
【高分训练】
1.(多选题)(2025 年湖北模拟)已知点 M 为△ABC 所在平面内一
点，则(
)
答案：BCD
2.(多选题)(2023 年广东珠海模拟)已知点 O 在△ABC 所在的平
面内，则以下说法正确的有(
)
答案：AC

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