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第十一讲　导数与函数的单调性
1.了解函数的单调性和导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中
多项式函数一般不会超过三次).
条件 恒有 结论
函数 y＝f(x)
在区间(a，b)
上可导 f′(x)>0 f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)<0 f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)确定函数 f(x)的定义域，求 f′(x).
(2)在函数定义域内解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0.
(3)根据结果确定 f(x)的单调区间.
【易错警示】
(1)在某区间上 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上单调递增
(减)的充分不必要条件.
(2)可导函数 f(x)在(a，b)上是单调递增(减)的充要条件是对
x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且 f′(x)在(a，b)上的任何子区间
内都不恒为零.
考点一 求不含参数的函数的单调性
答案：C
答案：B
【题后反思】确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数 f(x)的定义域；
(2)求 f′(x)；
(3)解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为函数的单调递
增区间；
(4)解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为函数的单调递
减区间.
考点二 求含参数的函数的单调性
【题后反思】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对
不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)含参数的问题，应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不
等式的解，在划分函数的单调区间时，要在函数定义域内确定导
数为零的点和函数的间断点.
【变式训练】
所以f(x)的单调递增区间是(0，a)和(2，＋∞)，单调递减区间为(a，2).
若a＝2，x∈(0，＋∞)，f′(x)≥0，f(x)的单调递增区间是
(0，＋∞)，无单调递减区间.
若a>2，当x∈(0，2)∪(a，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(2，a)时，f′(x)<0，
所以f(x)的单调递增区间是(0，2)和(a，＋∞)，单调递减区间为(2，a).
综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)；
当0当a＝2时，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；
当a>2时，f(x)的单调递增区间是(0，2)和(a，＋∞)，单调递减区间为(2，a).
考点三 函数单调性的应用
考向 1 比较大小或解不等式
[例2](1)已知 a＝0.1e0.1，b＝0.11，c＝sin 0.1，则 a，b，c 的
)
大小顺序为(
A.cC.bB.aD.c解析：设h(x)＝ex－x－1(x>0)，则h′(x)＝ex－1>0(x>0)，即h(x)
答案：A
在(0，＋∞)上单调递增，故h(0.1)＝e0.1－0.1－1>h(0)＝e0－0－1＝0，即e0.1>1.1，故0.1e0.1>0.11，即a>b.　
设g(x)＝sin x－x(x>0)，则g′(x)＝cos x－1≤0(x>0)，即g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故g(0.1)＝sin 0.1－0.1c.
综上可得a>b>c.
(2)定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f′(x).若对任意实数 x，有
f(x)>f′(x)，且 f(x)＋2 025 为奇函数，则不等式 f(x)＋2 025ex<0 的解
集是(
)
A.(－∞，0)
C.(0，＋∞)
B.(－∞，ln 2 025)
D.(2 025，＋∞)
答案：C
考向 2 根据函数单调性求参数
解得 0故 a 的取值范围为(0，1)∪(4，＋∞).
故选 A.
答案：A
【题后反思】根据函数单调性求参数的一般思路
(1)若函数 y＝f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相
应单调区间的子集.
(2)函数 f(x)单调递增(减)的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有
f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，
应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【考法全练】
1.已知定义域为 R 的连续函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足
f′(x)
m(x－3)
<0，当 m<0 时，下列关系中一定成立的是(
)
A.f(1)＋f(3)＝2f(2)
B.f(0)·f(3)＝0
C.f(4)＋f(3)<2f(2)
D.f(2)＋f(4)>2f(3)
解析：由
f′(x)
m(x－3)
<0，得 m(x－3)f′(x)<0，
又 m<0，则(x－3)f′(x)>0.
当 x>3 时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当 x<3 时，f′(x)<0，f(x)单调递减.
所以 f(2)>f(3)，f(4)>f(3)，
所以 f(2)＋f(4)>2f(3).故选 D.
答案：D
答案：B
⊙构造函数解决不等式问题
(1)待解的函数、不等式在整理后结构上有明显的特点，但直
接求导非常繁琐，因此可以构造函数 f(x) 来解题，其中 f(x) 常常
与已知条件和所求问题产生联系.
(2)同构变形，利用不等式的结构特点构造函数 f(x)，使得不等
式变成 f(m)≥f(n)，从而利用 f(x) 的单调性得到 m 与 n 的大小关系.
考向 1 x 与 f(x)的综合函数
[例 4](2023 年浙江杭州模拟)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)
的导函数，f(－1)＝0，当 x＞0 时，xf′(x)－f(x)＞0，则使得 f(x)＞0
成立的 x 的取值范围是(
)
A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.(－1，0)∪(0，1)
C.(－∞，－1)∪(0，1)
D.(－1，0)∪(1，＋∞)
所以 g(x)在(－∞，0)上单调递减，且 g(－1)＝g(1)＝0.
所以当 x＜－1 时，g(x)＞0，f(x)＜0，
当－1＜x＜0 时，g(x)＜0，f(x)＞0，
当 0＜x＜1 时，g(x)＜0，f(x)＜0，
当 x＞1 时，g(x)＞0，f(x)＞0，
所以当 f(x)＞0 时，－1＜x＜0 或 x＞1.
故选 D.
答案：D
考向 2 ex 与 f(x)的综合函数
又 f(0)＝0，当 x<0 时，f(x)<0，当 x>0 时，f(x)>0，
令 g(x)＝ax－a＋1，易知 y＝g(x)的图象恒过点(1，1)，
作出 y＝f(x)和 y＝g(x)的大致图象如图所示.
答案：B
(2)已知函数f(x)＝ex－a，g(x)＝ln x＋a(a∈R).若存在实数x0，使得f(x0)≤g(x0)，则实数a的取值范围为(　　)
A.(0，e] 　　　　　　 B.[1，e]
C.[1，＋∞) 　　　 　 D.[e，＋∞)
令 u(x)＝x－ln x(x>0)，
当 0当 x>1 时，u′(x)>0，
∴函数 u(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴当 x＝1 时，函数 u(x)取得最小值，
∴u(x)≥u(1)＝1，∴a≥1.
答案：C
【反思感悟】根据导数关系构造函数的常见结构
(1)对于不等式 f′(x)＋g′(x)＞0，构造函数 F(x)＝f(x)＋g(x).
(2)对于不等式 f′(x)－g′(x)＞0，构造函数 F(x)＝f(x)－g(x).
(3)对于不等式 f′(x)＞k，构造函数 F(x)＝f(x)－kx.
(4)对于不等式 f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，构造函数 F(x)＝f(x)·g(x).
(5)对于不等式 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＞0，构造函数 F(x)＝
f(x)
g(x)
.
(6)对于不等式 xf′(x)＋nf(x)＞0，构造函数 F(x)＝xn·f(x).
(7)对于不等式 f′(x)＋f(x)＞0，构造函数 F(x)＝ex·f(x).
(8)对于不等式 f′(x)＋kf(x)＞0，构造函数 F(x)＝ekx·f(x).
【高分训练】
答案：D
2.已知函数 f(x) 满足 xf′(x)＝3f(x)＋3，f(1)＝1，则不等式
xf′(x)>4＋2f(x) 的解集为__________.
所以 g(x)＝g(1)＝1＋f(1)＝2.
所以 f(x)＝2x3－1.
所以 xf′(x)>4＋2f(x) f(x)>1.
所以解集为(1，＋∞).
答案：(1，＋∞)

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