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第四讲
幂函数与二次函数
1.了解幂函数的概念.
们的变化情况.
3.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式
之间的关系解决简单问题.
1.幂函数的定义
一般地，形如 y＝xα的函数叫做幂函数，其中 x 是自变量，α
是常数.幂函数的特征：①自变量 x 处在幂底数的位置，幂指数α
为常数；②xα的系数为 1；③只有一项.
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1
图象
性
质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
2.常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1
性
质 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶
函数 奇函数
单
调
性 在 R 上
单调递
增 在(－∞，0]上单
调递减；在[0，
＋∞)上单调递增 在 R 上
单调递
增 在[0，
＋∞)上
单调递增 在(－∞，0)
和(0，＋∞)
上单调递减
公共点 (1，1)
(续表)
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
值域
3.二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
单调性
对称性
(续表)
【名师点睛】
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
(2)一元二次不等式恒成立的条件
①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＞0且Δ＜0”；
②ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＜0且Δ＜0”.
考点一 幂函数的图象和性质
答案：B
2.若幂函数f(x)＝(m2＋5m＋7)xm(x≠0)的图象分布在第一、三
象限，则 m＝________.
答案：－3
答案：A
【题后反思】幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此
只需一个条件即可确定其解析式.
(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x
轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，
函数图象越远离 x 轴.
考点二 二次函数的图象与性质
考向 1 二次函数的图象
通性通法：“三看”二次函数图象
[ 例 1](2023 年北京海淀一模) 已知二次函数 f(x) ，对任意的
x∈R，有 f(2x)＜2f(x)，则 f(x)的图象可能是(
)
A
B
C
D
答案：A
考向 2 二次函数的单调性
通性通法：处理函数的单调性问题要注意数形结合思想的应
用，尤其是求给定区间上的二次函数最值的问题，要先“定性”(作
草图)，再“定量”(看图求解).
[例 2]函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1 在区间[－1，＋∞)上是单调
递减的，则实数 a 的取值范围是(
)
A.[－3，0)
C.[－2，0]
B.(－∞，－3]
D.[－3，0]
解析：当 a＝0 时，f(x)＝－3x＋1 在[－1，＋∞)上单调递减，
满足题意；
解得－3≤a<0.
综上所述，实数 a 的取值范围为[－3，0].
答案：D
考向 3 二次函数中的恒成立问题
通性通法：(1)解决二次函数中的恒成立问题一般有两个解题
思路：一是分离参数；二是不分离参数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方
法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据：a≥f(x)恒成
立 a≥fmax(x)，a≤f(x)恒成立 a≤fmin(x).
[例3] (2024年上海期中考)设f(x)＝x2－1，对任意x∈[1，＋∞)，
－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是______.
【考法全练】
1.一次函数 y＝ax＋b(a≠0)与二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在同一
平面直角坐标系中的图象大致是(
)
A
B
C
D
可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而 <0，而
解析：若 a>0，则一次函数 y＝ax＋b 为增函数，二次函数
y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向上，故可排除 A；若 a<0，一次函数
y＝ax＋b 为减函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故
二次函数的对称轴在 y 轴的右侧，故可排除 B.故选 C.
答案：C
2.(2024 年湖南阶段练习)已知函数 f(x)＝x2 －(m＋2)x－2 024
在[1，2]上具有单调性，则实数 m 的取值范围是__________.
答案：(－∞，0]∪[2，＋∞)
⊙分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用
[例 4](2024 年四川眉山期中考)已知函数 f(x)＝kx2＋2x＋3，
其中 k 为常数.
(1)若 f(2)＝3，设函数 g(x)＝f(x)－mx，若 g(x)在区间[－2，2]
上是单调函数，求实数 m 的取值范围；
(2)求函数 f(x)在[1，4]上的最大值.
【反思感悟】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关
键都是确定函数图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，
要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
【高分训练】
设函数 f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数 f(x)的最
小值.
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数
图象的对称轴为直线 x＝1.
当 t＋1≤1，即 t≤0 时，函数图象如图 1 所示，函数 f(x)在区
间[t，t＋1]上单调递减，fmin(x)＝f(t＋1)＝t2＋1；
图 1
当 t<1f(1)＝1；
图 2
当 t≥1 时，函数图象如图 3 所示，函数 f(x)在区间[t，t＋1]
上单调递增，fmin(x)＝f(t)＝t2－2t＋2.
图 3
综上可知，当 t≤0 时，fmin(x)＝t2＋1；
当 0当 t≥1 时，fmin(x)＝t2－2t＋2.

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