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(共56张PPT)
第三讲　平面向量的数量积
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平
面向量的垂直关系.
1.向量的夹角
是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π].
定义 已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ
投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
2.平面向量的数量积
3.平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，记a与b的夹角θ＝〈a，b〉
提醒：(1)a∥b与a⊥b所满足的关系不同.a∥b x1y2＝x2y1；a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(2)两条公式a·b＝|a||b|cos θ与a·b＝x1x2＋y1y2没有本质区别，均用于求两向量的数量积，两者可以相互推导.
5.向量的投影
【名师点睛】
(1)两向量的夹角不一定是两向量所在直线的夹角，也有可能
是直线夹角的补角.判断两向量的夹角时，需把向量平移至同一起
(2)平面向量数量积运算的常用公式
①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(3)a，b 为两个非零向量
①a⊥b a·b＝0；
②a，b 同向 a·b＝|a||b|；a，b 反向 a·b＝－|a||b|；a2＝|a|2；
③〈a，b〉为锐角 a·b＞0 且 a，b 不共线；
④〈a，b〉为钝角 a·b<0 且 a，b 不共线.
考点一 平面向量数量积的基本运算
A.－19
B.－17
C.17
D.19
答案：D
(2)(2024 年河南濮阳一模)大约在公元 222 年，赵爽为《周髀
算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图1
是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形ABCD，EFGH均为正方形，
图 1
解析：由题意，建立如图 2 所示的平面直角坐标系.
∴F(－2，0)，B(2，2)，A(0，2)，H(4，2)，
答案：16
图 2
【题后反思】平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝
|a||b|cos〈a，b〉.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解：若 a＝(x1，y1)，
b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
【变式训练】
1.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若网格
纸上小正方形的边长为 1，则(a＋b)·c＝________；a·b＝_______.
解析：以网格正方形的一条水平线为 x 轴，竖直线为 y 轴建
平面直角坐标系，则有 a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，
∴(a＋b)·c＝(4，0)·(0，1)＝4×0＋0×1＝0，
a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.
答案：0　3
(方法二，特例图形法)若 ABCD 为矩形，
建立如图所示的平面直角坐标系.
N(4，6)，M(8，4).
答案：24
考点二 平面向量数量积的应用
考向 1 求向量的模
通性通法： 求解平面向量模的方法，a＝(x，y)
[例 2](1)(2024 年新课标Ⅱ卷)已知向量 a，b 满足|a|＝1，
|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(
)
解析：向量 a，b 满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，
可得 a2＋4a·b＋4b2＝4，b2－2a·b＝0，
答案：B
答案：5
考向 2 求向量的夹角
通性通法：求平面向量的夹角的方法
(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.
答案：D
(2)若向量 a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知 2a－3b 与
c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是________.
考向 3 两个向量垂直问题
通性通法：(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两
个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个
向量的数量积为 0 即可.
(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求
解参数.
[例4](1)(2023 年新课标Ⅰ卷)已知向量 a＝(1，1)，b＝(1，－1).
)
若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(
A.λ＋μ＝1
C.λμ＝1
B.λ＋μ＝－1
D.λμ＝－1
解析：∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，∴a＋λb＝(λ＋1，1－λ)，
a＋μb＝(μ＋1，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)，得(λ＋1)(μ＋1)＋
(1－λ)(1－μ)＝0，整理得 2λμ＋2＝0，即λμ＝－1.故选 D.
答案：D
【题后反思】对于非零向量a，b，c，“a＝b”只是“a·c＝b·c”
的充分不必要条件，处理形如“a·c＝b·c”的条件时有两种思路，
一是通过移项结合乘法分配律得到(a －b)·c ＝0 ，从而得出(a －
b)⊥c；二是结合向量数量积的几何意义，得到 a 与 b 在 c 上的投
影相等.切记不可对“a·c＝b·c”两边同时除以 c 得到 a＝b，不可
对向量的数量积除以向量.
【考法全练】
1.(2024 年新课标Ⅰ卷)已知向量 a＝(0，1)，b＝(2，x)，若 b⊥
(b－4a)，则 x＝(
)
A.－2
B.－1
C.1
D.2
解析：∵a＝(0，1)，b＝(2，x)，
∴b－4a＝(2，x－4)，
∵b⊥(b－4a)，
∴2×2＋x(x－4)＝(x－2)2＝0，解得 x＝2.故选 D.
答案：D
答案：2
3.(2024 年广东韶关二模)已知平面向量 a，b，c 均为单位向量，
且|a＋b|＝1，则向量 a 与 b 的夹角为__________________，(a＋b)·
(b－c)的最小值为____________________.
考点三 平面向量的投影
[例5](1)(2024 年河南郑州一模)已知 a＝(－3，4)，b＝(2，2)，
则向量 a 在向量 b 方向上的投影向量为(
)
答案：D
(2)(2025 年广东肇庆一模)已知单位向量 a，b 满足|a＋b|＝
|a－b|，则向量 a＋b 在向量 b 上的投影向量的模为________.
答案：1
【变式训练】
1.(2024 年广东佛山一模)对于任意非零向量 a，b，c，若 a，
b 在 c 上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是(
)
A.(a－b)∥c
C.(a－b)⊥c
B.(a＋b)∥c
D.(a＋b)⊥c
答案：D
2.(多选题)(2024 年广东广州一模)已知向量 a，b 不共线，向量
)
a＋b 平分 a 与 b 的夹角，则下列结论一定正确的是(
A.a·b＝0
B.(a＋b)⊥(a－b)
C.向量 a，b 在 a＋b 上的投影向量相等
D.|a＋b|＝|a－b|
解析：已知向量 a，b 不共线，向量 a＋b 平分 a 与 b 的夹角，
对于选项 A，由平行四边形法则可得|a|＝|b|且四边形 ABDC
为菱形，故 A 错误；
对于选项 B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，即(a＋b)⊥(a－b)，
故 B 正确；
答案：BC
⊙极化恒等式(数学抽象)
极化恒等式：设 a，b 为两个平面向量，则有恒等式 a·b＝
如图所示.
答案：－16
【高分训练】
1.已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满
足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(
)
解析：如图所示，
答案：C
解析：如图所示，由极化恒等式易知，当 OP 垂直于直线 x－
答案：1

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