资源简介

(共38张PPT)
第十讲　变化率与导数、导数的运算
1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，
求简单函数的导数.
4.能求简单的复合函数[仅限于形如 f(ax＋b)的复合函数]的
导数.
1.导数的概念
2.导数的几何意义
函数 y＝f(x) 在 x＝x0 处的导数的几何意义就是曲线 y＝f(x)
在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为 y－f(x0)＝
f′(x0)(x－x0).
注意：(1)函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋
势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，
|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
(2)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指以点 P 为切点，斜
率为 k0＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线.
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα-1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ax ln a
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f(x)＝ln x
(续表)
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[cf(x)]′＝cf′(x).
(2)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x).
(3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x).
【常用结论】
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函
数的导数还是周期函数.
(2)在物理中，物体位移的导数是其速度，其速度的导数是加
速度.
5.复合函数的导数
一般地，复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)
的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与
u 对 x 的导数的乘积.
考点一 导数的运算
1.已知 f′(x)是函数 f(x)的导函数，若 f(x)＝x2－xf′(3)，则 f(1)＝
(
)
A.－1
B.－2
C.2
D.3
解析：因为 f(x)＝x2－x·f′(3)，所以 f′(x)＝2x－f′(3).
令 x＝3，得 f′(3)＝6－f′(3)，所以 f′(3)＝3，
所以 f(x)＝x2－3x，则 f(1)＝－2.故选 B.
答案：B
答案：CD
3.已知函数 f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，则 f′(1)＝_______.
解析：令 g(x)＝(x－2)(x－3)(x－4)，
则 f(x)＝(x－1)g(x)，所以 f′(x)＝g(x)＋(x－1)·g′(x)，
所以 f′(1)＝g(1)＋(1－1)·g′(1)＝g(1)＝(1－2)×(1－3)×(1－4)
＝－6.
答案：－6
【题后反思】导数的运算
(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化
简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算
量，提高运算速度，减少差错.
(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.②复
合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.
考点二 导数几何意义的应用
考向 1 求切线方程与切点坐标
[例1]设函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若 f(x)为奇函数，则曲线
y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(
)
A.y＝－2x
C.y＝2x
B.y＝－x
D.y＝x
解析：因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 a－1
＝0，则 a＝1，所以 f(x)＝x3＋x，所以 f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，
所以曲线 y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为 y＝x.故选 D.
答案：D
答案：D
考向 2 求参数的值或取值范围
[例3](2024 年河南阶段练习)曲线 y＝ex－2ax 在 x＝0 处的切
线经过点(2，－1)，则实数 a 的值为(
)
A.－1
B.0
C.1
D.2
答案：C
【题后反思】
(1)求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某
点的切线.曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程是 y－f(x0)＝
f′(x0)(x－x0)；求曲线过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再
依据已知点在切线上求解.
(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的
三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜
率；②切点与定点连线的斜率等于切线斜率；③切点在曲线上.
【考法全练】
答案：D
2.(2023年广东惠州月考)已知函数f(x)＝ex-1＋ax2＋1的图象在
x＝1 处的切线与直线 x＋3y－1＝0 垂直，则实数 a 的值为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由f(x)＝ex-1＋ax2＋1，得f′(x)＝ex-1＋2ax，
因为函数f(x)＝ex-1＋ax2＋1的图象在x＝1处的切线与直线
x＋3y－1＝0 垂直，
所以 f′(1)＝1＋2a＝3，则 a＝1.故选 A.
答案：A
答案：－1
3.曲线f(x)＝e－x的一条切线经过点(1，0)，则该切线的斜率为________.
⊙两曲线的公共切线问题
答案：2
【反思感悟】解决两曲线的公切线问题的方法
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关
系式求解.
【高分训练】
答案：B
2.已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，请写出y＝f(x)与y＝g(x)
的图象的一条公切线的方程______________________________.
答案：ex－y－1＝0 或 x－y＝0(写出其中一条即可)

展开更多......

收起↑